7.6 用锐角三角函数解决问题同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题 同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.已知一堤坝的坡度 ，堤坝的高度为 米，则堤坝的斜坡长为 （ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A. 500sinα米 B. 米 C. 500cosα米 D. 米
3.如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（ ）
A. 5m B. m C. 2 m D. 10m
4.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( )
A. (1.5+150tanα) 米 B. (1.5+ )米 C. (1.5+150sinα)米 D. (1.5+ )米
7.如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（ ）米
A. B. C. D.
8.某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点 出发沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据： ， )（ ）
A. 23.0米 B. 23.6米 C. 26.7米 D. 28.9米
9.某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1： 的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4 米，那么新传送带AC的长是（ ）
A. 8米 B. 4米 C. 6米 D. 3米
10.如图，小明站在某广场一看台C处，从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21°，若CD=1.6米，BC=1.5米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i=3：4，坡长AB=10米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为(参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38)( )
A. 8.8米 B. 9.5米 C. 10.5米 D. 12米
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.已知甲、乙两楼相距 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 ，那么甲楼高是________米．
12.小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝________．（精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
13.如图，坡面CD的坡度为1： ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD= 米，则小树AB的高是________。
14.如图，在一笔直的海岸线 上有相距 的 两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东 的方向上，从B站测得船C在北偏东 的方向上，则船C到海岸线 的距离是________ .
15.如图所示,小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌点B、C的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC为________m.(精确到0.1m,sin35°≈0.57,cos35°≈0 tan35°≈0.70;sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28）
16.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17.无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为________m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
18.图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD”。某家装厂设计的折叠床是AB=8cm，BC=16cm，①此时CD应该是多长________。②折叠时，当AB⊥BC'时，sinD'=________。
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点 处测得旗杆顶部 的仰角 为45°，旗杆底部 的俯角 为60°．室外测量组测得 的长度为5米，求旗杆 的高度．
20.在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方 的点 处悬停，此时测得桥两端 ， 两点的俯角分别为 和 ，求桥 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ）
21.如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°.如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】
22.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，DE⊥CE，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，求此时AB的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
23.为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 千米的道路 （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 处时，测得限速道路的起点 的俯角是 ，无人机继续向右水平飞行 米到达 处，此时又测得起点 的俯角是 ，同时测得限速道路终点 的俯角是 （注：即四边形 是梯形）．
（1）求限速道路 的长（精确到 米）；
（2）如果李师傅在道路 上行驶的时间是 分 秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据： ， ， ， ）
24.已知：如图，斜坡 的坡度为1∶2.4，坡长 为260米，在坡顶A处的同一水平面有一座古塔 ，在斜坡底P处测得该塔的塔顶的仰角为 ，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为 .
求：
（1）坡顶到地面 的距离；
（2）古塔 的高度（结果精确到1米）.
（参考数据 ）
25.如图，某数学活动小组为测量一棵大树 和教学楼 的高，测角仪高 ，先在 处测得大树顶端 的仰角 为 ，此时教学楼顶端 恰好在视线 上，再向前走 到达 处 ，又测得教学楼顶端 的仰角 为 ，点 ， ， 三点在同一水平线上．
（1）求大树 的高；
（2）求教学楼 的高（结果保留根号）．
26.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
27.刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高 米. 米，当吊臂顶端由A点抬升至 点（吊臂长度不变时），地面 处的重物（大小忽略不计）被吊至 处，紧绷着的吊缆 .且 .
（1）求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离；
（2）若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为 ，吊杆与水平线的倾角可以从 转到 ，求吊车工作时，工作人员不能站立的区域的面积.
28.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 距离水面的高度 长为 ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间.

（1）经过多长时间，盛水筒 首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点M， .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 上.（参考数据： ， ， ）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
解： 坡度 =
夹角为
堤坝的斜坡长=堤坝的高度 = =
故答案为：C.
2.【答案】 A
解：如图，
，
.
故答案为：A.
3.【答案】 C
解：∵在山坡上种树，坡度i＝1：2，
∴设BC＝x，则AC＝2x，
∴x2+（2x）2＝52 ，
解得：x＝ （负值舍去），
故AC＝2 （m）.
故答案为：C.
4.【答案】 A
解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=32°，AB=50×16=800，sin∠BAC= ，∴BC=AB sin∠BAC =800 sin32°（米）．
故答案为：A．
5.【答案】 A
解：延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ,
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
6.【答案】 A
解：过点 作 ， 为垂足，如图所示：
则四边形 为矩形， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
7.【答案】 D
解：设铁塔的高度为x米，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=45°，
∴BC=CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30°，
，
∴AC= x米，
∵AB=30米，即AC-BC=30米，
∴ x-x=30，
解得：x=15 +15，
即铁塔的高度为（15 +15）米．
故答案为：D．
8.【答案】 C
解：如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
∵沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴ ，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262 ，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM= =11.6 ，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7 ，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7 ≈26.7（米），
故答案为：C.
9.【答案】 A
解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4 ，
∴AD=BD=ABsin45°=4 × =4，
∵坡度i=1： ，
∴ = =
则DC=4 ，
∴AC= =8（m）．
故答案为：A.
10.【答案】 C
解：如图，作BM⊥FA交FA的延长线于M，延长DC交FA的延长线于N.
∵BM：AM=3：4，AB=10米，
∴BM=6(米)，AM=8(米)，
在Rt△DNF中，tan21° ，
∴ 0.38，
∴FN≈20(米)，
∴AF=FN﹣AM﹣MN＝20－8－1.5＝10.5(米).
故答案为：C.
二、填空题
11.【答案】
解：由题意，画出图形如下，其中AD长表示甲楼的高度，BC长表示乙楼的高度，AB表示地面，且 ， ， 米，
过点D作 于点F，则四边形ABFD是矩形，
， 米，
，
是等腰三角形，
米，
，
，
在 中， （米），
（米），
则甲楼高 （米），
故答案为： ．
12.【答案】 37.8m
解：由题意知： ，
则 为直角三角形，
在 中， ，
∵BC＝45m， ，
∴ ，
∴ m，
故答案为：37.8m．
13.【答案】 米
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
根据题意得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，
设CE=x米，
∵坡面CD的坡比为1： ，
∴DE=x，
∵CE2+DE2 =CD2 ，
∴ ，
∴x=± ， x=-不符合题意，舍去，
∴CE=BF= ， DE= ，
∴FD=FE+ED=BC+ED=3+ = ，
∵ tan∠ADF= ，
∴ AF=FD tan60°= ，
∴AB=AF-BF=AF-CE=-=米.
故答案为：米.
14.【答案】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，
∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=4km，
在Rt△CBD中，
∴CD=BC sin60° ( )
∴船C到海岸线 的距离是 .
故答案为： .
15.【答案】 3.5
解：∵∠D=90°，AD=6，
∴ ， ，
∴CD≈6×0.70=4.2，BD≈6×1.28=7.68，
∴BC=BD-CD=7.68-4.2=3.48≈3.5（m）.
故答案为：3.5.
16.【答案】 7.5
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
17.【答案】 262
解：过A作AE⊥BC，
∵EC=AD=62，
∴tan17°=≈0.31，
∴AE==200，
∵∠BAE=45°，
∴BE=AE=200，
∴BC=BE+EC=200+62=262.
18.【答案】 32；
解：（1）根据题意可知：BC=BC"=16cm，AD=AD”，CD=C"D",∴AC"=BC"-AB=8cm，设CD=C"D"=x,则AD=AD”=AC"+C"D"=x+8(cm),在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即242+x2=（x+8）2,解得x=32，即CD=32.
故答案为：32.
（2）如图：过点C'作C'E⊥AD',连接AC'，
由题意可知：BC'=BC=16，CD=C'D'=32,AD'=AD=40,
在Rt△ABC'中，根据勾股定理得,
设D'E=y,则AE=40-y，
在Rt△AEC中，C'E2=C'A2-AE2=320-(40-x)2,
Rt△C'D'E中，C'E2=C'D'2-D'E2=322-x2,∴320-(40-x)2=322-x2，解得：x=,
∴在Rt△C'D'E中，C'E=,∴ sinD'= .
故答案为：.
三、解答题
19.【答案】 解：过点 作 于点 ，
在 中， ， ， ， ，
在 中， ， ，
米．
20.【答案】 解：根据题意得∠A =30°，∠B=45°，
过 点作 ，垂足为 .
∴
在 △ 中
∵ ， m，
∴ m
在 △ 中
∵ ， m
∴
∴ m
∴ m
答：桥 的长度约为246m.
21.【答案】 解：如图，
在△ABE中，有BE＝tan27°×AE＝0.51×78＝39.78（米），
故BD＝ED+BE＝34+39.78≈73.8（米）.
答：乙楼的高度约为73.8米.
22.【答案】 解：如图，延长 交 延长线于点 ，作 于点 ，如图：
∵ ，
∴
∴四边形 为矩形
∴ ，
∵
∴设 、
∴在 中,
∴
∴ 或 （舍去）
∴ ，
∴
∵测得江面上的渔船 的俯角为
∴
∴在 中,
∴
∴此时 的长为 米．
故答案是： 米
23.【答案】 （1）解：如图，由题意得： ， 米，
过点C作 于点M，过点D作 于点N，
则四边形CDNM是矩形，
米，
，
， ， ，
是等腰直角三角形， ，
设 米，
在 中， 米， 米，
米，
在 中， ，即 ，
解得 （米），
则 （米），
答：限速道路 的长约为1514米
（2）解：因为 分 秒等于 小时，1514米等于 千米，
所以李师傅在道路 上行驶速度为 （千米/小时），
因为 ，
所以李师傅超速了．
24.【答案】 （1）解：过点A作 ，垂足为点H.
∵斜坡 的坡度为1∶2.4，
∴
设 米， 米，则 米，
∴ ，
解得： ，
∴ 米， 米，
答：坡顶A到地面 的距离为100米
（2）解：延长 交 于点D，由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米， ，
在 中， ，设 米，则 .
∴ 米，
在 中， ，则 ，
即 ，解得 ，
经检验a=187是方程的解.
答：古塔 的高度为187米.
25.【答案】 （1）解：在 中， ， ，
∴ （m），
∴ （m），
∴大树的高为 ；
（2）解：在 中， ，
∴ ，
设 （m），则 （m），
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
解得： ，
∴ ．
答：教学楼 的高约为 ．
26.【答案】 （1）解：过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH= ，∴∠BAH=30°
∴BH= AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5 ，
∴BG=AH+AE=5 +15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
27.【答案】 （1）解：过点O作 于点D，交 于点E
根据题意可知
在 中， ，
，在 中，
，
在 中，
答：此重物在水平方向移动的距离是3米，此重物在竖直方向移动的距离 是 米；
（2）解：当水平距离为吊杆与水平线的倾角为 时，即吊车工作时工作人员不能站立的区域的半径，
在 中， ，
这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为
工作人员不能站立的区域的面积为： （平方米）
28.【答案】 （1）解：如图1，
由题意得，筒车每秒旋转 .
连接 ，在 中， ，所以 .
所以 （秒）.
答：盛水筒P首次到达最高点所需时间为27.4秒.
（2）解：如图2，
盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时 .
所以 .
过点P作 ，垂足为D，在 中， .
.
答：此时盛水筒P距离水面的高度 .
（3）解：如图3，因为点P在 上，且 与 相切，
所以当P在直线 上时，此时P是切点.
连接 ，所以 .
在 中， ，所以 .
在 中， ，所以 .
所以 .
所以需要的时间为 （秒）.
答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒P恰好在直线 上.
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