2020-2021学年八年级数学北师大版下册课课练4.1因式分解 (Word版，附答案)

1　因式分解（A卷）
知识点
1　因式分解的概念
1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　)
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-xy+y2=(x-y)2
2.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为(x-3)·(x+1),则m,n的值分别为
(　　)
A.2,3
B.-2,3
C.2,-3
D.-2,-3
3.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”这道题目时,是这样做的:
解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).
(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).
请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对.
知识点
2　因式分解的简单应用
4.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是
(　　)
A.99×(57+44)=99×101=9999
B.99×(57+44-1)=99×100=9900
C.99×(57+44+1)=99×102=10098
D.99×(57+44-99)=99×2=198
5.如图4-1-1所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表示出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:　　　　　　　　　　　　　.?
6.下列各式由左到右的变形中,是因式分解的有　　　　(填序号).?
①3abc3=3c·abc2;②6x2+9x+3=3(2x2+3x);③x2-2=xx-;④x2-2x-1=(x-1)2;⑤4t2-9=(2t+3)(2t-3).
7.[教材习题4.1第4题变式]
如图4-1-2,将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:　　　　　　　　　.?
图4-1-2
8.[教材习题4.1第5(1)题变式]
通过计算说明255+511能否被30整除.
9.若多项式x2-mx+4可分解为(x-2)(x+n),求mn的值.
（B卷）
命题点
1　因式分解的意义
1．2020·珠海斗门区期末
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．－12x3y＝－3x3·4y
B．m(mn－1)＝m2n－m
C．y2－4y－1＝y(y－4)－1
D．ax＋ay＝a(x＋y)
2．对于下面两个等式：①4a2－8a＝4a(a－2)；②4a·(a－2)＝4a2－8a.其中属于整式乘法的是________，属于因式分解的是________．(填序号)
命题点
2　利用因式分解的意义求字母的值
3．把多项式x2＋ax＋b因式分解，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)
A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
4．甲、乙两名同学因式分解x2＋mx＋n，甲看错了n的值，得到的结果为(x＋2)(x＋6)；乙看错了m的值，得到的结果为(x－1)(x－16)．请你确定m，n的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题突破(4题)
甲看错了常数项，但二次项系数和一次项系数是正确的；乙看错了一次项系数，但二次项系数和常数项是正确的.
5．2020·西安碑林区月考
阅读材料，并解答问题．
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求系数的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如：
因式分解：x3－1.
因为x3－1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3－1＝(x－1)(x2＋ax＋b)，展开等式右边得x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的系数相等，得a－1＝0，b－a＝0，－b＝－1，可以求出a＝1，b＝1.所以x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)．
问题：(1)若x取任意值，等式x2＋2x＋3＝x2＋(3－a)x＋s恒成立，则a＝________；
(2)已知多项式x3＋2x＋3有因式x＋1，请用待定系数法求出该多项式的另一个因式．
方法点拨(5题)
用待定系数法因式分解时，可根据条件确定因式中尽量多的系数，减少待定系数的设置.
命题点
3　利用面积相等验证因式分解
6．通过计算几何图形的面积可表示一些因式分解，小明从图4－1－1中得到4个等式：①x2＋xy＝x(x＋y)；②x2＋3xy＋2y2＝(x＋y)(x＋2y)；③x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2；④x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2.其中正确的是(　　)
图4－1－1
A．②③
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
7．2020·阳信中考模拟
图4－1－2①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
　
图4－1－2
(1)图②中阴影部分小正方形的边长是________，面积是________；
(2)观察图②，三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系是________________；
(3)观察图③，你能把2m2＋3mn＋n2因式分解吗？
8．(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图4－1－3(a)所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图(b)．
①用两种不同的方法，计算图(b)中正方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为____________．
图4－1－3
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图(c)所示．
①请你用拼图的方法推导出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图的方法推导出2a2＋5ab＋2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
命题点
4　利用因式分解解决计算或整除问题
9．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
10．1010－109×8＋108×5能被25整除吗？
方法点拨(10题)
要证明一个式子的结果能被一个数整除，一般的方法是将这个式子转化为几个数的乘积的形式，且其中一个因数是这个数.
11．因式分解与整式乘法互为逆变形，请利用a2＋ab＝a(a＋b)解决下列问题：
(1)简便运算：8.72＋8.7×1.3；
(2)判断n2＋n(n为整数)是奇数还是偶数．
12．发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证
(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间数为n，写出它们的平方和，并说明这五个连续整数的平方和是5的倍数．
延伸
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请说出理由．
教师详解详析
1.C
2.D　[解析]
因为(x-3)(x+1)=x2-2x-3,
所以m=-2,n=-3.
3.解:(1)因为3(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,
所以小明分解得不对.
(2)因为(3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,
所以小明分解得对.
4.B　[解析]
逆用乘法对加法的分配律可得原式=99×(57+44-1)=99×100=9900.
5.a2+2ab=a(a+2b)(答案不唯一)
[解析]
把图形分割成一个正方形和两个长方形计算面积,则有a2+2ab=a(a+2b);
把图形分割成两个长方形,一边长分别是a+b,b,另一边长都是a,则有a(a+b)+ab=a(a+2b);
用整个图形的面积减去一个相邻两边长分别为a,a+b的长方形的面积,得到另外一个长方形的面积,这个长方形相邻两边长分别是a,b,即a(a+2b)-a(a+b)=ab.
6.⑤
7.ab+(a2+b2)=(a+b)2
8.解:原式=510+511=510+5×510=6×510=6×5×59=30×59.
因为30×59能被30整除,
所以255+511能被30整除.
9.解:因为x2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,
所以-m=n-2,-2n=4,
解得m=4,n=-2,
则mn=-8.
教师详解详析
1.D　2.②　①
3.B　[解析]
(x+1)(x-3)=x2-2x-3,因此a=-2,b=-3.故选B.
4.解:∵(x+2)(x+6)=x2+8x+12,
∴m=8.
∵(x-1)(x-16)=x2-17x+16,
∴n=16.
5.解:(1)1
(2)设x3+2x+3=(x+1)(x2+ax+3),则x3+2x+3=x3+(a+1)x2+(a+3)x+3,
所以a+1=0,a+3=2,解得a=-1,故该多项式的另一个因式是x2-x+3.
6.C
7.解:(1)m-n　(m-n)2
(2)(m+n)2-4mn=(m-n)2
(3)2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n).
8.解:(1)①正方形的面积=a2+2a+1;正方形的面积=(a+1)2.
②a2+2a+1=(a+1)2
(2)①答案不唯一.如图(a)所示,可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2.
②如图(b)所示,2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)(拼图不唯一).
9.解:原式=2.718×(23+59+18)=271.8.
10.解:1010-109×8+108×5=108×(102-10×8+5)=25×108,所以原式能被25整除.
11.解:(1)8.72+8.7×1.3=8.7×(8.7+1.3)=8.7×10=87.
(2)n2+n=n(n+1).
若n为奇数,则n+1为偶数;
若n为偶数,则n+1为奇数,
即n与n+1始终一奇一偶,所以n2+n是偶数.
12.解:验证　
(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,
即(-1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍.
(2)若五个连续整数的中间数为n,则其余的整数是n-2,n-1,n+1,n+2,
它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10.
∵5n2+10=5(n2+2),n是整数,
∴n2+2是整数,
∴这五个连续整数的平方和是5的倍数.
延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.理由:设三个连续整数的中间数为n,则其余的整数是n-1,n+1,
它们的平方和为(n-1)2+n2+(n+1)2=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2.
∵n是整数,∴n2是整数.
∵3n2能被3整除,∴3n2+2被3除的余数是2,
即任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.