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8.6.3
平面与平面的垂直
随堂同步练习
一、单选题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是(
)
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
2．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．不确定
3．三棱锥中，，，，则二面角等于
A．
B．
C．
D．
4．在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（
）
A．平面
B．平面
C．平面平面
D．平面平面
5．若平面平面，平面平面，则（
）
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都有可能
6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（
）
A．平面
B．平面
C．//平面
D．以上都有可能
8．如图所示，在斜三棱柱中，，则点在底面上的射影必在（
）
A．直线上
B．直线上
C．直线上
D．内部
9．如果直线，与平面满足，那么必有（
）
A．和
B．和
C．且
D．和
10．设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（
）
A．存在唯一直线，使得，且
B．存在唯一直线，使得，且
C．存在唯一平面，使得，且
D．存在唯一平面，使得，且
11．在空间四边形中，若，则有（
）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
12．已知直线,和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是
A．
B．
C．
D．
13．若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①；
②；
③.
其中正确的命题有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
14．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（
）
A．平面与平面平面都垂直
B．它们两两垂直
C．平面与平面垂直，与平面不垂直
D．平面与平面、平面都不垂直
15．在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（
）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面
D．平面平面
二、填空题
16．如图所示，在正方体中，截面与底面所成二面角的大小为________.
17．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.
18．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.
19．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.
三、解答题
20．在直三棱柱中，，为棱上任一点.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面.
21．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.
求证：（1）底面；
（2）平面；
（3）平面平面.
答案解析
1．B
【解析】
对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．
2．C
【详解】
∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，
它与二面角的平面角相等或互补，
故二面角的平面角的大小为60°或120°．
故选：C．
3．C
【详解】
取中点
,连结
,
三棱锥中，，
所以
是二面角的平面角，
，
，
，
，
二面角的平面角的度数为，故选C.
4．C
【详解】
由题意，在正四面体中，分别是的中点，
则，可得平面，故A正确，
若平面，垂足为，则在上，则，
又，故平面，故B正确.
由平面，可得平面平面，故D正确.
5．D
【详解】
在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
6．C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
7．A
【详解】
∵平面，平面平面，且平面平面，
，
∴平面.
8．A
【详解】
因为，，
所以平面，平面，
所以平面平面，
故在平面上的射影H必在两平面的交线上.
故选：A.
9．A
【详解】
故选：A
10．C
【详解】
过直线上任意一点，作的平行线，由相交确定一个平面.直线只需垂直于平面，就会与垂直，这样的直线有无数条，故A错误.因为不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C.
11．D
【详解】
由题意，知，又由，可得平面，
又由平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面
12．C
【解析】
已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m，nα，应增加的条件n⊥m，才能使得n⊥β.
13．C
【详解】
①若；可能相交，也可能平行，错误
②；成立，③，成立，故选C.
14．A
【详解】
∵平面，平面，∴.
又∵，，∴平面.
∵平面，平面平面.
∵，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
由已知易得平面与平面不垂直，故选A.
15．D
【详解】
在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故，
所以，故，
折起后仍然满足.因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，因平面，所以.
又因为，，所以平面，
因平面，所以平面平面.
16．
【详解】
平面，
，
为所求二面角的平面角，其大小为.
17．
【详解】
如图，设两个矩形分别为矩形、矩形，
因为平面平面，平面平面，
平面，，故平面，而平面，
所以，同理.
由题意，两个矩形的对角线长分别为，
所以，
所以.故填.
18．13
【详解】
取的中点，连接.
因为，，所以，所以.
因为，是的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
在中，.
19．2.
【详解】
取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.
20．
【详解】
（1）由直三棱柱，得.
因为平面平面，所以直线平面.
（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以.
又因为平面平面，且，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
21．
【详解】
（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．
又AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．
（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD
①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF
②．
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．
由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．
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8.6.3
平面与平面的垂直
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．对于直线和平面，能得出的一组条件是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．已知直线与平面，下列能使成立的条件是（
）
A．，
B．，，
C．，
D．，
3．已知矩形所在的平面（如图所示），则图中互相垂直的平面有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．5对
4．如图所示，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，两点），且，则二面角的大小为（
）
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
7．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．如图，在四面体中，，，分别是棱的中点，则下列结论中不一定成立的是（
）
A．平面
B．平面
C．平面平面
D．平面平面
9．如图所示，在四面体中，若，，E是的中点，则下列结论中正确的是（
）
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
二、填空题
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个说法:
①若，，，则;
②若，，则;
③若，，则或;
④若，，，则.
其中正确的个数为_______.
11．若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________.
12．如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则__________.
13．如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是________.
三、解答题
14．如图,在圆锥中，是的直径，C是上的点，D为的中点.
证明：平面平面.
15．如图在三棱锥中，
分别为棱的中点，已知.
求证：（1）直线平面；
（2）平面
平面.
16．已知是所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.
17．如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面.
18．如图所示，在三棱柱中，与都为正三角形，且平面，分别是的中点.
求证：（1）平面平面；
（2）平面平面.
19．如图，已知，斜边，点，，为垂足，，，求二面角的大小.
20．如图，把等腰直角三角形沿斜边所在直线旋转至的位置，使.
(1)求证:平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
答案解析
1．C
【详解】
A选项中，根据，，，得到或，所以A错误；
B选项中，，，，不一定得到，所以B错误；
C选项中，因为，，所以.
又，从而得到，所以C正确；
D选项中，根据，，所以，而，所以得到，所以D错误.
故选：C.
2．D
【详解】
选项A中，,，得到和还有可能平行，所以错误；
选项B中，，，，不一定得到，所以错误；
选项C中，，，和可能平行也可能相交，所以错误；
选项D中，由知内必有直线，因为，所以，
又因为，所以得到，所以正确.
故选：D.
3．D
【解析】
∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB.同理，
BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
4．A
【详解】
由题意，因为平面，则，，
所以即为二面角的平面角.
又，所以二面角的平面角为.
5．C
【详解】
解：由条件得.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，
所以.所以为二面角的平面角.在中，由得.
故选：.
6．C
【解析】
如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
在中，.
即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于．选C．
7．C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
8．D
【详解】
因为分别为的中点
所以为中位线，
则，
而平面，平面
所以平面，
故A正确；
因为为的中点，且，，
所以，，
平面，，
所以平面，
因为，
所以平面，
故B正确；
因为平面，平面，
所以平面平面，
故C正确；
假设平面平面，
则由平面平面，平面，，平面，
得平面，
所以，，
由条件知此垂直关系不一定成立，
故D不正确.
故选：D.
9．C
【详解】
因为，且是的中点，所以
因为，且是的中点，所以
又，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选：C.
10．4
【详解】
①若，，可得出或，又，所以，所以①正确；
②若，，则由线面平行的性质定理可以得出，
在内存在直线，所以，故可得出，所以②正确；
③由，，可得出或，所以③正确；
④由，，可得出或，又，所以，所以④正确.
所以个说法都正确.
故答案为：.
11．.
【详解】
由题意，取的中点，连接，则为二面角的平面角，
因为，所以为直角三角形，所以.
12．.
【详解】
取的中点，连接.
是等边三角形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，为与平面所成的角.
易知在中，，，，即.
13．
【详解】
过点A作平面β的垂线,垂足为C,
在β内过C作l的垂线，垂足为D,
连接AD,由三垂线定理可知AD⊥l,
故ADC为二面角α-l-β的平面角,为60°,
又由已知,ABD=30°,
连接CB,则ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2,则AC=,CD=1
AB==4
∴sinABC==；
故答案为．
14．
【详解】
如图,
连接,
因为,D是的中点,
所以.
又因为圆锥底面圆的圆心，
所以底面,且底面,
所以
因为平面，，所以平面，
又平面,
所以平面平面.
15．
【详解】
（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．
（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．
16．
【详解】
如图，在平面内作于点，
∵平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，
又平面，
.
平面，平面，
，
，平面，
平面，
又平面，
.
17．
【详解】
如图所示，取的中点，的中点，连接，
则.
，是的中点，
，即.
.
，.
在四边形中，，
又，平面，
平面，
平面，.
且，
∴直线必与直线相交，且平面.
又，，
平面.
又平面，
∴平面平面.
18．
【详解】
（1）在三棱柱中，
因为分别是的中点，所以，
根据线面平行的判定定理，可得平面，平面
又，
∴平面平面.
（2）在三棱柱中，平面，所以，
又，，所以平面，
而平面，所以平面平面.
19．60°
【详解】
如图，在平面内，过作，垂足为点，连接，
设.
，，.
又，平面，
平面.
而平面，，
是二面角的平面角.
由，，，
知，.
，，，
，，.
在中，，
，
，
在中，，
，
即二面角的大小是.
20．
【详解】
（1）如图，取的中点，连接，
是等腰直角三角形，
，且.
连接，同理得，且，
，.
，，
为等腰直角三角形，，
又，平面，
平面.
又平面，
∴平面平面.
（2）取的中点，连接.
易知为等边三角形，
.
又为等腰直角三角形，.
为二面角的平面角.
由（1）知，，
且平面，，
所以平面，平面，
.
为直角三角形.
设，则，
所以，
则，
，
即二面角的余弦值为.
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