第一讲 第6课时
A．基础巩固
1．不等式|x＋1|－|x－5|＜4的解集为( )
A．(－∞，4)
B．(－∞，－4)
C．(4，＋∞)
D．(－4，＋∞)
【答案】A 【解析】当x≥5时，x＋1－x＋5＝6＞4，不等式无解；当－1＜x＜5时，x＋1＋x－5＜4，解得x＜4；当x≤－1时，－x－1＋x－5＜4恒成立．故不等式的解集是(－∞，4)．故选A．
2．实数x满足log3x＝1＋sin
θ，则|x－1|＋|x－9|的值为( )
A．8
B．－8
C．8或－8
D．与θ有关
【答案】A 【解析】∵0≤1＋sin
θ≤2，∴0≤log3x≤2，即1≤x≤9，∴|x－1|＋|x－9|＝x－1＋9－x＝8.故选A．
3．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0
B．a＋b＝0
C．a＝b
D．a2＋b2＝0
【答案】D 【解析】若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，从而b＝0.f(－x)＝－f(x)，即－x|－x＋a|＝－x|x＋a|(x∈R)，所以|x－a|＝|x＋a|.平方得ax＝0，所以a＝0.当a＝0，b＝0时，f(x)＝x|x|显然是奇函数．
4．(2017年潍坊一模)若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0的解集为R，则实数m的取值范围为( )
A．(4，＋∞)
B．[4，＋∞)
C．(－∞，4)
D．(－∞，4]
【答案】A 【解析】不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0，|x＋1|＋|x－2|＞7－m，|x＋1|＋|x－2|的最小值是3，故3＞7－m恒成立，解得m＞4.故选A．
5．函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－2|－3)的定义域为________．
【答案】(－∞，0)∪(3，＋∞) 【解析】根据题意，知|x－1|＋|x－2|－3＞0.①当x＜1，不等式即为1－x＋2－x－3＞0，解得x＜0，故x＜0；②当1≤x≤2，不等式即为x－1＋2－x－3＞0，即－2＞0不成立，故x∈?；③当x＞2，不等式即为x－1＋x－2－3＞0，解得x＞3，故x＞3.综上，函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－2|－3)的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝|x－a|＋a，g(x)＝4－x2，若存在x∈R使g(x)≥f(x)，则a的取值范围是____________．
【答案】 【解析】若存在x∈R使g(x)≥f(x)，即x2＋|x－a|＋a－4≤0有解．当x≥a时，x2＋x－4≤0，显然有解；当x＜a时，x2－x＋2a－4≤0，由Δ＝1－4(2a－4)≥0，解得a≤.故a的取值范围为.
7．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解．
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得2x－1≥1，解得1≤x≤2.
当x＞2时，由f(x)≥1得x＞2.
∴f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
∴m的取值范围为.
B．能力提升
8．(2017年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，f(x)开口向下，对称轴为x＝.
g(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x＞1时，令－x2＋x＋4＝2x，解得x＝.
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)≥g(x)解集为.
当－1≤x≤1时，g(x)＝2，f(x)≥f(－1)＝2.
当x＜－1时，g(x)单调递减，f(x)单调递增且g(－1)＝f(－1)＝2，
∴f(x)＜2＜g(x)．
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为.
(2)依题意得－x2＋ax＋4≥2在[－1,1]上恒成立，
即x2－ax－2≤0在[－1,1]上恒成立，
则只须解得－1≤a≤1.
∴a的取值范围是[－1,1]．
PAGE第一讲 第5课时
A．基础巩固
1．若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相等，则实数a，b的值为( )
A．a＝－8，b＝－10
B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9
D．a＝－1，b＝2
【答案】B 【解析】不等式|8x＋9|＜7的解集为，所以－2，－是方程ax2＋bx－2＝0的两根，即解得a＝－4，b＝－9.
2．(2017年沈阳校级模拟)已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|－1＜x≤2}
【答案】A 【解析】因为集合A＝{x||x|＜1}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{x|0≤x＜1}．故选A．
3．(2017年浙江模拟)不等式|2x－1|≤5的解集为( )
A．(－∞，－2]
B．(2,3]
C．[3，＋∞)
D．[－2,3]
【答案】D 【解析】不等式|2x－1|≤5，即－5≤2x－1≤5，解得－2≤x≤3.故选D．
4．设函数f(x)＝则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[0,4]
B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,4]
D．[－2,0]∪[1,4]
【答案】A 【解析】显然x＝0，x＝4都是f(x)≥1的解，排除C，B，又f(－1)＝0，不合题意，排除D．
5．(2017年上海模拟)不等式|x－1|＜3的解集为__________．
【答案】(－2,4) 【解析】∵|x－1|＜3，∴－3＜x－1＜3，∴－2＜x＜4，故不等式的解集是(－2,4)．
6.(2018年六盘水月考)若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为 .
【答案】(5,7) 【解析】|3x－b|<4?解得0≤x≤3，故不等式的解集为[0,3]．
7．解不等式＜1.
【解析】原不等式可化为－1＜3|x－1|－2＜1，
即＜|x－1|＜1，所以
即
故＜x＜2或0＜x＜.
所以原不等式的解集为∪.
B．能力提升
8．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
【解析】(1)∵|2x－1|＜1?－1＜2x－1＜1?0＜x＜1，
∴M＝(0,1)．
(2)∵a，b∈M，∴0＜a＜1,0＜b＜1，
∴a－1＜0，b－1＜0.
∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.
∴ab＋1＞a＋b.
PAGE第一讲 第4课时
A．基础巩固
1．(2017年张家口期中)对于实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】D 【解析】实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－1)|≤|x－1|＋2|y－1|≤2＋2×2＝6，当且仅当|x－1|＝|y－1|＝2，即x＝－1或3，y＝－1或3时，取等号．故选D．
2．(2017年鸡西期末)函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为( )
A．2
B．
C．4
D．6
【答案】A 【解析】利用绝对值三角不等式可得y＝|x＋1|＋|x＋3|≥|x＋1－(x＋3)|＝2，当(x＋1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤－1时等号成立，故函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为2.故选A．
3．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜2m.反过来取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝满足|x－y|＜2m，但|x－a|＜m且|y－a|＜m不成立．
4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对于任意正数ε，使得|f(x1)－f(x2)|＜ε成立的一个充分不必要的条件是( )
A．|x1－x2|＜ε
B．|x1－x2|＜
C．|x1－x2|＜
D．|x1－x2|＞
【答案】C 【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|(－2x1＋1)－(－2x2＋1)|＝2|x1－x2|＜ε?|x1－x2|＜.∵|x1－x2|＜?|x1－x2|＜，但反过来不成立．故选C．
5.(2018年齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4，若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，则m的取值范围为 .
【答案】(－∞，－3] 【解析】f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6.因为?x∈R，由绝对值三角不等式得f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，所以m＋1≤－2，得m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3].
6．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|恒成立”的序号为______________．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|x|；
(3)f(x)＝2x；(4)f(x)＝x2.
【解析】(1)因为1＜x1＜2,1＜x2＜2，
(1)|f(x1)－f(x2)|＝＝，
因为1＜x1x2＜4，所以|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|成立．
(2)∵|f(x1)－f(x2)|＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|，
∴结论不成立，对于(3)，(4)取特殊值验证结论不成立．
7．已知f(x)＝定义在区间[－1,1]上，设x1，x2∈[－1,1]，且x1≠x2.
求证：|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|－|＝.
∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，＋＞|x1|＋|x2|，
∴|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
B．能力提升
8．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
【答案】B 【解析】当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2.当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－a＋b|＝2|b|＜2.所以|a＋b|＋|a－b|＜2.
PAGE第一讲 第3课时
A．基础巩固
1．若a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为( )
A．9
B．8
C．3
D．
【答案】A 【解析】∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c＝时＋＋取得最小值，且最小值为9.故选A．
2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式一定成立的是( )
A．V≥π
B．V≥π
C．V≤π
D．V≤π
【答案】C 【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，V＝πr2h≤π·3＝π.故选C．
3．已知x，y，z均为正数，＋＋＝1，则＋＋的最小值是( )
A．1
B．3
C．3
D．3
【答案】A 【解析】∵x，y，z均为正数，＋＋＝1，∴＝1(x，y，z均为正数)．∵＋＋＝＝≥＝1，当且仅当x＝y＝z＝3时等号成立．故选A．
4．设0＜x＜，则y＝x2(1－2x)的最大值为( )
A．1
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】∵0＜x＜，∴y＝x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤3＝，当且仅当x＝x＝1－2x，即x＝时取得最大值.
5．函数y＝3x＋(x＞0)的最小值为( )
A．6
B．3
C．9
D．15
【答案】C 【解析】∵x＞0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3·＝9.当且仅当＝＝即x＝2时，y＝3x＋(x＞0)的最小值为9.
6．已知a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
【答案】6＋4 【解析】∵a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，当且仅当a＝c＝b时等号成立．∴＋＋的最小值为6＋4.
7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R且为常数)和g(x)＝2x＋的定义域均为，如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，则函数f(x)在上的最大值为__________．
【答案】4 【解析】g(x)＝2x＋＝x＋x＋≥3，当且仅当x＝，即x＝1时g(x)取得最小值3.由已知当x＝1时，f(x)有最小值3，所以－＝1，且1＋b＋c＝3.解得b＝－2，c＝4，故f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，又(2－1)2＞2，从而f(x)的最大值为f(2)＝4.
B．能力提升
8．已知a，b，c为正实数，求证：
(1)≥9；
(2)(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
【证明】(1)因为a，b，c∈R＋，
所以＋＋≥3＝3，
＋＋≥3＝3.
故≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(2)因为a，b，c∈R＋，
所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3.
所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9abc.
故(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
PAGE第一讲 第2课时
A．基础巩固
1．(2017年长春期末)已知x，y是正数且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．6
B．12
C．16
D．24
【答案】C 【解析】x＋y＝(x＋y)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋6＝16，当且仅当x＝4，y＝12时取等号，故x＋y的最小值是16.故选C．
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x等于( )
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】C 【解析】一年的总运费与总存储费用之和为4x＋×4＝4，∵x＞0，∴4≥4×2＝160.
3．(2017年昭通校级期末)已知a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A．＞
B．a＋＞b＋
C．a＋＞b＋
D．＞
【答案】C 【解析】∵a＞b＞0，∴＜，∴a＋＞b＋.故选C．
4．(2016年太原校级二模)若0＜y≤x＜且tan
x＝3tan
y，则x－y的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】∵0＜y≤x＜且tan
x＝3tan
y，x－y∈，∴tan(x－y)＝＝＝≤＝tan，当且仅当3tan2y＝1时取等号，∴x－y的最大值为.故选B．
5．(2017年山东)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
【答案】8 【解析】由直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．
6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______．
【答案】4 【解析】∵不等式(x＋y)＝1＋a＋＋≥9对任意正实数x，y恒成立，∴1＋a＋＋≥1＋a＋2≥9，解得a≥4.
7．过点(2,1)的直线l与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求当S△AOB最小时直线l的方程．
【解析】设直线l的方程为＋＝1(a＞2，b＞1)，点(2,1)在直线l上，所以＋＝1.
从而S△AOB＝ab＝≥＝4，
当且仅当＝且＋＝1，
即a＝4，b＝2时S△AOB有最小值4.
所以直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
B．能力提升
8.(2018年石家庄模拟)在实数集R中定义一种运算“?”，具有以下性质：
①对任意a，b∈R，a?b＝b?a；
②对任意a∈R，a?0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a?b)?c＝c?(ab)＋(a?c)＋(b?c)－2c.
则函数f(x)＝x?(x>0)的最小值为( )
A.3
B.1
C.2
D.
【答案】B 【解析】根据题意得f(x)＝x?＝?0＝0?＋(x?0)＋－2×0＝1＋x＋，即f(x)＝1＋x＋.∵x>0，可得x＋≥2，当且仅当x＝＝1，即x＝1时等号成立，∴1＋x＋≥1＋2＝3，故f(x)＝x?(x>0)的最小值为f(1)＝3.
PAGE第一讲 第1课时
A．基础巩固
1．(2017年德州一模)ac2＞bc2是a＞b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．(2017年潮州二模)若a＞b，则下列各式正确的是( )
A．a·lg
x＞b·lg
x
B．ax2＞bx2
C．a2＞b2
D．a·2x＞b·2x
【答案】D 【解析】∵a＞b，lg
x≤0时，不成立，A错误；x＝0时，ax2＝bx2，B错误；若a＝0，b＝－1，a2＜b2，C错误；2x＞0，∴a·2x＞b·2x，D正确．故选D．
3．若M＝a2＋b2－4a＋2b，则正确的是( )
A．M≥－5
B．M≤－5
C．M＞－5
D．M＜－5
【答案】A 【解析】∵M＝a2＋b2－4a＋2b＋5－5＝(a－2)2＋(b＋1)2－5≥－5，∴M≥－5.
4．外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )
A．d＞b＞a＞c
B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a
D．c＞a＞d＞b
【答案】A 【解析】∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴2a＞2c，即a＞c，则b＜d.∵a＋c＜b，∴a＜b.∴d＞b＞a＞c.故选A．
5．已知三个不等式(1)ab＞0；(2)＞；(3)bc＞ad，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成______个正确命题．
【答案】3 【解析】①?bc＞ad；②?＞；③?ab＞0.
6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积之比要大于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，则住宅的采光条件是________．(填“变好”或“变坏”)
【答案】变好 【解析】设原地板面积为a，窗户面积为b，且10%×a＜b＜a，增加面积为m，则衡量原住宅的采光条件的比值为，增加后该比值为.∵－＝＞0，∴＞.
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若p＋q＝1(p＞0，q＞0)，比较pf(x)＋qf(y)与f(px＋qy)大小．
【解析】∵p＋q＝1，∴p＝1－q，q＝1－p.
∴pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)
＝p(x2＋ax＋b)＋q(y2＋ay＋b)－(px＋qy)2－a(px＋qy)－b
＝p(1－p)x2＋q(1－q)y2－2pqxy＝pq(x－y)2≥0.
∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)．
B．能力提升
8.(2018年广州综合测试)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④若a＞b，则＞.
其中正确的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B 【解析】①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确.②由不等式的同向可加性知②正确.③错误，当dPAGE
