2020-2021学年八年级数学北师大版下册课课练 第1章 第2节 直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定（word版含答案）

2　第1课时　直角三角形的性质与判定（A卷）
知识点
1　直角三角形的性质
1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是
(　　)
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
2.如图1-2-1,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,CB>CA,图中除直角外相等的角共有
(　　)
图1-2-1
A.1对
B.2对
C.4对
D.5对
3.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是
(　　)
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.b2+c2=a2
D.以上都有可能
4.若直角三角形的两边长分别为4和5,则第三边长为　　　　　.?
5.如图1-2-2所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P,已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
图1-2-2
知识点
2　直角三角形的判定
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是
(　　)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
7.若三角形的三边长分别为6,8,10,则它的最长边上的高为　　　　.?
8.如图1-2-3是一个机器零件的示意图,∠ACD=90°是衡量这个零件合格的一项指标,现测得AB=4
cm,BC=3
cm,AD=13
cm,CD=12
cm,∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
图1-2-3
知识点
3　互逆命题、逆定理
9.下列说法中,正确的是
(　　)
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.真命题的逆命题一定是真命题
10.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.
(1)如果x2>0,那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等,两直线平行.
11.[2020·宜昌]
能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是
(　　)
图1-2-4
12.在△ABC中,AB=13
cm,AC=20
cm,BC边上的高AD的长为12
cm,则△ABC的面积为　　　　　　.?
图1-2-5
13.如图1-2-5,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AD=10,AB=8,则EC的长为　　　　.?
14.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图1-2-6,以往从黄石站A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石站A坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80
km,BC=20
km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题:
(1)求A,C之间的距离(参考数据:≈4.6);
(2)若客车的平均速度为60
km/h,市内公共汽车的平均速度为40
km/h,城际列车的平均速度为180
km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应该选择哪种乘车方案(不计候车时间)?
图1-2-6
15.如图1-2-7,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边的长分别为2,,;
(3)如图③,点A,B,C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
图1-2-7
（B卷）
命题点
1　利用直角三角形内角的性质进行计算
1．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么较大锐角的度数是(　　)
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
2．如图1－2－1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC的度数为(　　)
图1－2－1
A．90°
B．20°
C．45°
D．70°
3．如图1－2－2，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点，当△AOC是直角三角形时，∠A的度数为__________．
图1－2－2
4．如图1－2－3所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P.已知∠EPD＝125°，则∠BAD＝________°.
图1－2－3
方法点拨(4题)
求角的度数时，注意一些隐含条件的应用，如对顶角相等，邻补角、外角的性质等.
命题点
2　运用勾股定理进行计算
5．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图1－2－4(示意图)，推开双门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为(　　)
图1－2－4
A．100寸
B．101寸
C．102寸
D．103寸
6．如图1－2－5，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
图1－2－5　
命题点
3　直角三角形的判定及其应用
7．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足|a－2|＋＋(c－2
)2＝0，下列对此三角形的形状描述最确切的是(　　)
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
8．如图1－2－6，∠ABC＝90°，AB＝6
cm，AD＝24
cm，BC与CD的长度之和为34
cm，其中C是直线l上的一个动点，请你探究当点C离点B多远时，△ACD是以CD为斜边的直角三角形．
图1－2－6
9．2019·呼和浩特
如图1－2－7，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
(3)若＝，求证：△ABC是直角三角形．
图1－2－7
命题点
4　互逆命题和互逆定理
10．下列命题的逆命题不成立的是(　　)
A．直角三角形的两锐角互余
B．若三角形的三边满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．互为邻补角的两个角的和为180°
D．同位角相等，两直线平行
11．下列定理中有逆定理的是(　　)
A．同角的余角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．对顶角相等
D．内错角相等，两直线平行
12．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假．
(1)如果x＝y，那么x2＝y2；
(2)如果一个三角形中有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角；
(3)如果a>b，那么ac2>bc2；
(4)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(5)如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．
方法点拨(12题)
(1)每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件和结论交换位置，便可以得到原命题的逆命题．
(2)一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可.
13．(1)如图1－2－8①，长方体的长为4
cm，宽为3
cm，高为12
cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度；
(2)如图②，长方体的长为4
cm，宽为3
cm，高为12
cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
(3)若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计，如图③)，圆柱形容器的高为12
cm，底面周长为10
cm，在容器内壁离底部3
cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与点B相对且离容器上沿3
cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程．
　
　
图1－2－8
教师详解详析
1.C
2.B　[解析]
∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∴∠A=∠DCB.同理得∠B=∠ACD,∴图中除直角外相等的角一共有2对.
3.D
4.3或　[解析]
①若第三边为斜边,则第三边长==;
②若边长为5的边为斜边,则第三边长==3.
5.解:∵AD是BC边上的高,∠EPD=125°,
∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°.
∵BE是一条角平分线,
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°.
在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
6.D　[解析]
A.∠A+∠B=∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,又∠A+∠B+∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;
C.由a2=c2-b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形;
D.32+42≠62,不符合勾股定理的逆定理,△ABC不是直角三角形.
7.4.8　[解析]
∵三角形的三边长分别为6,8,10,且62+82=100=102,
∴此三角形是直角三角形,边长为10的边是最长边.设它的最长边上的高是h,
则6×8=10h,解得h=4.8.
8.解:能.理由:在Rt△ABC中,∵AB=4
cm,BC=3
cm,∠ABC=90°,∴AC==5(cm).
在△ACD中,∵AD=13
cm,CD=12
cm,AC=5
cm,∴AD2=169,CD2+AC2=169,
∴AD2=CD2+AC2,∴∠ACD=90°.
9.A
10.解:(1)原命题是假命题.逆命题:如果x>0,那么x2>0.
(2)原命题是假命题.逆命题:正方形是长方形.
(3)原命题是真命题.逆命题:两直线平行,内错角相等.其逆命题是真命题,它们互为逆定理.
11.C　[解析]
C选项图中:三角形三个内角都是锐角,则∠α+∠β>90°.故选C.
12.126
cm2或66
cm2　[解析]
在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD=5
cm;在Rt△ACD中,由勾股定理可求得CD=16
cm,所以BC=BD+CD=21
cm或BC=CD-BD=11
cm,所以S△ABC=BC·AD=×21×12=126(cm2)或S△ABC=BC·AD=×11×12=66(cm2).
13.3
14.解:(1)过点C作AB的垂线,交AB的延长线于点E.
∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°.
在Rt△CBE中,∠BCE=90°-∠CBE=30°,BC=20
km,
∴BE=10
km,
则EC==10
km,
∴AE=AB+BE=90
km.
在Rt△ACE中,AC===20≈20×4.6=92(km),
即A,C之间的距离约为92
km.
(2)乘客车所需时间t1==1(h);乘城际列车和市内公共汽车所需时间t2≈+=1(h).
∵1>1,
∴小明应该选择在黄石站A坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B的方案.
15.解:(1)如图①的正方形的边长是,面积是10(所画正方形的形状、大小相同,位置可能不同).
(2)如图②的三角形的边长分别为2,,(所画三角形的形状、大小相同,位置可能不同).
(3)如图③,连接AC.
∵每个小正方形的边长都是1,
∴由勾股定理得AC=BC==,
AB==2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°.
又∵AC=BC,
∴∠ABC=45°.
教师详解详析
1.D　2.B
3.60°或90°　[解析]
由于∠AOD=30°,所以当△AOC是直角三角形时,分∠A是直角和∠ACO是直角两种情况讨论求解.
4.20　[解析]
∵AD是BC边上的高,∠EPD=125°,∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°.∵BE平分∠ABC,
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°.
在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
5.B　[解析]
设OA=OB=AD=BC=r寸,过点D作DE⊥AB于点E,
则DE=10寸,OE=CD=1寸,AE=(r-1)寸.
在Rt△ADE中,
AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,
解得2r=101.
故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.
6.解:设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9.从而AD=12,
∴△ABC的面积为BC·AD=×14×12=84.
7.B
8.[解析]
设BC=x
cm,则CD=(34-x)cm,再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程,求出x的值即可.
解:∵BC与CD的长度之和为34
cm,
∴设BC=x
cm,则CD=(34-x)cm.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6
cm,
∴AC2=AB2+BC2=62+x2.
若△ACD是以CD为斜边的直角三角形,
则CD2=AD2+AC2.
∵AD=24
cm,CD=(34-x)cm,
∴AC2=CD2-AD2=(34-x)2-242,
∴62+x2=(34-x)2-242,
解得x=8,即BC=8
cm.
因此,当点C离点B
8
cm时,△ACD是以CD为斜边的直角三角形.
9.解:(1)∠A+∠B<∠C.
(2)证明:如图,过点A作MN∥BC,
则∠MAB=∠B,∠NAC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角的定义),
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换),
即△ABC的内角和等于180°.
(3)证明:∵=,
∴ac=(a+b+c)(a-b+c)=[(a2+2ac+c2)-b2],
∴2ac=a2+2ac+c2-b2,∴a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形.
10.C
11.D　[解析]
先说出各命题的逆命题,再根据逆命题的真假进行判断.
12.[解析]
先分清原命题的条件和结论,再把条件和结论互换位置,就得到原命题的逆命题.
解:(1)逆命题:如果x2=y2,那么x=y.逆命题是假命题.
(2)逆命题:如果一个三角形中有两个角是锐角,那么它的另外一个角是钝角.逆命题是假命题.
(3)逆命题:如果ac2>bc2,那么a>b.逆命题是真命题.
(4)逆命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.逆命题是真命题.
(5)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的内角相等.逆命题是真命题.
13.解:(1)由题意得该长方体中能放入木棒的最大长度是=13(cm).
(2)分三种情况讨论:①将长方体沿BF展开,如图甲,连接AG.由题意得AB=4
cm,BC=3
cm,∴AC=3+4=7(cm),∴AG===(cm).②将长方体沿EF展开,如图乙,连接AG.由题意得GF=3
cm,BF=12
cm,∴BG=3+12=15
(cm),∴AG===(cm).③将长方体沿BC展开,如图丙,连接AG.由题意得CD=4
cm,GC=12
cm,∴GD=4+12=16(cm),∴AG===(cm).∵<<,∴蚂蚁爬行的最短路程为
cm.
(3)如图,将容器侧面展开,作点A关于EF的对称点A',连接A'B,则A'B的长即为最短路程.
作A'D⊥BM交BM的延长线于点D.
由题意知A'D=5
cm,BD=12-3+3=12(cm),
∴A'B===13(cm),
故蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13
cm.