第三章
图形的平移与旋转考点梳理
【考点1
平移性质的运用】
【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对
应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【例1】（2020春?越秀区校级月考）在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（ ）
A．张华的长
B．李丽的长
C．一样长
D．不能确定
【分析】经过平移两个图形可变为两个长和宽都相等长方形．
【解答】解：因为经过平移两个图形可变为两个长和宽都相等长方形，所以她们用的铁丝周长一样长．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是生活中的平移现象、熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2020春?西城区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．23cm
B．26cm
C．29cm
D．32cm
【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为20cm得到AB+BC+AC＝20cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝26（cm），于是得到四边形ABFD的周长为26cm．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【变式1-2】（2019春?海曙区期中）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（ ）
A．②③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，故∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积（6+10）×2＝16，故④正确．
【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，
∴∠A＝∠BED，故①正确；
∵BG＝4，
∴AD＝BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF＝10，
∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG?GE＝4，
∴GE＝2，
∴四边形GCFE的面积（6+10）×2＝16，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键．
【变式1-3】（2020春?蕲春县期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移AD长的距离得到直角三角形DEF，已知BE＝5，EF＝8，CG＝3．则图中阴影部分面积
．
【分析】根据平移的性质可得△DEF≌△ABC，S△DEF＝S△ABC，则阴影部分的面积＝梯形BEFG的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：∵RT△ABC沿AB的方向平移AD距离得△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∴EF＝BC＝8，S△DEF＝S△ABC，
∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG，
∴S四边形ACGD＝S梯形BEFG，
∵CG＝3，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，
∴S梯形BEFG（BG+EF）?BE（5+8）×5．
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【考点2
作图—平移变换】
【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对
应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【例2】（2020春?江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝
，b＝
．
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是
．
【分析】（1）根据点A和B的坐标和点A′和B′的坐标可得答案；
（2）画出图形，然后再计算线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积即可；
（3）求出A、B所在直线的解析式，然后可得答案．
【解答】解：（1）∵A（a，0），A′（3，4），
∴△ABC向上平移4个单位后得到△A′B′C′，
∵B（5，3），B′（7，b），
∴△ABC向右平移2个单位后得到△A′B′C′，
∴a＝1，b＝3+4＝7，
故答案为：2；4；1；7；
（2）线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积：2×3+4×4＝22；
（3）设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），B（5，3），
∴，
解得：，
∴AB所在直线解析式为yx，
∵点M（m，n）为线段AB上的一点，
∴nm，
即：3m﹣4n＝3，
故答案为：3m﹣4n＝3．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，以及一次函数的应用，关键是正确确定图形的平移方法．
【变式2-1】（2020秋?雨花区月考）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）将△ABC平移后得到△DEF，若此时A点的对应点D的坐标为（1，3），请直接写出B点的对应点E和C点的对应点F的坐标，并在图中画出△DEF；
（3）在x轴上是否存在点P使得△DFP的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）根据点A及其对应点D的坐标得出平移的方向和距离，据此得到点E、F的坐标，从而得出△DEF；
（3）设点P的坐标为（x，0），根据△DFP的面积与△ABC的面积相等得到，解之可得答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为5×52×33×52×5；
（2）∵点A（﹣1，4）的对应点D的坐标为（1，3），
∴点B（﹣4，﹣1）的对应点E的坐标为（﹣4+2，﹣1﹣1），即E（﹣2，﹣2）；
点C（1，1）的对应点F的坐标为（1+2，1﹣1），即F（3，0）；
△DEF如图所示：
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得，
解得或，
所以点P为（，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出平移后的对应点，也考查割补法求三角形的面积．
【变式2-2】（2020秋?泰兴市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向
平移
个单位长度，再向
平移
个单位长度；
②点B的坐标为
；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移的性质画出图形即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
（3）设P（0，m），由题意，?|4﹣m|?6，解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点B即为所求作．
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；
②点B的坐标为（6，3）．
故答案为：右，3，上，5，（6，3）．
（2）S△ABC＝4×64×42×36×1＝10．
（3）设P（0，m），由题意，?|4﹣m|?6，
解得m＝3.5和4.5，
∴P（0，3.5），或（0，4.5）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-3】（2021春?锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系
．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【分析】（1）利用坐标系可得点B和点B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法；
（2）利用平移的性质进行计算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
（2）连接BC′，
由平移可得：∠CBC′＝′BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠BC′B′＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到对应点N（2a﹣7，4﹣b），
则a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝12．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的平移与点的坐标的变化规律．
【考点3
旋转的概念】
【方法点拨】旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
【例3】下面是4个能完全重合的正六边形，请仔细观察A、B、C、D四个图案，其中与所给图形不相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求．
【解答】解：观察图形可知，
只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同．
故选：B．
【点评】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，关键是掌握旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
【变式3-1】（2020春?唐河县期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A．144°
B．90°
C．72°
D．60°
【分析】如图，由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度．
【解答】解：如图，设O的是五角星的中心，
∵五角星是正五角星，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，
∵它们都是旋转角，
而它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5＝72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点﹣﹣﹣A和B重合，B和C重合…，进而判断出将它绕中心顺时针旋转的最小角度．
【变式3-2】（2020春?南海区期末）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【分析】先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，所以作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．
【解答】解：∵△ABC经过旋转后得到△EFD，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，
作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，它们的交点为N点，如图，
即旋转中心为N点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【变式3-3】（2020?黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是
；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：
（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有
个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可．
（2）旋转对称图形，且有一个旋转角是60度判断即可．
（3）根据旋转图形的定义判断即可．
（4）根据要求画出图形即可．
【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，
故选B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．
故答案为（1）（3）（5）．
（3）命题中①③正确，
故选C．
（4）图形如图所示：
【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点4
利用旋转求角度】
【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【例4】（2020?大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．110°
D．120°
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【变式4-1】（2020春?织金县期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠a的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．40°
D．30°
【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于70°，则可以利用三角形内角和定理列出等式进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝70°，
∴∠DOC＝70°﹣α，
∵∠A＝2∠D＝100°，
∴∠D＝50°，
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°，
∴100°+50°+70°﹣α＝180°，解得α＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
【变式4-2】（2020?菏泽）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（ ）
A．
B．α
C．α
D．180°﹣α
【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵∠BAD＝α，
∴∠BED＝180°﹣α．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-3】（2020?雨花区模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD
（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（ ）
A．80
B．80或120
C．60或120
D．80或100
【分析】分类讨论：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，根据旋转的性质得∠BDB′＝m，DB′＝DB，则∠1＝∠B＝50°，然后根据三角形内角和定理可计算出m＝80°；当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，根据旋转的性质得∠BDB′＝m，DB′＝DB，由BD＝2CD得到DB′＝2CD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，所以∠BDB′＝120°，即m＝120°．
【解答】解：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∴∠1＝∠B＝50°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°，
即m＝80°；
当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∵BD＝2CD，
∴DB′＝2CD，
∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠B′DC＝120°，
即m＝120°，
综上所述，m的值为80°或120°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．
【考点5
作图—旋转变换】
【例5】（2020春?盐湖区期末）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；
（3）连接A1A2，则△C1A1A2是
三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点A2、B2即可；
（3）利用勾股定理的逆定理可判断△C1A1A2是等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式计算它的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）∵C1A12＝12+22＝5，C1A22＝12+22＝5，A1A22＝12+32＝10，
∴C1A12+C1A22＝A1A22，
∴△C1A1A2是直角三角形，
而C1A1＝C1A2，
∴△C1A1A2是等腰直角三角形，它的面积．
故答案为等腰直角．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【变式5-1】（2020秋?锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【变式5-2】（2020春?锦江区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A
（2，2），B
（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用利用y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）根据中心对称的定义进行判断．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，对称中心的坐标为（，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
【变式5-3】（2020春?成都期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为
；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
故答案为：（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，
PB1+PC1的最小值为：
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称、最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【考点6
与旋转有关的点的坐标】
【例6】（2020春?翠屏区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）
A．（4，3）
B．（4，4）
C．（5，3）
D．（5，4）
【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．
∵A（1，0），B（﹣2，4），
∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，
∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，
∴C（5，3），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式6-1】（2020春?林州市期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，）
B．（，﹣1）
C．（，1）
D．（﹣2，1）
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE，
∴A′（，1），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-2】（2020?天桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，）
B．（﹣2，2）
C．（﹣3，2）
D．（﹣3，）
【分析】如图，作B′H⊥x轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【解答】解：作B′H⊥x轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′A′B′＝1，B′H，
∴OH＝3，
∴B′（﹣3，），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式6-3】（2020秋?沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（ ）
A．（﹣2，）
B．（﹣2，）
C．（﹣2，﹣2）
D．（﹣2，）
【分析】连接BD，B'D，根据矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，可得BD＝B'D，再根据DC⊥BB'，即可得到BC＝B'C＝2＝A'D，再判定△B'EC≌△DEA'，得到B'E＝DE，设CE＝x，则B'E＝DE＝4﹣x，根据Rt△B'EC中，CE2+B'C2＝B'E2，可得x2+22＝（4﹣x）2，求得x的值即可得到点E的坐标．
【解答】解：如图，连接BD，B'D，
∵矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，
∴BD＝B'D，
又∵DC⊥BB'，A（0，﹣4），C（﹣2，0），
∴BC＝B'C＝2＝A'D，
又∵∠B'CE＝∠DA'E＝90°，∠B'EC＝∠DEA'，
∴△B'EC≌△DEA'，
∴B'E＝DE，
设CE＝x，则B'E＝DE＝4﹣x，
∵Rt△B'EC中，CE2+B'C2＝B'E2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x，
∴E（﹣2，），
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意题中辅助线的作法．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【考点7
与旋转有关的点的坐标（周期规律）】
【例7】（2020春?郑州期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）
B．（36，0）
C．（39，0）
D．（，）
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
【变式7-1】（2019秋?南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，﹣1）
D．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（，0），B（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．．
【变式7-2】（2020?衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是
．
【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OPn＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；
∴OP1＝1，OP2＝2，
∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，
∴OPn＝2n﹣1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8＝252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．
故答案为：（0，﹣22019）．
【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上是解题关键．
【变式7-3】（2020?惠民县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为
．
【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2020的坐标位置，进而得出答案．
【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），
∵2020÷4＝505，
∴点B2020与B同在一个象限内，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点B2020（22020，22020）．
故答案为（22020，22020）．
【点评】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．
【考点8
中心对称图形】
【方法点拨】中心对称图形是把这个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【例8】（2020?襄城区校级模拟）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【变式8-1】（2020春?鹿城区校级期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【变式8-2】（2020春?西城区期末）下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．唐代对凤纹
B．良渚神人兽面纹
C．敦煌元素宝相花纹
D．《营造法式》海石榴花纹
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【变式8-3】（2020秋?柯桥区期末）下列扑克牌中，中心对称图形有（ ）
A．1张
B．2张
C．3张
D．4张
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：①③是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．
【考点9
关于原点对称的点的坐标】
【方法点拨】解答此类题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．
【例9】（2020?德城区模拟）在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P（m﹣n，n）所在象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出m﹣n的值，即可判断所在象限．
【解答】解：∵点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5，
则点P（m﹣n，n）为（5，﹣3），故P点所在象限是：第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
【变式9-1】（2019秋?中山市期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a或a＞1
B．a
C．a＜1
D．a＞1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，
则，
解得：a．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
【变式9-2】（2019秋?霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为
．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴，
解得：，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
【变式9-3】（2020春?柯桥区期中）直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为
．
【分析】此题主要是发现循环的规律，然后根据规律进行计算．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点为A1，是（﹣3，2）；
作点A1关于原点的对称点为A2，是（3，﹣2）；
作点A2关于x轴的对称点为A3，是（3，2）．
显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，
则点A2019的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．
【考点10
中心对称性质的运用】
【方法点拨】（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那
么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中
心的对称点．（2）中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个
图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【例10】（2020秋?沂水县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，
所以直线经过两个平行四边形的对角线的交点即可，
观察图象可知，选项B，C，D符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式10-1】（2020春?海勃湾区期末）如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EFAB；G、H是BC边上的点，且GHBC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4s．
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD＝s，
∵EFAB，GHBC，
∴S1s，S2s，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
【变式10-2】（2020?镇江模拟）如图，O是?ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则
．
【分析】首先根据题意画出图形，进而可得AE′的长度，?ABCD和△AEE′是等高，设高为h，然后再利用平行四边形的面积和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作△CDE′与△ABE关于点O对称，连接EE′，
∵△CDE′与△ABE关于点O对称，
∴BE＝DE′＝3，
∵AD＝7，
∴AE′＝4，
设?ABCD的高为h，
则△AEE′的高也等于h，
则，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了中心对称，以及平行四边形的性质，关键是正确画出图形，掌握中心对称的性质．
【变式10-3】（2020春?宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．
【分析】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．第三章
图形的平移与旋转考点梳理
【考点1
平移性质的运用】
【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对
应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【例1】（2020春?越秀区校级月考）在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（ ）
A．张华的长
B．李丽的长
C．一样长
D．不能确定
【变式1-1】（2020春?西城区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．23cm
B．26cm
C．29cm
D．32cm
【变式1-2】（2019春?海曙区期中）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（ ）
A．②③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【变式1-3】（2020春?蕲春县期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移AD长的距离得到直角三角形DEF，已知BE＝5，EF＝8，CG＝3．则图中阴影部分面积
．
【考点2
作图—平移变换】
【方法点拨】平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图
形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对
应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【例2】（2020春?江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移
个单位长度，再向上平移
个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝
，b＝
．
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是
．
【变式2-1】（2020秋?雨花区月考）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）将△ABC平移后得到△DEF，若此时A点的对应点D的坐标为（1，3），请直接写出B点的对应点E和C点的对应点F的坐标，并在图中画出△DEF；
（3）在x轴上是否存在点P使得△DFP的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2020秋?泰兴市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向
平移
个单位长度，再向
平移
个单位长度；
②点B的坐标为
；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2021春?锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系
．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【考点3
旋转的概念】
【方法点拨】旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
【例3】下面是4个能完全重合的正六边形，请仔细观察A、B、C、D四个图案，其中与所给图形不相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2020春?唐河县期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A．144°
B．90°
C．72°
D．60°
【变式3-2】（2020春?南海区期末）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【变式3-3】（2020?黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是
；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：
（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有
个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【考点4
利用旋转求角度】
【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【例4】（2020?大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．110°
D．120°
【变式4-1】（2020春?织金县期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠a的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．40°
D．30°
【变式4-2】（2020?菏泽）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（ ）
A．
B．α
C．α
D．180°﹣α
【变式4-3】（2020?雨花区模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD
（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（ ）
A．80
B．80或120
C．60或120
D．80或100
【考点5
作图—旋转变换】
【例5】（2020春?盐湖区期末）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；
（3）连接A1A2，则△C1A1A2是
三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．
【变式5-1】（2020秋?锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．
（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【变式5-2】（2020春?锦江区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A
（2，2），B
（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【变式5-3】（2020春?成都期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为
；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【考点6
与旋转有关的点的坐标】
【例6】（2020春?翠屏区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）
A．（4，3）
B．（4，4）
C．（5，3）
D．（5，4）
【变式6-1】（2020春?林州市期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，）
B．（，﹣1）
C．（，1）
D．（﹣2，1）
【变式6-2】（2020?天桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，）
B．（﹣2，2）
C．（﹣3，2）
D．（﹣3，）
【变式6-3】（2020秋?沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（ ）
A．（﹣2，）
B．（﹣2，）
C．（﹣2，﹣2）
D．（﹣2，）
【考点7
与旋转有关的点的坐标（周期规律）】
【例7】（2020春?郑州期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）
B．（36，0）
C．（39，0）
D．（，）
【变式7-1】（2019秋?南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）
B．
C．（﹣1，﹣1）
D．
【变式7-2】（2020?衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是
．
【变式7-3】（2020?惠民县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为
．
【考点8
中心对称图形】
【方法点拨】中心对称图形是把这个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【例8】（2020?襄城区校级模拟）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】（2020春?鹿城区校级期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2020春?西城区期末）下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．唐代对凤纹
B．良渚神人兽面纹
C．敦煌元素宝相花纹
D．《营造法式》海石榴花纹
【变式8-3】（2020秋?柯桥区期末）下列扑克牌中，中心对称图形有（ ）
A．1张
B．2张
C．3张
D．4张
【考点9
关于原点对称的点的坐标】
【方法点拨】解答此类题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．
【例9】（2020?德城区模拟）在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P（m﹣n，n）所在象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式9-1】（2019秋?中山市期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a或a＞1
B．a
C．a＜1
D．a＞1
【变式9-2】（2019秋?霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为
．
【变式9-3】（2020春?柯桥区期中）直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为
．
【考点10
中心对称性质的运用】
【方法点拨】（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于
中心的对称点．（2）中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两
个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
【例10】（2020秋?沂水县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】（2020春?海勃湾区期末）如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EFAB；G、H是BC边上的点，且GHBC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】（2020?镇江模拟）如图，O是?ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则
．
【变式10-3】（2020春?宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．
