2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明经典好题培优提升训练（Word版，附答案）

2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明经典好题培优提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α
B．4α﹣360°
C．α+90°
D．180°﹣α
2．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25°
B．25°或40°
C．25°或
35°
D．40°
3．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15
B．12
C．10
D．14
4．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（　　）
A．58°
B．63°
C．67°
D．70°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
6．如图，△ABC，点D在AC上，连接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，则图中共有等腰三角形（　　）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
7．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（　　）
A．120°
B．125°
C．127°
D．132°
8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（　　）
A．9
B．10
C．12
D．14
9．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一
B．二
C．三
D．四
10．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是　
　．
11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，BD＝5cm，则△ABD的周长是　
　cm．
12．如图，已知△ABC中，点E、F在AB边上，且AE＝AC，BF＝BC，∠ECF＝40°，则∠ACB＝　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为　
　．
14．在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点D在AB边上，连接CD，CD＝，则线段AD的长为　
　．
15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　
　度．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是　
　．
17．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝4，则DF＝　
　．
18．如图，△ABC中，已知AB＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AC交AC于点E，若DE＝2，则△ABC的面积为　
　．
19．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为　
　．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝8cm，则AC等于　
　cm．
21．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是　
　．
22．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
23．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
26．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
27．综合与实践：
问题情境：
已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．
（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；
拓广探索：
（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．
28．如图：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，E是AB的中点，
（1）求证：E点一定在AD的垂直平分线上；
（2）如果CD＝9cm，AC＝15cm，F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s，求当运动几秒钟时．△ADF是等腰三角形？
参考答案
1．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
2．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
4．解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°，
故选：B．
5．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
6．解：图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故选：D．
7．解：连接OA，
∵∠BOC＝148°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，
∵O是三边的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝127°，
故选：C．
8．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．
故选：A．
9．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
10．解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
11．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm，BD＝5cm，
∴DA＝DB＝5（cm），AB＝6（cm），
∴△ABD的周长＝BD+AD+AB＝16（cm），
故答案为：16．
12．解：∵∠ECF＝40°，
∴∠AEC+∠BFC＝140°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF，
∴∠ACE+∠BCF＝140°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCF﹣∠ECF＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
13．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
故答案为：115°．
14．解：过C点作底边AB上的高CE，
∵AC＝BC＝5，AB＝8，
∴AE＝4，
∴CE＝＝＝3，
∴DE＝＝＝2，
如图1，AD＝AE﹣DE＝2；
如图2，AD＝AE+DE＝6．
故线段AD的长为2或6．
故答案为：2或6．
15．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠GDC＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
16．解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝20°，
当∠EDC＝90°时，
∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；
当∠DEC＝90°时，
∠BDE＝90°﹣20°＝70°．
故∠BDE的度数是30°或70°．
故答案为：30°或70°．
17．解：作DG⊥OB于G，
∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA，
∴DG＝DE＝4，
在Rt△EOF中，∠AOB＝60°，
∴∠OFE＝30°，
∴DF＝2DG＝8，
故答案为：8．
18．解：过点D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝×5×2+×4×2＝9，
故答案为：9．
19．解：如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°．
故答案为：70°．
20．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB＝8，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∴AC＝EC，
由勾股定理得，AC2+EC2＝AE2，即AC2+AC2＝82，
解得，AC＝4，
故答案为：4．
21．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长等于13厘米，
∴AD+BD+AB＝13厘米，
即AB+BC＝13厘米，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+5＝18（厘米），
故答案为：18厘米．
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
23．解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
25．解：（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
26．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝∠PBC＝30°，
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2×2＝4，
∴PE＝×4＝2；
（2）△EFP是直角三角形．理由如下：
连接PF、EF，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形．
27．解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．
∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠DAC＝36°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°．
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．
（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：
在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°．
在△ADE中，∠DAC＝n，
∴．
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴＝．
∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，
∴∠BAD＝n﹣100°．
∴∠BAD＝2∠CDE．
（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：
如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝140°．
在△ADE中，∠DAC＝n，
∴∠ADE＝∠AED＝．
∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，
∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，
∴∠BAD＝100°+n，
∴∠BAD＝2∠CDE．
28．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝DE，
∴E点一定在AD的垂直平分线上；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴AD＝＝＝12（cm），
当FA＝AD＝12cm时，t＝＝＝4s，
当FA＝FD时，则∠FAD＝∠ADF，
又∵∠FAD+∠C＝∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠C＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴FA＝FC＝AC＝cm，
∴t＝＝＝s，
当DF＝AD时，点F不存在，
综上所述，当点F运动4s或s时，△ADF是等腰三角形