2020-2021学年八年级数学北师大版下册课课练 1.1.2等腰三角形的特殊性质和等边三角形（word版含答案）

1　第2课时　等腰三角形的特殊性质和等边三角形
（A卷）
知识点
1　等腰三角形中特殊的相等线段
1.已知:如图1-1-13,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是
(　　)
A.BD=CE
B.OB=OC
C.OC=DC
D.∠ABD=∠ACE
图1-1-13
图1-1-14
2.已知:如图1-1-14,在△ABC中,AB=AC,添加下列条件,不能得出BD=CE的是
(　　)
A.BD和CE分别为AC和AB边上的高
B.BD和CE分别为AC和AB边上的中线
C.∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
3.已知:如图1-1-15,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.
图1-1-15
知识点
2　等边三角形的性质
4.如图1-1-16,△ABC是等边三角形,且点A在直线l上,则∠1+∠2等于
(　　)
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
图1-1-16
图1-1-17
5.如图1-1-17,已知AD是等边三角形ABC的中线,则∠BAD的度数是
(　　)
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
6.如图1-1-18,在等边三角形ABC中,AD为高,若AB=6,则CD的长为　　　　.?
图1-1-18
7.[教材习题1.2第3题变式]
已知:如图1-1-19,在等边三角形ABC中,D为BC延长线上一点,E为CA延长线上一点,且AE=CD.
求证:AD=BE.
图1-1-19
8.如图1-1-20,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.求证:AC=BE.
图1-1-20
9.如图1-1-21,在△ABC中,AB=AC=6,该三角形的面积为15,O是边BC上任意一点,则点O到AB,AC边的距离之和等于
(　　)
A.5
B.7.5
C.9
D.10
图1-1-21
图1-1-22
10.如图1-1-22,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的结论有
(　　)
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
11.如图1-1-23,在等边三角形ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,CD,BE相交于点O,则∠BOC的度数是　　　　.?
图1-1-23
12.如图1-1-24所示,在等边三角形ABC中,D是BC上的一点,延长AD至点E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,连接OE,求∠E的度数.
图1-1-24
13.如图1-1-25,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由点A向点C运动(点P与点A,C不重合),Q是CB延长线上一动点,由点B沿CB延长线的方向运动(点Q与点B不重合),点P,Q同时出发,且速度相同.过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.
(2)在运动过程中线段DE的长是否发生变化?如果不发生变化,求出线段DE的长;如果发生变化,请说明理由.
图1-1-25
（B卷）
命题点
1　利用等腰三角形的特殊性质解题
1.如图1-1-10,在△ABC中,AB=AC,D,E分别为边AC,AB上的点,且BD,CE相交于点O,给出下列条件,其中不一定使BD=CE的是
(　　)
A.BD和CE分别为AC和AB边上的高
B.BD和CE分别为AC和AB边上的中线
C.∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
图1-1-10
2.如图1-1-11,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,并交于点F,则图中全等三角形共有
(　　)
图1-1-11
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
3.如图1-1-12,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AB=5,AD=4,则AE=　　　　.?
图1-1-12
4.如图1-1-13,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的高,且BD,CE相交于点O.
(1)请你写出三个不同类型的正确结论;
(2)设∠CBD=α,∠A=β,试找出α与β之间的一种关系式,并证明.
图1-1-13
命题点
2　利用等边三角形的性质进行计算
5.如图1-1-14,等边三角形ABC的边长为2,
AD是BC边上的高,则高AD的长为(　　)
图1-1-14
A.1
B.
C.
D.2
6.如图1-1-15,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为
(　　)
图1-1-15
A.(1,1)
B.(,1)
C.(,)
D.(1,)
7.2019·镇江
如图1-1-16,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1=　　　　°.?
图1-1-16
8.如图1-1-17,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P.
(1)求证:△ADC≌△BEA;
(2)求∠BPD的度数.
图1-1-17
方法点拨(8题)
用等边三角形的性质为三角形全等的判定创造条件，利用全等三角形对应角相等进行转化求解.
命题点
3　利用等边三角形的性质进行证明
9.如图1-1-18所示,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的有
(　　)
图1-1-18
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
解题突破(9题)
利用等边三角形的性质可证明三角形全等，从而得出角及线段的相等关系.
10.如图1-1-19,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
图1-1-19
11.如图1-1-20①,在等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗?请说明你的理由;
(2)求证:AE∥BC;
(3)如图②,若图①中的动点D运动到边BA的延长线上,所作△EDC仍为等边三角形,则是否仍有AE∥BC?证明你的结论.
　　　　　
图1-1-20
12.如图1-1-21,已知等边三角形ABC和点P,设点P到AB,AC,BC(或其延长线)的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.
在图①中,P是边BC的中点,由S△ABP+S△ACP=S△ABC,得AB·h1+AC·h2=BC·h.又因为h3=0,AB=AC=BC,所以h1+h2+h3=h.
在图②~图⑤中,点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外.
(1)请探究:图②~图⑤中,h1,h2,h3与h之间的关系(直接写出结论);
(2)说明图②所得结论为什么是正确的;
(3)说明图⑤所得结论为什么是正确的.
图1-1-21
教师详解详析
1.C
2.D　[解析]
A项,由等腰三角形两腰上的高相等,可知A项正确;B项,由等腰三角形两腰上的中线相等,可知B项正确;C项,可证△ABD≌△ACE,得出BD=CE,可知C项正确;D项错误.
3.证明:∵AM=2MB,∴AM=AB.
同理,AN=AC.
∵AB=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,∵AM=AN,∠MAD=∠NAD,AD=AD,∴△AMD≌△AND,
∴DM=DN.
4.C　[解析]
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠1+∠2=180°-∠BAC=180°-60°=120°.
5.B　6.3
7.证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠EAB=∠DCA=120°.
在△EAB和△DCA中,
∵AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA,
∴△EAB≌△DCA(SAS),
∴AD=BE.
8.证明:∵△ABD和△DCE都是等边三角形,
∴AD=BD,CD=ED,∠ADB=∠CDE=60°,
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC,
即∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△BDE,
∴AC=BE.
9.A　[解析]
连接AO,如图所示.
∵在△ABC中,AB=AC=6,该三角形的面积为15,
∴△ABC的面积=△ABO的面积+△ACO的面积
=AB·OE+AC·OF
=AB·(OE+OF)
=×6(OE+OF)
=15,
解得OE+OF=5.
故选A.
10.B　[解析]
∵△DAC和△EBC都是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB(SAS)(①正确),
∴∠AEC=∠DBC.
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°,
∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠DCE=∠ECB=60°.
又∵CE=CB,
∴△EMC≌△BNC(ASA),
∴CM=CN(②正确).
∵AC=DC,在△DNC中,DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC>60°,而DN所对的角为60°,根据三角形中等边对等角、大边对大角、小边对小角的规律,可知DC>DN,即AC>DN(③错误),正确的结论有2个.故选B.
11.120°
12.解:∵△ABC是等边三角形,BF是△ABC的高,
∴∠ABO=∠ABC=30°,AB=AC.
∵AE=AC,∴AB=AE.
∵AO为∠BAE的平分线,
∴∠BAO=∠EAO.
在△ABO和△AEO中,
∵AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,
∴△ABO≌△AEO(SAS),
∴∠E=∠ABO=30°.
13.解:(1)如图,过点P作PF∥QC交AB于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵PF∥QC,
∴∠AFP=∠ABC=60°,∠APF=∠C=60°,
∴∠A=∠AFP=∠APF=60°,
∴△AFP是等边三角形,∴AP=PF=AF.
∵点P,Q同时出发,且速度相同,∴BQ=AP,
∴BQ=PF.
∵PF∥QC,∴∠DQB=∠DPF.
又∵∠BDQ=∠FDP,
∴△DBQ≌△DFP,∴BD=FD.
∵∠ABC=60°,∠BQD=30°,
∴∠BDQ=∠BQD=30°,
∴BQ=BD,
∴BD=FD=AF=AB=×6=2,
∴AP=2.
(2)线段DE的长不发生变化.
由(1)知BD=FD.
∵△AFP是等边三角形,PE⊥AF,
∴AE=EF.
∵DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(FD+EF)=6,
即DE+DE=6,
∴DE=3.
教师详解详析
1.D
2.C　[解析]
有△ACE≌△ABD,△EBC≌△DCB,△EFB≌△DFC.
3.3
4.解:(1)三个不同类型的正确结论是:①△CEB≌△BDC;②∠ABD=∠ACE;③AE=AD(答案不唯一).
(2)β=2α.
证明:∵BD⊥AC,
∴∠CBD+∠ACB=90°,
即α+∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°-α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴β+2∠ACB=180°,
即β+2(90°-α)=180°,∴β=2α.
5.C
6.D　[解析]
过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC===,
∴点B的坐标为(1,).故选D.
7.40　[解析]
∵△BCD是等边三角形,
∴∠BDC=60°.
∵a∥b,
∴∠2=∠BDC=60°.
由三角形的外角和对顶角的性质可知∠1=∠2-∠A=40°.
8.解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=CA,∠BAE=∠C=60°.
在△ADC与△BEA中,
∵CA=AB,∠C=∠BAE,CD=AE,
∴△ADC≌△BEA(SAS).
(2)由(1)知,△ADC≌△BEA,
则∠ABE=∠CAD,
∴∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°.
9.B　[解析]
∵△DAC和△EBC都是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB,
∴①正确;
∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠DBC.
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°,∠ACD=∠ECB=60°,∴∠MCE=∠NCB=60°.
∵∠MCE=∠NCB,CE=CB,∠MEC=∠NBC,
∴△EMC≌△BNC,∴CM=CN,∴②正确;
③结论无法证得.∴正确的结论有2个.故选B.
10.解:猜想:AP=CQ.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CB,∠ABC=60°.
又∵∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.
在△ABP与△CBQ中,
∵AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.
11.解:(1)△DBC≌△EAC.
理由:∵△ABC和△EDC是等边三角形,
∴BC=AC,EC=DC,∠B=∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE.
在△DBC和△EAC中,
∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC.
(2)证明:∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60°.
又∵∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.
(3)结论:仍有AE∥BC.
证明:∵△ABC,△EDC为等边三角形,
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE.
在△DBC和△EAC中,
∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC,∴∠EAC=∠B=60°.
又∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
12.解:(1)图②:h1+h2+h3=h;图③:h1-h2+h3=h;图④:h1+h2+h3=h;图⑤:h1+h2-h3=h.
(2)连接AP.∵S△APB+S△APC=S△ABC,
∴AB·h1+AC·h2=BC·h.
又∵h3=0,AB=AC=BC,
∴h1+h2+h3=h.
(3)如图,连接PA,PB,PC.
∵S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC,
∴AB·h1+AC·h2=BC·h+BC·h3.
又∵AB=AC=BC,∴h1+h2=h+h3,
∴h1+h2-h3=h.