基本不等式的应用
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.若x>0,则x++2有
( )
A.最小值6
B.最小值8
C.最大值8
D.最大值3
【解析】选B.由x++2≥2+2=8(当且仅当x=,即x=3时,取等号).
2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有
( )
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为-4
D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.
3.(2019·南昌高一检测)y=(x>0)的最小值是
( )
A.2
B.2-1
C.2+1
D.2-2
【解析】选B.因为x>0,所以x+1>0,
所以y==+x=+x+1-1≥2-1,
当且仅当=x+1,即x=-1时等号成立,
所以y=(x>0)的最小值是2-1.
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是
( )
A.
6.5
m
B.
6.8
m
C.
7
m
D.
7.2
m
【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少,故选C.
5.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选C.方法一:由已知xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y)≤,
当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,
令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,得t≥6.
即x+3y≥6.
方法二:因为x+3y=9-xy≥2,
所以()2+2·-9≤0,(+3)·(-)≤0,0
6.(2019·定州高一检测)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为m>0,xy>0,x+y=2,
所以+==≥.因为不等式+≥4恒成立,所以≥4,整理得≥0,解得≥,即m≥2.
7.(2019·台州高一检测)若实数x,y满足x2y2+x2+y2=8,则x2+y2的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为x2y2≤,所以x2y2+x2+y2=8≤+(x2+y2)(x2=y2=2时取等号),(x2+y2-4)(x2+y2+8)≥0,所以x2+y2≥4,又x2y2≥0,所以x2+y2≤8,所以x2+y2∈[4,8].
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是________.?
【解析】由题得a≥=(x-1)++2,
因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,
所以(x-1)++2=-+2≤-2+2=-2.
当且仅当x=-1时取等号,所以a≥-2.
答案:a≥-2
9.已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为__________.?
【解析】因为=+=·
=≥(10+2)=9,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以的最小值为9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知a>0,b>0,直线+=1经过点(1,2).
(1)求ab的最小值.
(2)求a+2b的最小值.
【解析】因为直线+=1过点(1,2),
所以+=1.
(1)因为a>0,b>0,所以1=+≥2,
当且仅当==,即a=2,b=4时取等号,从而ab≥8,即ab的最小值为8.
(2)a+2b=(a+2b)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,
即a=b=3时取等号,从而a+2b的最小值为9.
11.(1)已知x>0,求函数y=的最小值.
(2)已知0【解析】(1)因为y==x++5≥2+5=9,当且仅当x=,即x=2时等号成立.
所以y=(x>0)的最小值为9.
(2)因为00.
所以y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤=.
当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.
所以当x=时,函数取得最大值.
12.某单位决定投资3
200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
【解析】(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为S=xy,由已知,40x+2×45y+20xy=3
200,由基本不等式得
3200≥2+20xy=120+20xy
=120+20S.
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
所以≤10,从而S≤100,
所以S的最大允许值是100平方米,
(2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,
求得x=15,即铁栅的长是15米.
【补偿训练】一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时.?
【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t==+
≥2=8(小时),当且仅当=,即v=100时等号成立,此时t=8小时.
答案:8
(45分钟 85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是
( )
A.2
B.2
C.4
D.5
【解析】选C.因为a>0,b>0,
所以++2≥2+2≥4=4,
当且仅当
即a=b=1时,等号成立.
【误区警示】多次使用不等式,要注意等号是否同时取到.若等号不能同时取到,则代数式取不到最值.
2.若实数x,y满足2x+2y=1,则x+y的最大值是
( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
【解析】选B.由题得2x+2y≥2=2,(当且仅当x=y=-1时取等号)
所以1≥2,所以≥2x+y,
所以2-2≥2x+y,所以x+y≤-2.
所以x+y的最大值为-2.
【补偿训练】设x,y是满足2x+y=20的正数,则lg
x+lg
y的最大值是
( )
A.1+lg
5 B.2 C.50 D.1
【解析】选A.根据基本不等式,2x+y≥2,解得xy≤50,所以xy的最大值是50,而lg
x+lg
y=lg(xy),所以原式的最大值是lg
50=1+lg
5.
3.若直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)过点(-1,2),当+取最小值时直线l的斜率为
( )
A.2
B.
C.
D.2
【解析】选A.因为直线l过点(-1,2),所以-a-2b+2=0,即=1,
所以+=·=4++≥=4,当且仅当=,即a=2b时取等号,所以斜率=2.
4.(2019·深圳高一检测)已知正实数x,y满足log2(x+7y)=0,则能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的整数m的最小值为
( )
A.0
B.-1
C.-3
D.-4
【解析】选D.正实数x,y满足log2(x+7y)=0,
所以x+7y=1,
所以1≥2,即:xy≤,当且仅当x=7,y=时取等号,
则不等式log2x+log2y≤m恒成立,化为:2m≥(xy)max,
所以2m≥,
所以能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的整数m的最小值为-4.
5.设a>b>0,则a2++的最小值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.a2++=a2+≥a2+≥4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时等号都成立,故原式的最小值为4.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.?
【解析】由a+b=1知+==,
又ab≤=(当且仅当a=b=时等号成立),所以9ab+10≤,≥.
答案:
7.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果l=6.05,则最大车流量为________辆/小时.?
(2)如果l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/小时.?
【解析】(1)当l=6.05时,则F==≤1
900,当且仅当v=,
即v=11(米/秒)时取等号.
(2)当l=5时,则F==≤2
000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.
答案:(1)1
900 (2)100
8.若两个正实数x,y满足+=1,且存在这样的x,y使不等式x+【解析】因为不等式x+所以因为x>0,y>0,且+=1,
所以x+==++2≥
2+2=4,
当且仅当=,即x=2,y=8时取“=”,
所以=4,
故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,
解得m<-4或m>1,
所以实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(1,+∞)
9.已知关于x的不等式x2-5ax+2a2<0的解集为,则x1+x2+的最小值是__________.?
【解析】由于a>0,故一元二次方程x2-5ax+2a2=0的判别式:
Δ=25a2-4·2a2=17a2>0,由根与系数的关系有:,则:
x1+x2+=5a+=5a+≥2=,
当且仅当5a=,a=时等号成立.
综上可得:x1+x2+的最小值是.
答案:
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.已知a>b>0,求a2+的最小值.
【解析】因为a>b>0,
所以a-b>0,a2+≥a2+=a2+≥2=4,
当且仅当b=a-b,a2=2,a>b>0,即a=,b=时取等号,
所以a2+的最小值是4.
11.已知lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1).
(1)求xy的最小值.
(2)求x+y的最小值.
【解析】由lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1),得
(1)因为x>0,y>0,
所以3xy=x+y+1≥2+1,
3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,
所以(3+1)(-1)≥0,≥1,xy≥1,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
所以xy的最小值为1.
(2)因为x>0,y>0,
所以x+y+1=3xy≤3·,3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,
所以x+y≥2,当且仅当x=y=1时取等号,
所以x+y的最小值为2.
12.(1)若x>0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值.
(2)设0(3)已知x>2,求x+的最小值.
(4)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
【解析】(1)当x>0时,x+≥2=4,
当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.
所以函数y=x+(x>0)在x=2时取得最小值4.
(2)因为00,
所以y=4x(3-2x)
=2[2x(3-2x)]≤2=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
因为∈.
所以函数y=4x(3-2x)的最大值为.
(3)因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.
所以x+的最小值为6.
(4)方法一:因为x>0,y>0,+=1,
所以x+y=(x+y)=++10≥6+10=16,当且仅当=,又+=1,即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
方法二:由+=1,得(x-1)(y-9)=9(定值).
可知x>1,y>9,
所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=16,
当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时上式取等号,故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
13.某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为
1
800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.
(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?
(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.
【解析】(1)设该厂每x天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y元.
所以购买面粉的费用为6×1
800x=10
800x元,
保管等其他费用为3×(6+12+…+6x)=9x(x+1).
所以y=
=10
809+9≥10
809+9×2
=10
989.
当x=,即x=10时,y有最小值10
989.
所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少.
(2)因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少每隔35天购买一次面粉,
设该厂利用此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y1元,则
y1=[9x(x+1)+900]+6×1
800×0.90=+9x+9
729(x≥35).
令f(x)=x+(x≥35),x2>x1≥35,
则f(x1)-f(x2)=-=,
因为x2>x1≥35,所以x2-x1>0,
x1·x2>0,100-x1x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以当x=35时,f(x)有最小值,此时y1<10
989,
所以该厂应接受此优惠条件.
PAGE基本不等式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下列不等式正确的是
( )
A.a+≥2
B.(-a)+≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+≤-2
【解析】选C.由题意,a≠0,所以a2>0,所以a2+≥2成立.
2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么
( )
A.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
【解析】选A.a,b,c,d是正数,有ab≤=4,
当等号成立时,a=b=2,4=cd≤?c+d≥4,当等号成立时,c=d=2.
综上可知ab≤c+d且等号成立时,a=b=c=d=2.
3.已知a>0,b>0,且2a+b=1,则+≥
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选C.依题意+=(2a+b)=5++≥5+2=5+4=9.
4.已知x>0,若x+的值最小,则x为
( )
A.81
B.9
C.3
D.16
【解析】选B.因为x>0,所以x+≥2=18,当且仅当x=,即x=9时等号成立.
5.已知m=a+(a>2),n=2(2-b2)(b≠0),则m,n之间的大小关系是
( )
A.m>n
B.mC.m=n
D.不确定
【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0,
又因为m=a+=(a-2)++2,
所以m≥2+2=4,由b≠0,得b2≠0,
所以2-b2<2,n=2(2-b2)<4,
综上可知m>n.
6.已知3a=5b=15(a,b>0,且a≠b),则a,b不可能满足的关系是
( )
A.a+b>4
B.ab>4
C.(a-1)2+(b-1)2>2
D.a2+b2<8
【解析】选D.由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,
所以3ab=15b,5ab=15a,
所以3ab·5ab=15b·15a,即15ab=15a+b,
所以a+b=ab,
又a,b为不相等的正数,所以a+b>2,
所以ab>2,即ab>4,故A,B正确;
(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),
又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确;
a2+b2>2ab,ab>4,所以a2+b2>8,故D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.下列不等式证明过程正确的是________.?
①若a,b∈R,则+≥2=2;
②若x>0,y>0,则lg
x+lg
y≥2;
③若x<0,则x+≥-2=-4;
④若x<0,则2x+2-x>2=2.
【解析】因为x<0,所以2x∈(0,1),2-x>1,
所以2x+2-x>2=2,④正确.
①,②不满足“一正”,③中“≥”应当为“≤”.
答案:④
8.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m≤________.?
【解析】不等式+≥恒成立,
则m≤(a+9b)=++10恒成立.
因为++10≥2+10=16,当且仅当a=3b时等号成立,
所以m≤16.
答案:16
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>++.
【证明】因为a>0,b>0,c>0,
所以a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2.
所以2(a+b+c)≥2(++),
即a+b+c≥++.
由于a,b,c为不全相等的正实数,
所以等号不成立.
所以a+b+c>++.
10.设x>0,求证:x+≥.
【证明】因为x>0,所以x+>0,
所以x+=x+=+-≥2-=,
当且仅当x+=,
即x=时,等号成立.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设0( )
A.
B.a2+b2
C.2ab
D.a
【解析】选B.因为0所以1=a+b>2a,所以a<,
又因为a2+b2≥2ab,
所以最大数一定不是a和2ab,
又因为1=a+b>2,所以ab<,
所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>.
【一题多解】选B.特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,因为>>>,所以a2+b2最大.
2.已知a,b,c均为正实数,且ab+bc+ca=1,那么下列不等式中正确的是
( )
A.a2+b2+c2≥2
B.(a+b+c)2≥3
C.++≥2
D.abc(a+b+c)≤
【解析】选B.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)(当且仅当a=b=c时取等号),所以a2+b2+c2≥1.所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥1+2,所以(a+b+c)2≥3.
3.已知a,b∈(0,+∞),且a+b++=5,则a+b的取值范围是
( )
A.[1,4]
B.[2,+∞)
C.(1,4)
D.(4,+∞)
【解析】选A.因为a,b∈R+,所以≥ab,可得≥,当且仅当a=b=或a=b=2时取等号,因为a+b++=5,
所以(a+b)=5≥(a+b),
化为:(a+b)2-5(a+b)+4≤0,
解得1≤a+b≤4,则a+b的取值范围是[1,4].
4.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=(-1)(-1),则必有
( )
A.0≤M<
B.≤M<1
C.1≤M<8
D.M≥8
【解析】选D.因为a+b+c=1,利用基本不等式a+b≥2(a,b∈R+)代换,所以
=≥=8.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
5.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则
( )
A.x+y≥2(+1)
B.xy≤+1
C.x+y≤(+1)2
D.xy≥2(+1)
【解析】选A.因为x,y∈R+且xy-(x+y)=1,
则xy=1+(x+y)≥1+2,
化为:()2-2-1≥0,
解得≥1+,即xy≥(1+)2,
xy=1+(x+y)≤,
即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,
解得x+y≥2(+1).
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.已知正实数a,b满足2a+b=1,则+≥________.?
【解析】因为正实数a,b满足2a+b=1,所以+=(2a+b)=++≥+2=,
当且仅当a=b=时取等号,
所以+≥.
答案:
7.某市一外贸公司,第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么x与的大小关系是__________.?
【解析】依题意,可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤=,
所以1+x≤1+,
即x≤.
答案:x≤
8.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________.?
【解析】因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=r.d==1,
整理得m+n+1=mn,因为m,n∈R,
所以mn≤,
所以m+n+1≤,
即(m+n)2-4(m+n)-4≥0,
解得m+n≤2-2或m+n≥2+2.
答案:(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
9.已知a,b,c都是非负实数,++与(a+b+c)的大小关系为________.?
【解题指南】对,,分别利用基本不等式,即可比较出两者的大小.
【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥(a+b)2,
所以≥(a+b).
同理,≥(b+c),≥(c+a).
所以++
≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c).
故++≥(a+b+c),
当且仅当a=b=c时,等号成立.
答案:++≥(a+b+c)三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知x,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
【解析】因为x,y是正实数,
所以30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.
所以xy+2-30≤0.
令=t,则t>0,t2+2t-30≤0,
解得-5≤t≤3,又t>0,
所以0<≤3,即xy的取值范围是(0,18].
11.(1)已知a>b>c,求证:++≥0.
(2)已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.
【解析】(1)因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.
所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2.
所以≥,即-≥0.
所以++≥0.
(2)因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab.
所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4.
即a2+4b2+≥4.
当且仅当a=1,b=时取等号.
【补偿训练】已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
【证明】由基本不等式可得:a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,
同理:b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2c2a2,
所以a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
12.设实数x,y满足y+x2=0,且0【证明】因为ax>0,ay>0,
所以ax+ay≥2,
又因为0所以loga(ax+ay)≤loga2
=logaax+y+loga2=(x+y)+loga2,
因为x2+y=0,
所以loga(ax+ay)≤(x-x2)+loga2
=-++loga2≤+loga2,
又上式中等号不能同时取到,所以原不等式得证.
PAGE简单线性规划的应用
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种教学用品应各买的件数为
( )
A.2件,4件
B.3件,3件
C.4件,2件
D.不确定
【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解
(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
2.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付日工资每人50元,请瓦工需付日工资每人40元,现有日工资预算2
000元,设每天请木工x人、瓦工y人,则每天请木、瓦工人数的约束条件是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.木工和瓦工的约束条件主要包括人数的限制与日工资的限制,人数比例为2∶3,日工资不超过2
000,结合实际问题人数都应取正整数,综上C项满足题意.
【警示误区】本题中x,y∈N
是容易忽略的条件,在解决实际问题时,应考虑实际情况对变量的限定.
3.(2019·眉山高二检测)某企业生产甲、乙两种产品均需要A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元,4万元,则该企业每天可获得最大利润为
( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
10
B(吨)
1
2
6
A.10万元
B.12万元
C.13万元
D.14万元
【解析】选D.设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,
则约束条件为,且x,y≥0,目标函数z=3x+4y,
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+4y,得y=-x+,平移直线y=-x+,
由图象知当直线y=-x+经过点A时,y=-x+的截距最大,此时z最大,
由即A(2,2),此时z=3×2+4×2=6+8=14(万元),
即该企业生产甲产品2吨,乙产品2吨,利润为14万元.
4.某工厂拟生产甲、乙两种实销产品.已知每件甲产品的利润为0.4万元,每件乙产品的利润为0.3万元,两种产品都需要在A,B两种设备上加工,且加工一件甲、乙产品在A,B设备上所需工时(单位:h)分别如表所示.
甲产品所需工时
乙产品所需工时
A设备
2
3
B设备
4
1
若A设备每月的工时限额为400
h,B设备每月的工时限额为300
h,则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为
( )
A.40万元
B.45万元
C.50万元
D.55万元
【解析】选C.设甲、乙两种产品月产量分别为x,y件,约束条件是
目标函数是z=0.4x+0.3y,
由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分.
由z=0.4x+0.3y,结合图象可知,z=0.4x+0.3y在A处取得最大值,由得A(50,100),
此时z=0.4×50+0.3×100=50万元.
5.(2019·柳州高二检测)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地,货运车有大型货车和小型货车两种.已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元,而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元.则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较
( )
A.2台大型货车运费贵
B.3台小型货车运费贵
C.二者运费相同
D.无法确定
【解析】选A.设大型货车每台运费x万元,小车每台运费y万元,
依题意得z=2x-3y过C(3,2)时,
z最小.
所以z>2×3-3×2=0,即2x>3y.
6.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误的是
( )
A.最多可以购买4份一等奖奖品
B.最多可以购买16份二等奖奖品
C.购买奖品至少要花费100元
D.共有20种不同的购买奖品方案
【解析】选D.设购买一、二等奖奖品份数分别为x,y,由已知,可行域如图所示
A(2,6),B(4,12),C(2,16).在可行域内的整数点有:(2,6),(2,7),…,(2,16),
(3,9),(3,10),…,(3,14),(4,12),共11+6+1=18个.其中,x最大为4,y最大为16.
最少要购买2份一等奖奖品,6份二等奖奖品,所以最少要花费100元.所以A,B,C正确,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.下表所示为X,Y,Z三种食物的维生素含量及成本,某食品厂欲将三种食物混合,制成至少含44
000单位维生素A及48
000单位维生素B的混合物100千克,所用的食物X,Y,Z的质量分别为x,y,z(千克),则混合物的成本最少为________元.?
X
Y
Z
维生素A(单位:千克)
400
600
400
维生素B(单位:千克)
800
200
400
成本(元/千克)
12
10
8
【解析】由题意得消去z得
设混合物的成本为P,则P=12x+10y+8z=800+4x+2y,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x-400+过可行域内的点A(30,20),即x=30千克,y=20千克,z=50千克时,成本最少,为960元.
答案:960
8.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15吨,已知生产甲产品1吨需煤9吨,电力4千瓦,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1吨需煤4吨,电力5千瓦,劳动力10个;甲产品每吨价7万元,乙产品每吨价12万元;但每天用煤量不得超过300吨,电力不得超过200千瓦,劳动力只有300个,当每天生产甲产品________吨,乙产品________吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.?
【解析】设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,总利润为S万元,依题意约束条件为目标函数为S=7x+12y,可行域如图所示,从图中可以看出,当直线S=7x+12y经过点A时,直线的纵截距最大,所以S也取最大值.
解方程组得A(20,24),
故当x=20,y=24时,Smax=7×20+12×24=428(万元).
答案:20 24
三、解答题(每小题10分,共40分)
9.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.求该企业可获得的最大利润.
【解析】设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得的利润为z=5x+3y,
且对应的平面区域如图所示,
联立解得
由图可知,最优解为P(3,4),
所以z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元).
答:该企业可获得的最大利润为27万元.
10.(2019·厦门高二检测)在我校高二年段即将准备开展的数学竞赛活动中,规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人,一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上,一等奖人数不少于3人,且一等奖奖品价格为30元,二等奖奖品价格为20元,怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少?
【解析】设一等奖人数为x,二等奖人数为y,本次活动购买奖品的费用为z,
所以目标函数为z=30x+20y,约束条件为画出满足条件的平面区域,联立,得A(3,5)
通过平移直线y=-x+,易知z在点A(3,5)处取得最小值190,
所以本次活动购买奖品的最少费用为190元.
11.“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车:其中A型车为运动型,成本为400元/辆,骑行半小时需花费0.5元;B型车为轻便型,成本为2
400元/辆,骑行半小时需花费1元.若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时(不足半小时按半小时计算),问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元?
【解析】根据题意,设投放A型号单车x辆,B型号单车y辆,单车公司每天可获得的总收入为Z,则有,
即,①
且Z=2×0.5x+2×y=x+2y,
画出不等式组①表示的平面区域,由,解得M(80,20).
当目标函数Z=x+2y,经过点M(80,20)时,Z取得最大值为:80+2×20=120.
答:公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多,最多为120元.
12.随着生活水平的提高,人们越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075
kg的碳水化合物,0.06
kg的蛋白质,0.06
kg的脂肪.1
kg食物A含有0.105
kg碳水化合物,0.07
kg蛋白质,0.14
kg脂肪,花费28元;而1
kg食物B含有0.105
kg碳水化合物,0.14
kg蛋白质,0.07
kg脂肪,花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,每天需要同时食用食物A和食物B多少kg?最低花费是多少?
【解析】设每天食用x
kg食物A,y
kg食物B,总花费为z元,
则目标函数为z=28x+21y,且x,y满足约束条件
即
作出约束条件所表示的可行域,如图所示.
将目标函数z=28x+21y变形y=-x+.
如图,作直线28x+21y=0,
当直线平移经过可行域内的点M时,y轴上截距最小,即此时z有最小值.
解方程组得点M,
z=28×+21×=16.
所以每天需要同时食用食物A约
kg,食物B约
kg,能够满足日常饮食要求,且花费最低,为16元.
(45分钟 85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某汽车公司的A,B两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为
( )
A.16,8
B.15,9
C.17,7
D.14,10
【解析】选A.设A厂工作x小时,B厂工作y小时,总工作时数为z,
则目标函数为z=x+y,约束条件为作出可行域如图所示,
由图知当直线y=-x+z经过Q点时,z取得最小值,
由可得Q(16,8),
故A厂工作16小时,B厂工作8小时,可使所费的总工作时数最少.
2.4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元,6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元,则1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是
( )
A.0.5元
B.1元
C.4.4元
D.8元
【解析】选B.设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元,则对应的平面区域如图所示,
设1支水笔与1支铅笔的价格的差z=x-y,即y=x-z,则直线经过A(3,2)时使得z最大为3-2=1,
所以1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是1.
3.某颜料公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨;生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为
( )
A.14
000元
B.16
000元
C.18
000元
D.20
000元
【解析】选A.设生产A
x吨,B
y吨,
则
利润函数为z=300x+200y,可行域如图所示,
由可得x=40,y=10,
结合图形可得x=40,y=10时,zmax=14
000.
4.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
【解析】选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱.
则目标函数z=280x+200y,
结合图象可得:当x=15,y=55时z最大,
本题也可以将答案逐项代入检验.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),B(3,2),C(1,1),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内,设=m-n(m,n∈R),则2m+n的最大值为
( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.=(1,-1),=(1,2),
=(x,y),因为=m-n,
所以则2m+n=x-y,
作出平面区域如图所示:
令z=x-y,则y=x-z,由图象可知当直线y=x-z经过点B(3,2)时,截距最小,即z最大.
所以z的最大值为3-2=1,即2m+n的最大值为1.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·蚌埠高二检测)回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约________吨.?
【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,
由已知条件可得
即z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域,如图所示,y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴的截距最大,即z最大,
由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9
000.
答案:9
000
7.某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3
m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2
m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,则两种规格的原料甲________张,乙________张,使得总用料面积最小.?
【解析】设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得
所用原料的总面积为z=3x+2y,
作出可行域如图.
在一族平行直线3x+2y=z中,
经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),
即最优解为(2,1).所以使用甲种规格原料2张,
乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.
答案:2 1
8.某农户计划种植莴笋和西红柿,种植面积不超过30亩,投入资金不超过25万元,假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如表所示:
年产量(吨/亩)
年种植成本(万元/亩)
每吨售价(万元)
莴笋
5
1
0.5
西红柿
4.5
0.5
0.4
那么,该农户一年种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)的最大值为________万元.?
【解析】设莴笋和西红柿的种植面积分别为x,y亩,一年的种植总利润为z万元.
由题意可得,
z=0.5×5x+0.4×4.5y-(x+0.5y)=1.5x+1.3y,
作出不等式组表示的可行域,如图所示,
当直线z=1.5x+1.3y经过点A时,z取得最大值,
又
解得x=20,y=10,
即A(20,10)代入z=1.5x+1.3y可得z=43.
答案:43
9.高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5
kg,乙材料1
kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5
kg,乙材料0.3
kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2
100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150
kg,乙材料90
kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.?
【解析】设生产产品A、产品B分别为x,y件,利润之和为z元,那么由题意得约束条件
即 ①
目标函数z=2
100x+900y,作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,
如图中阴影部分所示.
将z=2
100x+900y变形,得y=-x+,作直线y=-x并平移,当直线y=-x+经过点M时,z取得最大值.
解方程组得M(60,100),
所以当x=60,y=100时,
zmax=2
100×60+900×100=216
000.所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216
000元.
答案:216
000
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份,生产一份蛋糕需5分钟,生产一份面包需7分钟,生产一份酥点需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一份蛋糕可获利润5元,生产一份面包可获利润6元,生产一份酥点可获利润3元.若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元),求ω的最大值.
【解析】依题意每天生产的酥点份数为100-x-y,
所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
约束条件为
整理得
目标函数为ω=2x+3y+300,作出可行域,如图所示,
作初始直线l0:2x+3y=0,平移l0,当l0经过点A时,ω有最大值,由得
所以最优解为A(50,50),此时ωmax=550元.
答:ω的最大值为550元.
11.(2019·诸暨高二检测)电视台应某企业之约播放两套连续剧,其中,连续剧甲每次播放时间80分钟,其中广告时间1分钟,收视观众60万;连续剧乙每次播放时间40分钟,其中广告时间1分钟,收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟,而电视台每周至多提供320分钟节目时间.
(1)设每周安排连续剧甲x次,连续剧乙y次,列出x,y所应该满足的条件.
(2)应该每周安排两套电视剧各多少次,收视观众最多?
【解析】(1)由题意可得:
(2)设收视观众数为z万,则z=60x+20y=20(3x+y),所以y=-3x+,
因此直线y=-3x+在y轴截距最大时,z取最大值;画出可行域,
易知当x=2,y=4时,z有最大值,最大值是200,收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套.
12.某农场计划种植甲、乙两个品种的水果,总面积不超过300亩,总成本不超过9万元.甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元.假设种植这两个品种的水果能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元.问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积,可使总收益最大?
【解析】设甲、乙两种水果的种植面积分别为x,y亩,农场的总收益为z万元,则
即
目标函数为z=0.3x+0.2y,
可行域如图所示,
目标函数z=0.3x+0.2y可化为y=-x+5z,
由此可知当目标函数对应的直线经过点M时,z取最大值.
解方程组得
M的坐标为(75,225),
所以zmax=0.3×75+0.2×225=67.5.
答:甲乙两种水果分别种植75亩和225亩,可使农场的总收益最大,最大收益为67.5万元.
13.某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品
每件B产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元)
20
30
产品重量(千克)
10
5
预计收益(万元)
80
60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.
【解析】设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,
由题意知,
作出可行域如图所示.
作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,
当直线经过点M时,z取得最大值,
由
解得即M(9,4).
所以zmax=80×9+60×4=960(万元),
所以搭载9件A产品,4件B产品,
才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.
PAGE简单的线性规划问题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.设x,y满足约束条件则z=x+4y的最大值为
( )
A.5
B.3
C.6
D.4
【解析】选A.由约束条件作出可行域如图所示,
由解得C(1,1).
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得y=-x+.由图可知,当直线y=-x+过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时zmax=1+4×1=5.
2.设实数x,y满足约束条件,则z=x+y的取值范围是
( )
A.[-1,1]
B.[-1,2]
C.[-1,3]
D.[0,4]
【解析】选C.如图:作出满足不等式组的可行域,
由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1.
3.设x,y满足约束条件则目标函数z=的取值范围为
( )
A.[-3,3]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.
【解析】选D.根据题目中所给的约束条件,画出相应的可行域,为以(-1,-2),(-1,2),(1,0)为顶点的三角形.
如图阴影部分.
而表示点(x,y)与(2,0)连线的斜率,故其范围为.
4.若变量x,y满足约束条件且目标函数z=2x-y的最大值是最小值的2倍,则a的值是
( )
A.
B.4
C.3
D.
【解析】选D.
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x-y得y=2x-z,平移直线y=2x-z,
则当直线y=2x-z经过点A时,直线的截距最大,
此时z最小,当直线经过点B时,目标函数取得最大值.
由解得A(a,2-a),z的最小值为3a-2;
由得B(1,1),z的最大值为1.
因为变量x,y满足约束条件
且目标函数z=2x-y的最大值是最小值的2倍,
所以1=6a-4,解得a=.
5.若变量x,y满足则目标函数z=4x×的最大值为
( )
A.
B.
C.4
D.16
【解析】选D.由线性约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由目标函数z=4x×=22x-y,令t=2x-y,则y=2x-t,令t=0,作出直线y=2x,并作出一系列平行线,
则在点A(2,0)处,t=2x-y取得最大值为4,
故z=4x×=22x-y的最大值为16.
6.(2019·厦门高二检测)设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点处取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10,
综上:8≤a≤10.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知实数x,y满足约束条件,求目标函数z=x+2y的最小值______.?
【解析】由实数x,y满足约束条件可得如图可行域:
得到可行域为△ABC,点A(1,-1),B,C(1,2),由图可得目标函数z=x+2y过可行域内的点A(1,-1)时的值最小,所以目标函数z=x+2y的最小值为-1.
答案:-1
8.已知实数x,y满足则的最小值为________.?
【解析】由题意作平面区域如图所示,
的几何意义是点A(-1,-2)与点C(x,y)所在直线的斜率,结合图象可知,的最小值为=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在线性约束条件下,求z=2x-y的最大值和最小值.
【解析】如图,作出线性约束条件下的可行域,包含边界:
三条直线中x+3y=12与3x+y=12交于点A(3,3),
x+y=10与x+3y=12交于点B(9,1),
x+y=10与3x+y=12交于点C(1,9),
作一族与直线2x-y=0平行的直线l:2x-y=z.
即y=2x-z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上的截距为-z,当l经过点B时,-z取最小值,此时z最大,即zmax=2×9-1=17;当l经过点C时,-z取最大值,此时z最小,即zmin=2×1-9=-7.
所以zmax=17,zmin=-7.
10.(2016·全国卷Ⅱ改编)若x,y满足约束条件求z=x-2y的最小值与最大值.
【解析】约束条件表示的平面区域如图所示,
由得则A(1,2).
同理可得B(3,4),C(3,0).
由z=x-2y得y=x-z,
依题意当直线l:y=x-z经过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=-5.
当直线l:y=x-z经过点C(3,0)时,z取得最大值,zmax=3.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为
( )
A.2
B.3
C.4
D.9
【解析】选B.已知变量x,y满足约束条件
在坐标系中画出可行域如图所示:
在△ABC中,A(2,0),B(1,1),C(3,3),
则目标函数z=2x+y的最小值为3.
2.若变量x,y满足约束条件则z=的最大值为
( )
A.4
B.2
C.
D.
【解析】选B.画出约束条件所表示的可行域,如图所示,
由目标函数z=,可化为z=表示平面区域的点与原点O(0,0)连线的斜率,
结合图象可知,当过点A时,此时直线的斜率最大,
又由,解得
所以目标函数的最大值为z==2.
3.已知A(2,1),设P(x,y)为可行域内一点,则·的最大值为
( )
A.-2
B.
C.4
D.5
【解析】选C.由题意作出其可行域,由
解得M(1,2),
·=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时,取得最大值,此时x=1,y=2,z=2x+y有最大值2×1+2=4.
4.实数x,y满足若μ=2x-y的最小值为-4,则实数a等于
( )
A.-4
B.-3
C.-2
D.6
【解析】选C.作出可行域如图所示,
当直线y=2x-μ过点A(a-1,a)时,μ有最小值-4
所以2(a-1)-a=-4,解得a=-2.
5.(2019·合肥高二检测)若直线y=k与不等式组表示的平面区域有公共点,则实数k的取值范围是
( )
A.
B.[0,2]
C.
D.
【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域,如图所示
直线y=k过定点A(-1,0)
,要使得直线y=k与不等式组表示的平面区域有公共点,则0≤k≤kAC,
因为kAC==2,所以k∈.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.若实数x,y满足约束条件则z=x+y的取值范围是________.?
【解析】由x,y满足约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为y=-x+z,
由图可知,当直线y=-x+z过点A时直线在y轴上的截距最小,由,解得A,z有最小值为2.
答案:[2,+∞)
7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值为________.?
【解析】不等式组所表示平面区域如图,由图可知|OM|的最小值即O到直线x+y-2=0的距离.故|OM|的最小值为=.
答案:
8.已知x,y满足约束条件,若使z=ax-y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a=________.?
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
z=ax-y可化为y=ax-z,要使z=ax-y取得最小值,只需直线y=ax-z在y轴上的截距最大,
又z=ax-y取得最小值的最优解有无穷多个,
所以直线y=ax-z的斜率与直线AB的斜率相等,
因为直线AB的斜率为,
所以a=.
答案:
9.已知实数x,y满足则z=·的最小值为______________.?
【解析】由题意可知不等式组表示的平面区域是以(0,0),(1,2),为顶点的三角形(不包括x=0这条边),当动直线2x+y=t经过点(1,2)时,t=2x+y取得最大值4,因为z=·=,所以此时z取得最小值=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.设不等式组,表示的平面区域为D,若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上存在区域D上的点,求a的取值范围.
【解析】画出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,
直线4x-3y+4=0与x+y-6=0的交点为A(2,4),
直线x+y-6=0与x-2y+1=0的交点为B.
对于指数函数y=ax,当01,所以没有交点;
当a>1时,指数函数y=ax为增函数,当过A点时,a2=4,a=2,根据指数函数的性质可以得到111.已知x,y满足条件求:
(1)4x-3y的最大值和最小值.
(2)x2+y2的最大值和最小值.
【解析】(1)原不等式组表示的平面区域如图所示,
其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).
设z=4x-3y,
则y=x-,
作斜率为的一族平行直线,由图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最大.
zmin=4×(-3)-3×2=-18,
zmax=4×(-1)-3×(-6)=14.
(2)设μ=x2+y2,则μ就是点(x,y)与原点距离的平方.由(1)中图可知,B点到原点的距离最大,而当(x,y)在原点时,距离为0.
所以μmax=(-1)2+(-6)2=37,μmin=0.
12.已知实数x,y满足
(1)求z=的最大值和最小值.
(2)求z=x2+y2+2x+1的最小值.
(3)求z=|x-y+3|的最大值.
【解析】画出可行域,如图,通过计算可得A(2,3),B(0,2),C(1,0).
(1)z==表示可行域内的点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,结合图形可知直线MB的斜率最大,直线MC的斜率最小,即zmax=kMB=3,zmin=kMC=.
(2)z=x2+y2+2x+1=(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)的距离的平方,由图可知z的最小值为点(-1,0)到直线BC:2x+y-2=0的距离的平方,又点(-1,0)到直线BC:2x+y-2=0的距离d==,故z的最小值为.
(3)z=×,故求z的最大值,即求可行域内的点(x,y)到直线x-y+3=0的距离的最大值的倍,易知点C到直线x-y+3=0的距离最大,
所以zmax=×=4.
PAGE 二元一次不等式组表示的平面区域
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选C.作可行域,为如图所示等腰直角三角形OAB,由
得
所以其面积为××1=.
2.已知M(t,1)在不等式组所表示的平面区域内,则整数t的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.依题意有解得-13.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为
( )
A.-5
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.由得两直线的交点为(1,a+1),又不等式组表示的平面区域为三条直线x+y-1=0,x-1=0,ax-y+1=0围成的三角形区域,且a>-1
所以面积为(a+1)×1=2,所以a=3.
4.(2019·嘉兴高二检测)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,5)
B.[7,+∞)
C.[5,7)
D.(-∞,5)∪[7,+∞)
【解析】选C.满足约束条件的可行域如图所示:
由图可知,若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是:
5≤a<7.
5.不等式组表示的平面区域是一个
( )
A.三角形
B.直角梯形
C.等腰梯形
D.矩形
【解析】选C.原不等式组可化为
或
画出各不等式组表示的公共区域,如图所示的阴影部分,则该平面区域是等腰梯形.
6.在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示的平面区域的面积为
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.不等式组表示的平面区域如图所示:
阴影部分是三角形,A(-1,2),B(-1,-2),C(1,0),阴影部分的面积为×4×2=4.
.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,表示图中阴影部分所示平面区域(包括边界)的不等式组是________.?
【解析】图中阴影部分所示平面区域在直线方程3x+2y-6=0上方,故3x+2y-6≥0,同理可得2x-3y-6≤0,2x+3y-12≤0.
答案:
8.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.?
【解析】两直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.由(0,0)点在直线x-2y+2=0右下方可知x-2y+2≥0,又(0,0)点在直线x+y-1=0左下方可知x+y-1≥0,即为所表示的平面区域.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:
(1)指出x,y的取值范围.
(2)平面区域内有多少个整点?
【解析】(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合,x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
所以,不等式组表示的平面区域如图所示.
结合图中平面区域得x∈,y∈[-3,8].
(2)由图形及不等式组知且x∈Z,y∈Z,
当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;
当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;
当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;
当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;
所以平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).
10.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:
原料肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥
料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
【解析】由已知x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.
PAGE 二元一次不等式表示的平面区域
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的点是
( )
A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-1,3)
D.(2,-3)
【解析】选C.把(0,0)代入不等式x+y-1≤0,得0-1≤0,成立,
所以点(0,0)在不等式x+y-1≤0表示的平面区域内;
把(-1,1)代入不等式x+y-1≤0,得-1+1-1≤0,成立,所以点(-1,1)在不等式x+y-1≤0表示的平面区域内;
把(-1,3)代入不等式x+y-1≤0,得-1+3-1≤0,不成立,所以点(-1,3)不在不等式x+y-1≤0表示的平面区域内;
把(2,-3)代入不等式x+y-1≤0,得2-3-1≤0,成立,所以点(2,-3)在不等式x+y-1≤0表示的平面区域内.
2.下列各式中,是二元一次不等式的是
( )
A.y>(a-1)x+1
B.|x|-y+1>0
C.ax2+y-3<0
D.(a2+1)x-2y+4≥0
【解析】选D.根据二元一次不等式的结构特点可知D项为二元一次不等式.
3.不等式x+3y≤12表示的平面区域是
( )
【解析】选B.将点(0,0)代入,满足不等式,表明原点在不等式x+3y≤12表示的平面区域内,排除选项A和D.
又直线x+3y-12=0上的点也符合条件,即边界为实线.
4.在平面直角坐标系中,点(-1,a)在直线x+y-3=0的右上方,则a的取值范围是
( )
A.(1,4)
B.(-1,4)
C.(-∞,4)
D.(4,+∞)
【解析】选D.
因为点(-1,a)在x+y-3=0的右上方,
所以有-1+a-3>0,解得a>4.
5.若不等式mx+ny-6>0(mn≠0)所表示的区域不含第三象限,则点(m,n)在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.依题意,直线mx+ny-6=0(mn≠0)经过第一、二、四象限,则>0,-<0,即m>0,n>0,所以点(m,n)在第一象限.
6.点(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是
( )
A.
B.(-∞,1)
C.
D.(-9,+∞)
【解析】选C.由已知2×(-2)-3b+5<0,所以b>.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.点P(1,a)到直线x-2y+2=0的距离为,且P在3x+y-3>0表示的区域内,则a=________.?
【解析】由条件知,=,解得a=0或3,
又点P在3x+y-3>0表示的区域内,
所以3+a-3>0,所以a>0,所以a=3.
答案:3
8.原点和点(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a的取值范围是________.?
【解析】将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x+y-a的符号相反,即-a·(2-a)<0,
所以0答案:(0,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.画出不等式2x-y-6≥0表示的平面区域.
【解析】先用实线画出直线2x-y-6=0,
取(0,0)代入2x-y-6≥0中,
得2×0-1×0-6=-6≥0不成立.
所以原点O不在2x-y-6≥0表示的平面区域内.
故2x-y-6≥0表示直线2x-y-6=0下方的区域(含边界).
10.若点(0,0)在直线3x-2y+a=0的上方区域,则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域?
【解析】因为直线3x-2y+a=0的上方区域的点的坐标满足3x-2y+a<0,
因为点(0,0)在直线3x-2y+a=0的上方区域,
所以a<0.
又因为3×1-2×3+a=a-3<0,
所以点(1,3)在此直线的上方区域.
PAGE 一元二次不等式及其解法习题课
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.不等式>0的解集是
( )
A.
B.(4,+∞)
C.(-∞,-3)∪(4,+∞)
D.(-∞,-3)∪
【解析】选D.原不等式等价于(2x-1)(x+3)>0,且x+3≠0,
所以不等式的解集为(-∞,-3)∪
2.已知A={x|(x-a+1)(x-a)>0},B={x|>0},若B是A的真子集,则a的取值范围为
( )
A.a≤-2
B.a≤-2或a≥2
C.a≥2
D.-2≤a≤1
【解析】选B.A={x|(x-a+1)(x-a)>0}=(-∞,a-1)∪(a,+∞),
B==(-2,1),
因为B是A的真子集,故1≤a-1或a≤-2,
解得a≤-2或a≥2.
3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),则关于x的不等式>0的解集为
( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
【解析】选B.因为ax-b>0的解集为(-∞,1),
所以a-b=0且a<0则b<0,
因为>0,
所以(ax+b)(x-2)>0,即a(x+1)(x-2)>0,
解得:-1所以不等式>0的解集为(-1,2).
4.(2019·景德镇高二检测)关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是R,则实数a的取值范围为
( )
A.{2}
B.
C.
D.
【解析】选C.当a2-4=0时,显然不满足题意.关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是R,
所以
解得此不等式组无解.
5.(2019·无锡高一检测)已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是
( )
A.0≤k≤1
B.0C.k<0或k>1
D.k≤0或k≥1
【解析】选A.当k=0时,不等式为8≥0恒成立,符合题意;
当k>0时,若不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,
则△=36k2-4k(k+8)≤0,解得0当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能对任意x∈R恒成立.
综上,k的取值范围是0≤k≤1.
6.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000+20x-0.1x2
(0( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
【解析】选C.由已知得,25x≥3
000+20x-0.1x2,
即0.1x2+5x-3
000≥0,
所以(x-150)(x+200)≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍),
所以最低产量为150台.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.不等式<2的解集为________.?
【解析】因为<2,
所以-2<0,即=<0,
所以<0等价于x(x-1)>0,
解得x<0或x>1,
所以不等式<2的解集为{x|x<0或x>1}.
答案:{x|x<0或x>1}
8.若不等式2x>x2+a对于一切x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围为________.?
【解析】因为2x>x2+a,所以a<2x-x2,
因为2x-x2=-(x-1)2+1在x∈[-2,3]的最小值为-8,
所以实数a的取值范围为a<-8.
答案:a<-8
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,求实数m的取值范围.
【解析】mx2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立.
当m=0时,2x+4<0并不恒成立;
当m≠0时,
得
所以m<-.
所以m的取值范围是m<-.
10.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围.
【解析】函数f(x)图象对称轴为x=.
①当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,
解得k<3,故k∈;
②当-1≤≤1,即2≤k≤6时,
只需f=+(k-4)×+4-2k>0,即k2<0,故k∈.
③当>1,即k<2时,
只需f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1,
故k<1,
综上,k的取值范围是(-∞,1).
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如果不等式(m+1)x2+2mx+m+1>0对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是
( )
A.m>-1
B.-1C.m>-
D.m<-1或m>-
【解析】选C.当m+1=0时,不等式可化为-2x>0,不满足条件.
当m+1≠0时,由已知,
解得m>-.
2.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=,则A∩(RB)=
( )
A.(-1,2)
B.(-1,1)
C.(-1,2]
D.(-1,1]
【解析】选D.由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.
所以A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],
由≥0,得x≤-1或x>2.
所以B=(-∞,-1]∪(2,+∞).
则RB=(-1,2],所以A∩(RB)=(-1,1].
3.不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是,则实数a的取值范围是
( )
A.[-1,3)
B.(-1,3]
C.(-1,3)
D.[-1,3]
【解析】选C.因为不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是,即x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集为,所以Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
所以a2-2a-3<0,所以-14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值为
( )
A.a=6,c=1
B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=6
D.a=-1,c=-6
【解析】选B.易知a<0,
且解得,
5.(2019·牡丹江高一检测)已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是
( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,4]
C.[2,+∞)
D.[4,+∞)
【解析】选D.由题得,
所以b=4,c=6,所以f(x)=-2x2+4x+6.
因为对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,
所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,
因为y=2x2-4x-2在[-1,0]上的最大值为4.
所以m≥4.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·宣城高一检测)对任意实数x,不等式(a-3)x2-2(a-3)x-6<0恒成立,则实数a的取值范围是__________.?
【解析】①当a-3=0,即a=3时,不等式为:-6<0,恒成立,则a=3满足题意,
②当a-3≠0,即a≠3时,不等式恒成立,则需:
解得:a∈,综上所述:a∈.
答案:(-3,3]
7.已知a∈R,不等式≥1的解集为P,且-2∈P,则a的取值范围是________.?
【解析】根据题意,不等式≥1的解集为P,且-2∈P,
则有≥1,即≤-1,
变形得:(a+3)(a-2)≤0且a-2≠0,
解得:-3≤a<2,
即a的取值范围为[-3,2).
答案:[-3,2)
8.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是________.?
【解析】f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],
由f(x)<0,得a-1所以f(f(x))<0可化为a-1而f(x)=(x-a)2-1≥-1,
若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,
则(a-1,a+1)∩[-1,+∞)=,
则a+1≤-1,解得a≤-2.
答案:a≤-2
9.(2019·银川高二检测)若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是________.?
【解析】不等式mx2-mx-1<-m+5可化为(x2-x+1)m-6<0,令f(m)=(x2-x+1)m-6,
则对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,等价于f(m)max<0,m∈[-2,2],
因为x2-x+1=+>0恒成立,
所以f(m)为[-2,2]上的增函数,所以f(m)max=f(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1答案:(-1,2)
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.(2019·厦门高一检测)已知函数f(x)=x2+(m-2)x(m∈R)
(1)若关于x的不等式f(x)<4的解集为,求m的值;
(2)若对任意x∈[0,4],f(x)+2≥0恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)不等式f<4可化为x2-(4-2m)x-8<0,其解集为,
由根与系数的关系可知-2+4=4-2m,
解得m=1,经检验m=1时满足题意.
(2)二次函数f(x)=x2+(m-2)x的对称轴为x=2-m.
①若2-m≤0,即m≥2,函数f在上单调递增,f(x)+2≥f(0)+2=2≥0恒成立,故m≥2;
②若0<2-m<4,即-2由f(x)+2≥f(2-m)+2=-(2-m)2+2≥0得0≤m≤4.
故0≤m<2;
③若2-m≥4,即m≤-2,此时函数f在上单调递减,
由f(x)+2≥f(4)+2=×16+(m-2)×4+2=4m+2≥0得m≥-,与m≤-2矛盾,故m不存在.
综上所述,实数m的取值范围为[0,+∞).
11.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈成立,求a的最小值.
【解析】设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=-,
若-≥,即a≤-1时,则f(x)在上是减函数.
应有f≥0?-≤a≤-1,
若-≤0,即a≥0时,
f(x)在上是增函数,应有f(0)=1>0恒成立,所以a≥0.
若0<-<,
即-1则有f=-+1=1-≥0恒成立,
所以-1综上,a≥-,即a的最小值为-.
12.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x+1-)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,求x的取值范围.
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)由已知,200≥3
000,
整理得5x-14-≥0.
即5x2-14x-3≥0.
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元,
则y=·100
=9×104
=9×104,
所以x=6时,ymax=457
500元.
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大,最大利润为457
500元.
PAGE 一元二次不等式及其解法
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.不等式x2-2x<0的解集是
( )
A.{x|0B.{x|-2C.{x|x<0或x>2}
D.{x|x<-2或x>0}
【解析】选A.方程x2-2x=0的两根为0,2,
且函数y=x2-2x的图象开口向上,
所以不等式x2-2x<0的解集为{x|02.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N等于
( )
A.{x|x<-2}
B.{x|x>3}
C.{x|-1D.{x|2【解析】选C.由已知,集合M={x|x2<4}={x|-2所以M∩N={x|-13.函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为
( )
A.{x|x>2或x<1}
B.{x|x≥2或x≤1}
C.{x|1≤x≤2}
D.{x|1【解析】选A.由x2-3x+2>0,得(x-2)(x-1)>0,
所以x>2或x<1.
4.(2019·安阳高二检测)若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为(-∞,1)∪(m,+∞),则a+m等于
( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.由题意知,1和m是方程x2-3ax+2=0的两个根,
则由根与系数的关系,得,解得,所以a+m=3.
5.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是
( )
A.10
B.-14
C.14
D.-10
【解析】选B.因为不等式ax2+bx+2>0的解集是,所以-,是方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a<0,
所以-=-+,=-×,
解得a=-12,b=-2,
所以a+b=-14.
6.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意可知,方程ax2+2x+c=0的两根为x1=-,x2=,
由根与系数的关系可得,解得,
所以不等式cx2-2x+a≤0即为2x2-2x-12≤0,
则(x+2)(x-3)≤0 解得-2≤x≤3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________.?
【解析】因为ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),所以1,m是方程ax2-6x+a2=0的根,
故a≠0且m>1??
答案:2
8.(2019·新乡高二检测)已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则不等式ax2+bx+1>0的解集为________.?
【解析】由题意得:?则不等式可化为:4x2-11x-3<0?-故不等式的解集为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2019·雅安高一检测)关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为.
(1)求a,b的值;
(2)求关于x的不等式bx2-ax-2>0的解集.
【解析】(1)关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为,
所以a<0,且-1和2是方程ax2+bx+2=0的两实数根,
由根与系数的关系知,
解得a=-1,b=1.
(2)由(1)知,a=-1,b=1时,
不等式bx2-ax-2>0为x2+x-2=0?(x+2)(x-1)>0?x>1或x<-2,
所以不等式bx2-ax-2>0的解集是.
10.已知函数f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),若对于任意x∈[2,4],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.
【解析】因为f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),
所以2x2+bx+c<0的解集是(0,5),所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系知,-=5,=0,
所以b=-10,c=0,
所以f(x)=2x2-10x.
f(x)+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,
所以2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0.
设g(x)=2x2-10x+t-2,
则由二次函数的图象可知g(x)=2x2-10x+t-2在区间[2,2.5]为减函数,在区间[2.5,4]为增函数.
所以g(x)max=g(4)=-10+t≤0,
所以t≤10.
即t的取值范围为(-∞,10].
PAGE 不等式的性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.给出下列命题:
①a>b?ac2>bc2;
②a>|b|?a2>b2;
③|a|>b?a2>b2;
④a>b?a3>b3.
其中正确的命题是
( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】选D.①a>b?ac2>bc2,当c=0时不成立,故①错误;
②a>|b|?|a|>|b|?a2>b2,故②正确;
③a=1,b=-2时,|a|>b成立,但a2>b2不成立,故③错误;
④y=x3在R上为增函数,故a>b?a3>b3,故④正确.
2.已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导成立的是
( )
A.若a>b,cb+d
B.若a>b,c>d?ac>bd
C.若bc-ad>0,->0?ab<0
D.若a>b>0,c>d>0?>
【解析】选D.对于A,当a=-2,b=-3,c=1,d=2时,a+c=b+d,故A错误,
对于B,当a=-2,b=-3,c=2,d=1时,ac对于C,当a=-2,b=-3,c=1,d=2时,ab>0,故C错误,
对于D,若a>b>0,c>d>0,则>,故D正确.
3.如果a>b,那么下列不等式中正确的是
( )
A.ac>bc
B.-a>-b
C.c-aD.>
【解析】选C.对于A,c≤0时,不成立,
对于B,-a<-b,
对于C,根据不等式的性质,成立,
对于D,a,b是负数时,不成立.
4.若<<0,有下面四个不等式:①|a|>|b|;②ab3,不正确的不等式的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.由<<0,可得0>a>b,所以|a|<|b|,故①②不成立;
所以a+b<0b3都成立,故③④一定正确.
5.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是
( )
A.[0,10]
B.[2,10]
C.[0,12]
D.[2,12]
【解析】选B.因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),
所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,
即2≤4a+2b≤10.
6.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是
( )
A.<
B.>
C.a>b2
D.a2>2b
【解析】选C.对于A,例如a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故A错;
对于B,例如a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错;
对于C,因为-11,所以a>b2,故C正确;
对于D,例如a=,b=,此时满足a>1>b>-1,a2<2b,故D错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若x,y满足则的取值范围是________.?
【解析】由2又1所以的取值范围是.
答案:
8.已知x,y,z满足z①xy>xz;②z(y-x)>0;③zy2其中正确式子的序号是________.?
【解析】①因为??xy>xz,
所以①正确.
②因为??z(y-x)>0,
所以②正确.
③因为z0且z<0.
当y=0时,zy2=xy2;
当y≠0时,zy2④因为x>z,所以x-z>0.
因为xz<0,所以(x-z)xz<0.所以④正确.
综上,①②④正确.
答案:①②④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设24【解析】因为24所以-12≤-b<-5,≤<,
2910.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
【解析】方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,
于是得解得
所以f(-2)=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10.
即f(-2)的取值范围是[5,10].
方法二:由得
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10.
即f(-2)的取值范围是[5,10].
PAGE不等关系与比较大小
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元的是
( )
A.a>300
B.a≥300
C.a<300
D.a≤300
【解析】选B.“不低于”用数学符号表示为“≥”,
所以a≥300.
2.(2019·铜仁高一检测)若A=x2-2x,B=-6x-4,则A,B的大小关系是
( )
A.A≤B
B.A≥B
C.A=B
D.与x的值有关
【解析】选B.因为A-B=(x2-2x)-(-6x-4)=x2+4x+4=(x+2)2≥0,所以A≥B.
3.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系是
( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
【解析】选B.b=-=,
c=-=.
因为+>+,所以<,所以b因为(+)=2+2>4,
所以<,即c综上,b4.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是
( )
A.M>N
B.M=N
C.MD.与x有关
【解析】选A.M-N=x2+x+1=+>0,
所以M>N.
5.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是
( )
A.PB.P=Q
C.P>Q
D.P,Q的大小由a的取值确定
【解析】选A.因为P2-Q2=2-2
=2-2<0,P,Q>0,
所以P6.若p=+,q=+,a≥0,则p,q的大小关系是
( )
A.pB.p>q
C.p=q
D.由a的取值确定
【解析】选A.因为p=+,
则p2=2a+7+2
因为q=+,
则q2=2a+7+2.
比较p,q的大小只需要比较(a+2)(a+5)与(a+3)(a+4).作差:
(a+3)(a+4)-(a+2)(a+5)=12-10=2>0,
所以p二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若a∈R,且a2-a<0,则a,a2,-a,-a2从小到大的排列顺序是________.?
【解析】因为a2-a<0,所以0a2>0,-a2-(-a)=-(a2-a)>0,
所以-a2>-a,所以-a<-a2<0答案:-a<-a28.已知x<1,x3-1与2x2-2x的大小关系为__________.?
【解析】因为(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1),
因为+>0,x-1<0,
所以(x-1)<0,
所以x3-1<2x2-2x.
答案:x3-1<2x2-2x
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较x3与x2-x+1的大小关系.
【解析】x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1
=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
因为x2+1>0,
所以当x>1时,x3>x2-x+1;
当x=1时,x3=x2-x+1,
当x<1时,x310.(2019·宁德高二检测)“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展,我国更加重视对生态环境的保护,2018年起,政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内,鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x元、y元(单位:kg);甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3
kg鸡蛋,乙每周购买10元钱鸡蛋.
(1)若x=8,y=10,求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格;
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠),并说明理由.
【解析】(1)
因为x=8,y=10,所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为=9,
乙两周购买鸡蛋的平均价格为=.
(2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为=,
乙两周购买鸡蛋的平均价格为=,由(1)知,x=8,y=10时,乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,猜测乙的购买方式更实惠.
依题意x,y>0,且x≠y,因为-==>0,所以>,
所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.
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