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8.6.2
直线与平面垂直
随堂同步练习
一、单选题
1．下列条件中，能判断一条直线与一个平面垂直的是（
）
A．这条直线垂直于该平面内的一条直线
B．这条直线垂直于该平面内的两条直线
C．这条直线垂直于该平面内的任何两条直线
D．这条直线垂直于该平面内的无数条直线
2．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（
）
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
3．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列推断不正确的是（
）
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
4．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
5．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为（
）
A．
B．1
C．
D．
6．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知是等腰三角形，且，，点是的中点将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
10．已知，，是三条不同的直线，是一平面.下列命题中正确的个数为（
）
①若//，//，，则；
②若//，，，则//；
③若//，，则.
A．1
B．2
C．3
D．0
11．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（
）
A．平面
B．平面
C．
D．
12．已知正四面体的棱与平面所成的角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时，下列说法正确的是（
）
A．存在某个位置使得//平面，也存在某个位置使得平面
B．存在某个位置使得//平面，但不存在某个位置使得平面
C．不存在某个位置使得//平面，但存在某个位置使得平面
D．既不存在某个位置使得//平面，也不存在某个位置使得平面
13．已知正四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中
，AB=2，CC1=
E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2
B．
C．
D．1
二、填空题
14．若长方体中，，，直线与平面所成角的正弦值为______；
15．如图，直三棱柱中，侧棱长为2，，，是的中点，是上的动点，，交于点.要使平面，则线段的长为______.
三、解答题
16．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，且.求证：平面.
17．如图，在直三棱柱中，为的中点.若，，求与平面所成角的正弦值.
18．如图，平面，平面，，分别为，上的点，且.求证：.
19．如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明：
（1）；
（2）平面．
20．如图所示，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，//，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
21．如图，在三棱柱中，为的中点，，，，.
（1）证明：；
（2）若，，证明：平面.
22．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
答案解析
1．C
【详解】
由线面垂直的判定定理，可得一条直线与一个平面垂直的条件是垂直于平面内的两条相交直线．只有C选项，当这条直线垂直于该平面内的任何两条直线时，这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线，
故选C．
2．B
【详解】
A中，，且，则，故A错误；
一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；
C、D中，或或m与相交均有可能，故C、D错误.
故选：B
3．D
【解析】
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，A正确，由BC⊥平面PAB得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，C正确，而PC?平面PBC，∴AD⊥PC，B正确，在平面PBC中，∵PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，故PB不垂直平面ADC，D错误．
4．A
【详解】
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
5．D
【详解】
连接，由平面，
知即为直线与平面所成的角.
在中，，，
则.
故选：D
6．A
【详解】
取的中点，连接，,如图，
由正三棱柱的性质，得平面平面，
平面平面，又，
∴平面，
∴为与侧面所成的角
由，，
∴在中，，，
∴，∴，
即与侧面所成的角为，
故选：A.
7．A
【详解】
如图，连接，交于点，连接，
在正四棱锥中，
为正四棱锥的高.
根据底面积为6，可得.
根据棱锥的体积公式，可得.
因为上底面，所以.
又，，则平面.
则为直线与平面所成的角.
在中，因为，，
所以，.
在中，因为，
所以，所以，
即直线与平面所成角为.
故选：A
8．A
【详解】
如图，作，垂足为，连接.
∵，，，
∴平面.
∵平面，∴，
又，，∴平面，
∴为直线与平面所成的角.
由题意：
可知，.
设中，边上的高为，
则.
由，得，
∴，
故选：A
9．C
【详解】
因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
10．B
【详解】
对于①，因为//，//，所以//，
又，所以，即①正确；
对于②，因为，，所以//，
又//，所以//，即②正确；
对于③，因为//，，
所以//或或或与斜交，
即③错误.
故选：B
11．B
【详解】
因为平面，平面，
所以.
若平面，则由平面，得.
又与为相交直线，且平面，平面，则，
∴四点共面，
所以平面，
所以，
故选：B.
12．B
【详解】
当正四面体过点的高与平面垂直时，
平面//平面，所以//平面；
若平面，由正四面体中，
点在平面内，所以平面，
此时与平面所成的角为0，与已知条件矛盾，
所以BC不可能垂直于平面.
故选：B.
13．D
【详解】
因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，
到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:
,解得:
14．
【详解】
设到的距离为，则
即：
又平面，可知到的距离即为到平面的距离
直线与平面所成角的正弦值为：
15．
【详解】
由题,当平面时,又直三棱柱中,,且,故.
所以,即..
故答案为：
16．
【详解】
取的中点为，连接，.
∵，分别为，的中点，
∴//，又为的中点，
，∴.
∵，∴，
∴，∴.
∵，∴.
又，平面
∴平面.
17．
【详解】
过点作于点，如图，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面.
∵平面，∴.
∵，为的中点，∴.
又，∴平面，
∵平面，∴.
又，，
∴平面，
∴为与平面所成的角
设，则，，
∴.
18．
【详解】
∵平面，平面，
又平面，平面
∴，，.
又，平面
∴平面.
又，，
平面∴平面，
∴//，∴.
19．
【详解】
证明：（1）因为底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．
（2）设，因为，，所以．又，所以，得．
因为
，，所以，又，所以平面．
20．
【详解】
（1）在直角梯形中，
，，则，
所以，故.
因为平面，//，
所以平面，所以.
又平面，，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以，又，所以.
又平面，
，
所以平面.
又平面，所以.
21．
【详解】
（1）如图，连接，.
∵，∴.
∵，，
∴为等边三角形，∴.
又平面，，
∴平面.
又平面，∴.
（2）在正中，，
在正中，，
∴在中，，
∴，∴.
又，平面，，
∴平面.
∵平面，∴.
又，，平面，
，∴平面.
22．
【详解】
（1）∵平面，平面
∴，又，，
，平面，∴平面.
又平面，∴.
∵四边形是正方形，∴.
又，平面
所以平面.
（2）取的中点，连接，.
∵平面，平面，
∴，又，∴.
∵，∴平面，
∴为直线与平面所成的角
在中，知，，
∴.
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精品试卷·第
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8.6.2
直线与平面垂直
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
2．如图，在长方体中，侧面为正方形，为棱上任意一点，则与的关系为（
）
A．
B．
C．与共面
D．以上都不对
3．已知直线和平面，且，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上皆有可能
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是(
)
①与是异面直线；
②与是异面直线，且
③面
④
A．②
B．①③
C．①④
D．②④
7．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（
）
A．①②
B．②④
C．①③
D．②③
9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．所在平面
B．?所在平面
C．所在平面
D．所在平面
10．把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（
）
A．90°
B．60
C．45°
D．30°
11．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．下列说法正确的有________（填序号）.
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③若与平面不垂直，则平面内一定没有直线与垂直.
13．三棱锥的四个面中最多有________个直角三角形.
14．已知垂直于平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是___________.
15．如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________
三、解答题
16．如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
17．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．
18．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求三棱锥C-BDB1的体积．
19．如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求与平面所成的角的正弦值.
20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，且，.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
21．如图，在长方体中，，，点E是线段AB的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
答案解析
1．D
【详解】
平面，.
又，且，平面，
∴直线与垂直.
2．A
【详解】
连接，则由正方形的性质，知.
又在长方体中，平面，所以，
又，所以平面.
又平面，所以.
故选：A.
3．A
【详解】
A选项，如图1所示，过直线作平面与平面相交于直线，由直线与平面平行的性质定理可知：，又因为，，所以，所以，A正确.
B，C选项均少考虑了直线在平面内的情况，分别如图2，图3所示，均错误；
D选项，有如图4所示的情况，，所以D错误.
故选：A.
4．D
【详解】
在正方体中，与底面所成的角相等，此时两直线平行；与底面所成的角相等，此时两直线相交；
与底面所成的角相等，此时两直线异面.
故选：D.
5．B
【详解】
，，则可能平行，错；
，，由线面平行的性质可得，正确；
，，则，
与异面；错，
，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.
6．A
【解析】
对于①，都在平面内，故错误；对于②，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于③，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误.
故选A
7．D
【详解】
对于A，若，时，可能或斜交，故错；
对于B，，或，故错；
对于C，，或，故错；
对于D，，，正确；
故选D．
8．B
【详解】
对于①，由AB与CE所成角为45°，可得直线与平面不垂直；
对于②，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，可得AB⊥平面；
对于③，由AB与CE所成角为60°，可得直线与平面不垂直；
对于④，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理：EC⊥AB，可得AB⊥平面；
故选B
9．B
【详解】
根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，
∴C不正确；
∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
故选B．
10．C
【详解】
记正方形的对角线与交于点，
将正方形沿对角线折起后，如图，
当平面时，三棱锥的体积最大.
为直线和平面所成的角，
∵因为正方体对角线相互垂直且平分，
所以在中，，
∴直线和平面所成的角大小为45°.
故选：C.
11．B
【详解】
做于H点，连接AH，因为，，
又因为，，
根据线面角的定义得到为所求角，
在中，
由等面积法得到，
线面角的正弦值为：
故答案为B.
12．①②.
【详解】
由线面垂直的性质可得：垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确.
由线面垂直的定义可得，如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直，故②正确
如图，作平面，直线与平面不垂直，但，，故③不正确.
故答案为：①②.
13．4
【详解】
如图，在三棱锥中，若平面，，
则，，；
又，
，
所以平面，所以.
因此图中四个面都是直角三角形.
14．菱形
【详解】
根据题意，画出图形如图，∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，
又∵PC⊥BD，PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P．
∴BD⊥平面PAC又∵AC?平面PAC∴AC⊥BD又ABCD是平行四边形
∴平行四边形ABCD一定是
菱形．故答案为菱形
15．
【详解】
如图所示：将四棱锥放入边长为的正方体内.
连接相交于，易知：，故平面
故为直线与平面所成的角
中：，故
故答案为：
16．
【详解】
证明：（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以，所以
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
17．
【详解】
证明
(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM，
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ.
∴PB⊥NQ.
18．
【解析】
(Ⅰ)证明：是正方体，
平面
平面
底面为正方形
平面
平面
(Ⅱ)解：
平面
是三棱锥的高
19．
【详解】
（1）证明：由题意得四边形是正方形，.
因为直棱柱的侧棱与底面垂直，所以平面，因此.
又易知，，
平面，
又平面，.
又，平面.
（2）如图，连接.设.
平面，
是与平面所成的角.
在等腰直角三角形中，为斜边的中点，.
在中，.
.
即与平面所成的角的正弦值.
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）如图，延长到，使得，连接，.
由，，得四边形为平行四边形，从而.
（或其补角）是直线与所成的角.
平面，，.
又，，，
取的中点，连接，则，，
则.
（2）由（1）知为的中点，如图，连接，，
设点到平面的距离为，
平面，，.
又，，，，
，，
又，
由，得.
即，
解得.
21．
【详解】
证明：平面ABCD，平面ABCD，．
在中，，，，
同理，则有，
，即，
又，平面．
又平面，
；
解：底面ABD，
?到平面AEC的距离为．
，
从而．
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