2020-2021学年 北师大版八年级数学下册3.2图形的旋转优生辅导训练（word版含答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册3.2图形的旋转优生辅导训练（附答案）
1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上，若∠ACB＝75°，则∠BCB′的度数为（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，在同一平面内，将△ABC绕点B逆时针旋转100°到△A′BC′的位置，则∠ABC′＝（　　）
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△A′B′C′的位置，若∠CAB′＝25°，则旋转角的度数为（　　）
A．25°
B．20°
C．65°
D．70°
4．如图，将直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转至△A′B′C′，已知AC＝8，BC＝6，点M，M′分别是AB，A′B′的中点，则MM′的长是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．5
5．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．
①△BED是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，△ABC是直角三角形，∠B＝30?，∠A＝90?，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转60?至△CB1A1，再将△CB1A1沿边B1C翻折至△CB1A2，则△ABC与△CB1A2重叠部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
8．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长是（　　）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点，若∠DAB＝90°，AB＝2，则BD的长是（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角α度数为（　　），△ADF是等腰三角形．
A．20°
B．40°
C．10°
D．20°或40°
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为　
　．
12．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD＝4；DA＝2，那么CC′＝　
　．
13．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为　
　．
15．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的角度是　
　．
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝　
　．
17．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝　
　．
18．如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，A1B的长为　
　．
19．如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α＝　
　°．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为　
　．
21．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为D，则AD的长为　
　．
22．如图，△ABC在平面直角坐标系中，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段A1C1旋转到A2C2扫过的面积．（结果保留π）
23．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D在直线BC上，E在AC上，且AC＝CD，DE＝AB．
（1）如图②，将△ECD沿CB方向平移，使点E落在AB上，得△E1C1D1，求平移的距离；
（2）如图③，将△ECD绕点C逆时针旋转，使点E落在AB上，得△E2CD2，求旋转角∠DCD2的度数．
24．如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AD为△ABC的角平分线，DE⊥BC且交AB于点E．
（1）求证：∠C﹣∠B＝2∠ADE；
（2）如图2，将图1中的直线DE向右平移经过点A，记为AF．将射线FC绕点F逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后的射线记为FM，FM交AC于点M．再将射线FB绕点F顺时针方向旋转同一个角度α，旋转后的射线记为FN，FN交AB于点N．请直接写出∠AMF、∠ANF、∠DAF之间的数量关系．
25．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP＝3，求PP′的长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝60°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，点A、B的对应点分别为D、E．
（1）求证：△BCE为等边三角形；
（2）若点F为边AC的中点，连接DF，猜想DF与BE的数量关系，并证明．
27．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
28．如图，AM∥BN，∠MAB和∠NBA的角平分线相交于点P，过点P作直线EF分别交AM、BN于F、E．
（1）求证：AB＝AF+BE；
（2）若EF绕点P旋转，F在MA的延长线上滑动，如图，请你测量，猜想AB、AF、BE之间的关系，写出这个关系式，并加以证明．
参考答案
1．解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处
∴AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝75°
∴∠ACC'＝∠AC'B'＝75°
∴∠ACB'＝105°
∵∠BCB'＝∠ACB'﹣∠ACB
∴∠BCB'＝105°﹣75°＝30°
故选：C．
2．解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转100°到△A′BC′的位置，
∴∠A'BC'＝∠ABC＝40°，∠ABA'＝100°
∴∠ABC'＝60°
故选：B．
3．解：∵∠CAB＝45°，∠CAB′＝25°，
∴∠B′AB＝∠CAB﹣∠CAB′＝45°﹣25°＝20°，
∴旋转角的度数为20°，
故选：B．
4．解：连接CM，CM′，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵M是AB的中点，
∴CM＝AB＝5，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′＝∠ACM
∵∠ACM+∠MCB＝90°，
∴∠MCB+∠BCM′＝90°，
又∵CM＝C′M′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴MM′＝CM＝5
故选：A．
5．解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，AE＝CD，∠EAB＝∠C＝60°，
∴△BED是等边三角形，
故①正确；
∵∠BAE＝∠C＝∠ABC＝60°，
∴AE∥BC，
故②正确；
∵△BED是等边三角形，
∴DE＝BD，∠EDB＝60°，
∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD＝BC+BD，
故③正确；
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，
∴∠ADE+60°＝∠DBC+60°，
∴∠ADE＝∠DBC，
故④正确．
故选：D．
6．解：
∵∠B＝30?，∠BAC＝90?，AC＝1，
∴BC＝2，AB＝AC＝
∵将△ABC绕点C逆时针旋转60?至△CB1A1，再将△CB1A1沿边B1C翻折至△CB1A2，
∴A1C＝AC＝1＝A2C，∠BAC＝∠A1＝∠B1A2C＝90°
∴A2B＝1，且∠B＝30°
∴A2E＝
∴△ABC与△CB1A2重叠部分的面积＝﹣×1×＝
故选：C．
7．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
8．解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝5，BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣5＝2．
故选：B．
9．解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB＝AD＝2，
∵∠DAB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝2．
故选：C．
10．解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵△ADF是等腰三角形，∠DFA＝30°+α，
①CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD，
当FD＝FA，则∠FDA＝∠FAD，这不合题意舍去，
②当AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴90°﹣α＝30°+α，
解得α＝40°；
③当DF＝DA，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴30°+α＝90°﹣α﹣30°，
解得α＝20°．
故选：D．
11．解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴C（2，），即点C是定点，
∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，
∴线段QB长度的最小值为2．
故答案为：2．
12．解：由旋转的性质可知，∠CAC′＝90°，AC＝AC′，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC＝＝＝2，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′＝＝2．
故答案为：2．
13．解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为150°．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠CAB＝30°，故AB＝4，
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB＝A′B′＝4，AC＝A′C，
∴∠CAA′＝∠A′＝30°，
∴∠ACB′＝∠B′AC＝30°，
∴AB′＝B′C＝2，
∴AA′＝2+4＝6，
故答案为6．
15．解：∵周角为360°，时针12小时转一周，
∴每小时对应的角度为：360°÷12＝30°．
∵时针从上午8时到上午11时走了三个小时，
∴时针旋转的角度是：30°×3＝90°．
故答案为：90°．
16．解：如图，由对顶角相等得，∠2＝∠1＝120°，
在四边形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，
即旋转角∠α＝∠DAD′＝30°．
故答案为：30°．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴AP＝＝，
∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，
∴△ADP≌△ABP′，
∴AP′＝AP＝，∠BAP′＝∠DAP，
∴∠PAP′＝∠BAD＝90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′＝AP＝2；
故答案为：2．
18．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴∠B＝60°，BC＝AC＝2，AB＝4．
∵由旋转的性质可知：∠B1＝∠B＝60°，B1C＝BC，A1B1＝AB＝4，
∴△BCB1是等边三角形．
∴BB1＝BC＝2．
∴BA1＝A1B1﹣B1B＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
19．解：DE与B′C′相交于O点，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E＝＝108°，
∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），
∴∠BAB′＝α，∠B′＝∠B＝108°，
∵DE⊥B′C′，
∴∠B′OE＝90°，
∴∠B′AE＝360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°，
∴∠BAB′＝∠BAE﹣∠B′AE＝108°﹣54°＝54°，
即∠α＝54°．
故答案为54．
20．解：连接AP，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP＝OB，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∴∠BAP＝∠BOP＝α，∠APC＝∠ABC＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴点P、C在以AB为直径的圆上，
∴∠ACP＝∠ABP＝90°﹣α，∠APC＝∠ABC＝70°，
当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，
即90°﹣α＝70°，解得α＝40°；
当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP，
即α+20°＝90°﹣α，解得α＝70°；
当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，
即α+20°＝70°，解得α＝100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．
故答案为40°或70°或100°．
21．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为D，
∴AB＝BD＝5，
则在Rt△ABD中，AD的长为：＝5．
故答案为：5．
22．解：（1）如图△A1B1C1为所作；
（2）如图△A2B2C2为所作；
（3）线段旋转后扫过的面积为．
23．（1）解：∵∠ACB＝90°
∴∠ECD＝90°，
∵AC＝CD，DE＝AB．
∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），
∴BC＝CE，
∵∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴CE＝2，
由平移知，C1E1∥AC，C1E1＝CE＝2，
∴∠BE1C1＝∠A＝30°，
∴BE1＝2BC1，
∴BE12﹣BC12＝C1E12，
即：4BC12﹣BC12＝4，
∴BC1＝，
∴CC1＝BC﹣BC1＝2﹣；
即平移距离为2﹣．
（2）解：旋转角∠DCD2的度数是△ECD绕点C旋转的度数，即∠ECE2的度数；
∵∠ABC＝60°，BC＝CE2＝2，AB＝4，
∴△E2BC是等边三角形，
∴BC＝E2C＝E2B＝2，
∴AE2＝E2C＝2，
∴∠E2AC＝∠E2CA，
∴∠ECE2＝∠BAC＝30°，
∴∠DCD2＝∠ECE2＝30°．
24．（1）证明：如图1中，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵∠C+∠ADC+∠CAD＝180°，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠ADC，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝∠CDE＝90°，
∵∠ADB＝∠BDE+∠ADE，∠ADC＝∠CDE﹣∠ADE，
∴∠ADB﹣∠ADC＝2∠ADE，
∴∠C﹣∠B＝2∠ADE．
（2）解：结论：∠AMF﹣∠ANF＝2∠DAF．
理由：如图2中，作DE∥AF交AB于E．
∵∠AMF＝∠MFC+∠C，∠ANF＝∠B+∠BFN，∠MFC＝∠NFB＝α，
∴∠AMF﹣∠ANF＝（∠MFC+∠C）﹣（∠B+∠NFB）＝∠C﹣∠B，
由（1）可知∠C﹣∠B＝2∠ADE，
∵DE∥AF，
∴∠ADE＝∠DAF，
∴∠AMF﹣∠ANF＝2∠DAF．
25．解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′＝3，∠BAP＝∠CAP′，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∴∠CAP′+∠CAP＝90°，
即∠PAP′＝90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：PP′＝＝3，
即PP′的长是3．
26．（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）DF＝BE．
证明：连接BF，
∵点F是边AC中点，
∴CF＝BF＝AF＝AC，
∵∠A＝60°，
∴∠BCA＝30°，
∴BA＝AC，
∴BF＝AB＝AF＝CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°，点A、B的对应点分别为D、E．
∴AB＝DE，
∴DE＝BF．
延长BF交CE于点G，则∠BGE＝∠GBC+∠BCG＝90°，
∴∠BGE＝∠DEC，
∴BF∥ED，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF＝BE．
27．（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
28．（1）证明：延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP＝∠AQB，
∴∠BAP＝∠AQB，
∴AB＝BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP＝PQ，
∵AM∥BN，
∴＝＝1，
∴AF＝EQ，
∴AB＝AF+BE；
（2）①成立，
证明：如图2，
延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP＝∠AQB，
∴∠BAP＝∠AQB，
∴AB＝BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP＝PQ，
∵AM∥BN，
∴＝＝1，
∴AF＝EQ，
∴AB＝AF+BE；
②不同，猜想：AF+AB＝BE，
证明：延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP＝∠AQB，
∴∠BAP＝∠AQB，
∴AB＝BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP＝PQ，
∵AM∥BN，
∴＝＝1，
∴AF＝EQ，
∴AF+AB＝BE