北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-11 23:51:48 | ||
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文档简介
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》
扶风县法门高中姚连省
第一课时 平面向量知识复习
一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备
二、教学重点：平面向量的基础知识。 教学难点：运用向量知识解决具体问题
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算
1、向量的运算及其性质
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的乘法 1是一个向量,满足:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =0 ∥
向量的数量积 是一个数1或时, =02且时,
2、平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ；
注意,的几何意义
3、两个向量平行的充要条件： ⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
（三）、课堂练习
1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
2．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．已知，，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
（四）、作业布置
1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若上的投影为 。
3．向量，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
4．在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=
5．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________。
（五）、教后反思：
第二课时 空间向量及其运算（一）
一、教学目标：1、知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；2、能力目标：（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．3、德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
二、教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．
三、教学方法：讨论式．
四、教学过程
（Ⅰ）、复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）；数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
（Ⅱ）新课探究：［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
（Ⅲ）、课堂练习：课本P27练习
（Ⅳ）、课时小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
（Ⅴ）、课后作业：⒈课本习题2-1A组中 3、4；B组中1
⒉预习课本P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
五、教后反思：
第三课时 空间向量及其运算（二）
一、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习：
1．空间向量的概念及表示；2、加减与数乘向量及运算律。
（二）新课探析
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，∴，
∴，即，所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴ 所以，平面平面．
（四）、课堂练习：课本第31页练习第2、3、4题．
（五）、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
（六）、作业1．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
五、教后反思：
第四课时 空间向量及其线性运算
一、教学目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件
二、教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
（二）、探究新课
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
运算律：
⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.
（三）、知识运用
1、例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
2、如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和
解：
3、如图，在空间四边形中，分别是与的中点，
求证：．
证明：
4、已知，，把向量用向量表示
解:∵，
∴，
5、如图，在平行六面体中，设，，分别是中点，
（1）用向量表示；
（2）化简：；
解: （1）
（四）、课堂练习： 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；
（2）； （3）．
（四）、回顾总结：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念；
向量加法、减法和数乘运算
（五）、布置作业：课本习题2-2 A组中2、3、4 B组题
五、教后反思：
第五课时 共面向量定理
一、教学目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
二、教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理；教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
三、教学方法：探究讨论法
四、教学过程
（一）、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
（二）、探究新课
1、 共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；
理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或
2、共面向量的判定
平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有
共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得
这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
（三）、知识运用
1，例1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.求证：MN//平面CDE
证明：=
又与不共线
根据共面向量定理，可知共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
2、例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？
解：由 可以得到
由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,,共面且具有公共起点A.
从而P,A,B,C四点共面。
解题总结：推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。
（四）、课堂练习
（1）已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。
（2）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，。求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面AC//平面EG。
（3）课本练习
（五）、回顾总结1、共面向量定理； 2、类比方法的运用。
（六）、布置作业：练习册P45中3、4、6、7
五、教后反思：
第六课时 空间向量的基本定理
一、教学目标：1．知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。2．能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
二、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学方法：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。
四、教学过程
（一）、引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）
学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
（二）、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？
学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，
=，=，=是空间任一向量，过P
作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，
由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面
向量的基本定理知向量与、共面，
则= x+y，所以，存在x,y,z使得=
x+y+ z。这样的实数x,y,z是否唯一呢？
用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即(x－x1) +(y－y1) +(z－z1) =
又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。
这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
老师介绍相关概念：
其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。
通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当\y=0, z=0时，与共线.
说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。
（三）、类比：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：
平面向量中成立的结论 空间向量中成立的结论(学生回答)
向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ 向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ（用来证明空间向量共线或直线平行）
同一平面的任意两个向量都共面 向量、是空间不共线的两个向量，则向量与向量、共面存在唯一实数x,y使得= x+y（用来证明空间向量共面）
若=，=，则+=，是平行四边形的对角线 若=，=，=，则++是平行六面体的体对角线
向量、不共线，则P在AB上存在实数λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1（用来证明三点共线） 向量、、不共线，则P在平面ABC内存在实数λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1（用来证明四点共面）
（四）、例题：例1、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，
用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）
分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法
则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。
解：（1）由P是CA1的中点，
得=（+）=（++）
=（++）
（2）=+=+=（+）++=++
法2：=+=++=++
（3）=+=+=+（+）=+
=(+)+
例2、在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：=(+)+，=+=+
=（+）+
则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？
分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[(+)+]
又=+，设=μ=μ（+）
则λ[(+)+]=μ（+）+，即
λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC
学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。
请学生板演平面几何证法：
易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，所以=
（五）、练习：已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，
判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？
+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行
－3=6－2+6－6－3＝6－5
－2=2+－2+4－6=－6+5
－3与－2共线但反向。
思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
（六）、反思小结：
如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。
（七）、课后作业：课本习题2-3 A组中8 B组中3
五、教后反思：
第七课时 空间向量的坐标表示
一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
二、教学重点：空间向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标运算
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的
坐标， 特别地，，，
（二）、探析新课
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，
这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，
以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条
数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建
立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量
都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标
平面，分别称为平面，平面，平面。
（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2、空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯
一的有序实数组，使，有序实数组
叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记
作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，
则，
，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）、平行：若a≠0时，向量相当于，即
也相当于向量的对应坐标成比例即
（三）、知识运用
1、例1 已知，求
解：
2、已知空间四点和，求证：四边形是矩形
解：，
所以，， 所以四边形是矩形。
3、课本P38练习题1、2、3
（三）、回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算
（四）、布置作业：课本习题2-3 A组中4、5、6、7
五、教学反思：
第八课时 空间向量的数量积
一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；
2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律
教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、空间直角坐标系中的坐标；
2、空间向量的直角坐标运算律；
3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课
1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即 ＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；；
（4）模长公式：若，，
则，．
（5）两点间的距离公式：若，，
则，或．
（6）
（7）、与非零向量a同方向的单位向量为：
（三）、知识运用
1、例1已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵ 点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
2、例2 已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以，．
3、例题3已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}
，，，，
设为与同向的单位向量，由于即得
4、练习：课本P38练习题4、5
（四）、回顾总结：本课要求1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
（五）、布置作业：课本习题2-3A组中2、3 B组中2、3
五、教学反思：
第九课时 直线的方向向量与平面的法向量
一、教学目标：
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量。
二、教学重点：直线的方向向量和平面的法向量；教学难点：求平面的法向量
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
（二）、探析新课
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。
（三）、知识运用
1、例1 在正方体中，求证：是平面的法向量
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
，，
，所以
同理
所以平面
从而是平面的法向量。
2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。
解：由题意可得
即 化简得
3、课堂练习
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
（四）、回顾总结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量的方法。
（五）、布置作业：见练习册P56中 3、5、6、7、8
五、教后反思：
第十课时 空间线面关系的判定（一）
一、教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
二、教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义
（二）、探析新课
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行 垂 直
与
与
与
2、相关说明：
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。
（三）、知识运用
1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足，
求证：
证明：
2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理）
已知：，
求证：
证明：在内任作一条直线，在直线上分别取向量
所以
因为
所以
可得
即
3、例3 在直三棱柱中，, ,是得中点。 求证：
证明：如图，建立空间坐标系
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。
4、课堂练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴，
∴－a2+az=0 ( http: / / www. / wxc / )∴z=a，即点P与D1重合 ( http: / / www. / wxc / )
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC ( http: / / www. / wxc / )
（四）、回顾总结： 本课主要研究垂直问题，反思解题，归纳方法。
（五）、布置作业：课本习题2-4 A组中3、4、5 B组题
五、教后反思：
第十一课时 空间线面关系的判定（二）
一、教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
二、教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入
1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行 垂 直
与
与
与
（二）、知识运用
1、例4 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
又平面CDE的一个法向量
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
2、例5在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz
,
因为
所以
所以平面
3、补充 (2009年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC 证明你的结论.
该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：
根据题设条件，结合图形容易得到：
假设存在点F
。
又，
则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
即有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。
（三）、回顾总结：综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直，能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
（四）．布置作业：习题2-4 A组中2、3
补充题：如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；
(1)求
(2)求
(3)
【解析】如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
五、教学反思：
第十二课时 空间的角的计算（一）
一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题
二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法
2、向量的夹角公式
（二）、探析新课
1、法向量在求面面角中的应用：
原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：
原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。
（三）、知识运用
1、例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角
解2：（向量法）设，则且
解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系
,，＝15
2、例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
为D1AC平面的法向量，
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为
3、补充例题： 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB= ( http: / / www. / wxc / )
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值 ( http: / / www. / wxc / )
解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），
∴ =（2,,-2），=（－2,,0） ( http: / / www. / wxc / )
（1）∵·=0，∴SC⊥BC ( http: / / www. / wxc / )
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0,,0），·=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求 ( http: / / www. / wxc / )
4、课堂练习：课本P45练习题1、2
（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
（五）、布置作业：课本习题2-5中1、3、5
五、教后反思：
第十三课时 空间的角的计算（二）
一、教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题
二、教学重点：二面角的计算 教学难点：二面角的计算
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、二面角的定义及求解方法
2、平面的法向量的定义
（二）、探析新课
利用向量求二面角的大小。
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）
如图：二面角α-l-β的大小为θ，
A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l
则θ=<, >=<, >
方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，
过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，
则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角
用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO
求出∠PAO。
方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，
PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。
（三）、知识运用
1、例3 在正方体中,求二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示坐标系D-xyz
（法一）,
（法二）求出平面与平面的法向量
2、例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1）
A1D与EF所成角是
（2）,
（3）,，
二面角的正弦值为
（四）、回顾总结：1、二面角的向量解法；2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断。
（五）、布置作业：课本习题2-5中2；练习册59中2、4、6
五、教后反思：
第十四课时 空间的距离
（一）、教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算。
（二）、教学重点：向量方法求点到面的距离。 教学难点：向量方法求点到面的距离。
（三）、教学方法：探析归纳，讲练结合
（四）、教学过程
（一）、创设情景
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
（二）、新课探析
1、两点间的距离公式
设空间两点，则
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。
4、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d= EQ \F(︱A x0+B y0+C z0+D︱, )
（三）、知识运用
1、例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2 建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得
平面A1BC的方程为x+z=0
又 B1（0,1,）
设点B1到平面A1BC的距离为d，则
d= EQ \F(︱x0+1 x0+︱, EQ \R(,() ) = EQ \F(,2)
2、例2（2010年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
3、例3（2010陕西卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
（四）、回顾总结：向量法求距离，（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d= EQ \F(︱A x0+B y0+C z0+D︱, ) 。
（五）、布置作业：课本习题2-6 A组中2、3 B组中题目
五、教后反思：
第十五课时 空间向量与立体几何复习与小结（一）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．
1、空间向量及其运算：
重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。 难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。难点：向量坐标的确定、公式的应用。
2、空间向量的应用
重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。难点：斜线与平面所成的角的求解，公式的灵活运用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、知识梳理
（一）、基本概念
1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使．
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量．
在l上取，则或．O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是，其中x + y = 1．特别地，当时，P为AB的中点，称为线段AB的中点公式．
2、共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y，使。
推论：空间一点位于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使．
对于空间任一定点O，有．对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是，其中。
3、如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使，其中{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使。
4、空间向量的数量积：
空间向量的数量积的性质：① ②
③ ④
空间向量的数量积的运算律：① （结合律） ② （交换律）
③ （分配律）
5、向量的直角坐标运算：设，则
设，则
（二）基本方法
1、平面法向量的求法：设是平面的一个法向量，其坐标为，利用与平面内的两个不共线向量垂直，其数量积为0列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量。
2、线面角的求法：设是平面的一个法向量，是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成角为arc
3、二面角的求法：① AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为；
② 设分别是二面角的两个面的法向量，则，这就是二面角（或其补角）的大小。
4、点、面距离的求法
设是平面的法向量，AB是平面的斜线段，则点B到平面的距离。
（三）、基本练习
1、在平行六面体ABCD—中，设，则x+y+z=（ ）A
A. B. C. D.
2、如图，长方体ABCD—中，AC与BD的交点为M，设
，则下列向量中与相等的向量是（ ） A
A. B.
C. D.
3、在正方体ABCD—中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ ） C
A. B. C. D. 与P点位置无关
4、如图，正方体ABCD—中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ ） B
A. B. C. D.
5、如图，在正方体ABCD—中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面的位置关系是（ ） B
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定
6、已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，M、N分别是AB，PC的中点，平面PDC和面ABCD所成的角为，则当__________时，MN是AB和PC的公垂线段。 45°
7、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°。
其中真命题是____________（请将你认为是真命题的序号都填上）。①②③
（四）作业布置：课本复习题（二）A组中1、3、4、6
五、教后反思：
第十六课时 空间向量与立体几何复习与小结（二）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）题型探析
1、用已知向量表示未知向量
例1. 如图所示，在平行六面体中，设，M、N、P分别是、BC、的中点，试用a、b、c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）。
分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。
解析：（1）∵P是的中点，
∴
（2）∵N是BC的中点，∴
（3）∵M是的中点，∴
又
∴。
点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
2、共线、共面向量问题
例2. 已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？（1）；（2）
分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。
解析：（1）原式变形为
∴由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面。
（2）原式变形为
∴P与A、B、C三点不共面。
点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明，或对空间任一点O，有或即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。
3、空间向量基本定理
例3. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。
分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。
解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。
∵，，连接AC，则
点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。
4、空间向量数量积
例4. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（见下图）。求B、D间的距离。
解析：∵∠ACD=90°，∴，同理 ∵AB和CD成60°角，
∴60°或120°
∴，即B、D间的距离为2或
点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。（1）求向量和所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量和用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度．最后利用公式。（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。
（二）、课堂练习：已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点。若由向量确定的点P与A、B、C共面，则____________。
（三）、作业布置：课本复习题（二）A组中5、7、8、10
五、教后反思：
第十七课时 空间向量与立体几何复习与小结（三）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）题型探析
1、利用空间向量证明平行、垂直问题
例1、 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。∵底面ABCD是正方形。
∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，
∴则而，∴PA//平面EDB。
（2）依题意得B（a，a，0），又，故
∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD。
（3）解析：设点F的坐标为，则
从而所以
由条件EF⊥PB知，，即，解得
∴点F的坐标为，且
∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。
∵，且
∴∴∠EFD=60°
所以，二面角C—PB—D的大小为60°。
点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．（2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．（3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．
2、用空间向量求空间角
例2、 正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）
（1）由，得
又，∴，即所求值为。
（2）∵∴∴，过C作CM⊥AE于M，
则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，
∵
∴
又∴
∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为
点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。
3、用空间向量求距离
例3、 长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。
解析：（1）方法一：如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
（2）∵，∴上的射影的模
故M到PQ的距离为
（3）设是平面的某一法向量，则，∵∴因此可取，由于，
那么点M到平面的距离为，
故M到平面的距离为。
点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。（以课件形式给出）
（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。
（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。
（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。
②设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。
（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则。
（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。
（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。
（二）课堂练习：如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。
【（1）略 （2） （3） 】
（三）、作业布置：课本复习题（二）A组中13、14、17、18
五、教后反思：
F1
F2
F3
a
B
A
O
l
P
A
B
C
A1
B1
C1
O
A/
C
F
E
D/
B/
A
D
B
A
B
C
D
M
N
B
M
N
A
D
C
A
B
C
D
E
F
N
M
A
O
C
B
O
P
B
A
O
P
B
C
A
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
M
N
Q
O
A1
A
Q
C
C
C1
O
R
A
B
C
D
O
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
A
B
C
D
O
α
l
ml
nl
gl
A
B
C
A1
B1
C1
M
y
z
A
B
C
D
E
F
x
y
z
M
N
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
A
B
C
D
E
P
x
y
z
F
图
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F1
H
G
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E1
F
P
A
B
l
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
PAGE
51
扶风县法门高中姚连省
第一课时 平面向量知识复习
一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备
二、教学重点：平面向量的基础知识。 教学难点：运用向量知识解决具体问题
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算
1、向量的运算及其性质
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的乘法 1是一个向量,满足:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =0 ∥
向量的数量积 是一个数1或时, =02且时,
2、平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ；
注意,的几何意义
3、两个向量平行的充要条件： ⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
（三）、课堂练习
1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
2．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．已知，，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
（四）、作业布置
1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若上的投影为 。
3．向量，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
4．在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=
5．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________。
（五）、教后反思：
第二课时 空间向量及其运算（一）
一、教学目标：1、知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；2、能力目标：（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．3、德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
二、教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．
三、教学方法：讨论式．
四、教学过程
（Ⅰ）、复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）；数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
（Ⅱ）新课探究：［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
（Ⅲ）、课堂练习：课本P27练习
（Ⅳ）、课时小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
（Ⅴ）、课后作业：⒈课本习题2-1A组中 3、4；B组中1
⒉预习课本P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
五、教后反思：
第三课时 空间向量及其运算（二）
一、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习：
1．空间向量的概念及表示；2、加减与数乘向量及运算律。
（二）新课探析
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，∴，
∴，即，所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴ 所以，平面平面．
（四）、课堂练习：课本第31页练习第2、3、4题．
（五）、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
（六）、作业1．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
五、教后反思：
第四课时 空间向量及其线性运算
一、教学目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件
二、教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
（二）、探究新课
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
运算律：
⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.
（三）、知识运用
1、例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
2、如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和
解：
3、如图，在空间四边形中，分别是与的中点，
求证：．
证明：
4、已知，，把向量用向量表示
解:∵，
∴，
5、如图，在平行六面体中，设，，分别是中点，
（1）用向量表示；
（2）化简：；
解: （1）
（四）、课堂练习： 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；
（2）； （3）．
（四）、回顾总结：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念；
向量加法、减法和数乘运算
（五）、布置作业：课本习题2-2 A组中2、3、4 B组题
五、教后反思：
第五课时 共面向量定理
一、教学目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
二、教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理；教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
三、教学方法：探究讨论法
四、教学过程
（一）、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
（二）、探究新课
1、 共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；
理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或
2、共面向量的判定
平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有
共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得
这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
（三）、知识运用
1，例1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.求证：MN//平面CDE
证明：=
又与不共线
根据共面向量定理，可知共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
2、例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？
解：由 可以得到
由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,,共面且具有公共起点A.
从而P,A,B,C四点共面。
解题总结：推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。
（四）、课堂练习
（1）已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。
（2）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，。求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面AC//平面EG。
（3）课本练习
（五）、回顾总结1、共面向量定理； 2、类比方法的运用。
（六）、布置作业：练习册P45中3、4、6、7
五、教后反思：
第六课时 空间向量的基本定理
一、教学目标：1．知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。2．能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
二、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学方法：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。
四、教学过程
（一）、引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）
学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
（二）、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？
学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，
=，=，=是空间任一向量，过P
作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，
由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面
向量的基本定理知向量与、共面，
则= x+y，所以，存在x,y,z使得=
x+y+ z。这样的实数x,y,z是否唯一呢？
用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即(x－x1) +(y－y1) +(z－z1) =
又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。
这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
老师介绍相关概念：
其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。
通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当\y=0, z=0时，与共线.
说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。
（三）、类比：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：
平面向量中成立的结论 空间向量中成立的结论(学生回答)
向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ 向量与非零向量共线存在唯一实数λ使得=λ（用来证明空间向量共线或直线平行）
同一平面的任意两个向量都共面 向量、是空间不共线的两个向量，则向量与向量、共面存在唯一实数x,y使得= x+y（用来证明空间向量共面）
若=，=，则+=，是平行四边形的对角线 若=，=，=，则++是平行六面体的体对角线
向量、不共线，则P在AB上存在实数λ、μ使得=λ+μ且λ+μ=1（用来证明三点共线） 向量、、不共线，则P在平面ABC内存在实数λ、μ、ω使得=λ+μ+ω且λ+μ+ω=1（用来证明四点共面）
（四）、例题：例1、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，
用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）
分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法
则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。
解：（1）由P是CA1的中点，
得=（+）=（++）
=（++）
（2）=+=+=（+）++=++
法2：=+=++=++
（3）=+=+=+（+）=+
=(+)+
例2、在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：=(+)+，=+=+
=（+）+
则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？
分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[(+)+]
又=+，设=μ=μ（+）
则λ[(+)+]=μ（+）+，即
λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC
学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。
请学生板演平面几何证法：
易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，所以=
（五）、练习：已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，
判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？
+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行
－3=6－2+6－6－3＝6－5
－2=2+－2+4－6=－6+5
－3与－2共线但反向。
思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
（六）、反思小结：
如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。
（七）、课后作业：课本习题2-3 A组中8 B组中3
五、教后反思：
第七课时 空间向量的坐标表示
一、教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
二、教学重点：空间向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标运算
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的
坐标， 特别地，，，
（二）、探析新课
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，
这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，
以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条
数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建
立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量
都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标
平面，分别称为平面，平面，平面。
（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2、空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯
一的有序实数组，使，有序实数组
叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记
作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，
则，
，
，
，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）、平行：若a≠0时，向量相当于，即
也相当于向量的对应坐标成比例即
（三）、知识运用
1、例1 已知，求
解：
2、已知空间四点和，求证：四边形是矩形
解：，
所以，， 所以四边形是矩形。
3、课本P38练习题1、2、3
（三）、回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算
（四）、布置作业：课本习题2-3 A组中4、5、6、7
五、教学反思：
第八课时 空间向量的数量积
一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；
2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律
教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、空间直角坐标系中的坐标；
2、空间向量的直角坐标运算律；
3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课
1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即 ＝
（2）夹角：．
（3）运算律
；；
（4）模长公式：若，，
则，．
（5）两点间的距离公式：若，，
则，或．
（6）
（7）、与非零向量a同方向的单位向量为：
（三）、知识运用
1、例1已知，，求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，
．
（2）∵ 点到两点的距离相等，
则,
化简得：,
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
2、例2 已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以，．
3、例题3已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}
，，，，
设为与同向的单位向量，由于即得
4、练习：课本P38练习题4、5
（四）、回顾总结：本课要求1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
（五）、布置作业：课本习题2-3A组中2、3 B组中2、3
五、教学反思：
第九课时 直线的方向向量与平面的法向量
一、教学目标：
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量。
二、教学重点：直线的方向向量和平面的法向量；教学难点：求平面的法向量
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
（二）、探析新课
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。
（三）、知识运用
1、例1 在正方体中，求证：是平面的法向量
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
，，
，所以
同理
所以平面
从而是平面的法向量。
2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。
解：由题意可得
即 化简得
3、课堂练习
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
（四）、回顾总结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量的方法。
（五）、布置作业：见练习册P56中 3、5、6、7、8
五、教后反思：
第十课时 空间线面关系的判定（一）
一、教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
二、教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义
（二）、探析新课
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行 垂 直
与
与
与
2、相关说明：
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。
（三）、知识运用
1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足，
求证：
证明：
2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理）
已知：，
求证：
证明：在内任作一条直线，在直线上分别取向量
所以
因为
所以
可得
即
3、例3 在直三棱柱中，, ,是得中点。 求证：
证明：如图，建立空间坐标系
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。
4、课堂练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴，
∴－a2+az=0 ( http: / / www. / wxc / )∴z=a，即点P与D1重合 ( http: / / www. / wxc / )
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC ( http: / / www. / wxc / )
（四）、回顾总结： 本课主要研究垂直问题，反思解题，归纳方法。
（五）、布置作业：课本习题2-4 A组中3、4、5 B组题
五、教后反思：
第十一课时 空间线面关系的判定（二）
一、教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
二、教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入
1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行 垂 直
与
与
与
（二）、知识运用
1、例4 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
又平面CDE的一个法向量
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
2、例5在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz
,
因为
所以
所以平面
3、补充 (2009年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC 证明你的结论.
该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：
根据题设条件，结合图形容易得到：
假设存在点F
。
又，
则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
即有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。
（三）、回顾总结：综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直，能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
（四）．布置作业：习题2-4 A组中2、3
补充题：如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；
(1)求
(2)求
(3)
【解析】如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
五、教学反思：
第十二课时 空间的角的计算（一）
一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题
二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法
2、向量的夹角公式
（二）、探析新课
1、法向量在求面面角中的应用：
原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：
原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。
（三）、知识运用
1、例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角
解2：（向量法）设，则且
解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系
,，＝15
2、例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
为D1AC平面的法向量，
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为
3、补充例题： 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB= ( http: / / www. / wxc / )
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值 ( http: / / www. / wxc / )
解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），
∴ =（2,,-2），=（－2,,0） ( http: / / www. / wxc / )
（1）∵·=0，∴SC⊥BC ( http: / / www. / wxc / )
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0,,0），·=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求 ( http: / / www. / wxc / )
4、课堂练习：课本P45练习题1、2
（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
（五）、布置作业：课本习题2-5中1、3、5
五、教后反思：
第十三课时 空间的角的计算（二）
一、教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题
二、教学重点：二面角的计算 教学难点：二面角的计算
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
1、二面角的定义及求解方法
2、平面的法向量的定义
（二）、探析新课
利用向量求二面角的大小。
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）
如图：二面角α-l-β的大小为θ，
A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l
则θ=<, >=<, >
方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，
过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，
则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角
用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO
求出∠PAO。
方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，
PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。
（三）、知识运用
1、例3 在正方体中,求二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示坐标系D-xyz
（法一）,
（法二）求出平面与平面的法向量
2、例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1）
A1D与EF所成角是
（2）,
（3）,，
二面角的正弦值为
（四）、回顾总结：1、二面角的向量解法；2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断。
（五）、布置作业：课本习题2-5中2；练习册59中2、4、6
五、教后反思：
第十四课时 空间的距离
（一）、教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算。
（二）、教学重点：向量方法求点到面的距离。 教学难点：向量方法求点到面的距离。
（三）、教学方法：探析归纳，讲练结合
（四）、教学过程
（一）、创设情景
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
（二）、新课探析
1、两点间的距离公式
设空间两点，则
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。
4、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d= EQ \F(︱A x0+B y0+C z0+D︱, )
（三）、知识运用
1、例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2 建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得
平面A1BC的方程为x+z=0
又 B1（0,1,）
设点B1到平面A1BC的距离为d，则
d= EQ \F(︱x0+1 x0+︱, EQ \R(,() ) = EQ \F(,2)
2、例2（2010年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
3、例3（2010陕西卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
（四）、回顾总结：向量法求距离，（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d= EQ \F(︱A x0+B y0+C z0+D︱, ) 。
（五）、布置作业：课本习题2-6 A组中2、3 B组中题目
五、教后反思：
第十五课时 空间向量与立体几何复习与小结（一）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．
1、空间向量及其运算：
重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。 难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。难点：向量坐标的确定、公式的应用。
2、空间向量的应用
重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。难点：斜线与平面所成的角的求解，公式的灵活运用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、知识梳理
（一）、基本概念
1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使．
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量．
在l上取，则或．O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是，其中x + y = 1．特别地，当时，P为AB的中点，称为线段AB的中点公式．
2、共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y，使。
推论：空间一点位于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使．
对于空间任一定点O，有．对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是，其中。
3、如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使，其中{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使。
4、空间向量的数量积：
空间向量的数量积的性质：① ②
③ ④
空间向量的数量积的运算律：① （结合律） ② （交换律）
③ （分配律）
5、向量的直角坐标运算：设，则
设，则
（二）基本方法
1、平面法向量的求法：设是平面的一个法向量，其坐标为，利用与平面内的两个不共线向量垂直，其数量积为0列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量。
2、线面角的求法：设是平面的一个法向量，是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成角为arc
3、二面角的求法：① AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为；
② 设分别是二面角的两个面的法向量，则，这就是二面角（或其补角）的大小。
4、点、面距离的求法
设是平面的法向量，AB是平面的斜线段，则点B到平面的距离。
（三）、基本练习
1、在平行六面体ABCD—中，设，则x+y+z=（ ）A
A. B. C. D.
2、如图，长方体ABCD—中，AC与BD的交点为M，设
，则下列向量中与相等的向量是（ ） A
A. B.
C. D.
3、在正方体ABCD—中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ ） C
A. B. C. D. 与P点位置无关
4、如图，正方体ABCD—中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ ） B
A. B. C. D.
5、如图，在正方体ABCD—中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面的位置关系是（ ） B
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定
6、已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，M、N分别是AB，PC的中点，平面PDC和面ABCD所成的角为，则当__________时，MN是AB和PC的公垂线段。 45°
7、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°。
其中真命题是____________（请将你认为是真命题的序号都填上）。①②③
（四）作业布置：课本复习题（二）A组中1、3、4、6
五、教后反思：
第十六课时 空间向量与立体几何复习与小结（二）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）题型探析
1、用已知向量表示未知向量
例1. 如图所示，在平行六面体中，设，M、N、P分别是、BC、的中点，试用a、b、c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）。
分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。
解析：（1）∵P是的中点，
∴
（2）∵N是BC的中点，∴
（3）∵M是的中点，∴
又
∴。
点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
2、共线、共面向量问题
例2. 已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？（1）；（2）
分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。
解析：（1）原式变形为
∴由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面。
（2）原式变形为
∴P与A、B、C三点不共面。
点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明，或对空间任一点O，有或即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。
3、空间向量基本定理
例3. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。
分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。
解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。
∵，，连接AC，则
点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。
4、空间向量数量积
例4. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（见下图）。求B、D间的距离。
解析：∵∠ACD=90°，∴，同理 ∵AB和CD成60°角，
∴60°或120°
∴，即B、D间的距离为2或
点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。（1）求向量和所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量和用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度．最后利用公式。（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。
（二）、课堂练习：已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点。若由向量确定的点P与A、B、C共面，则____________。
（三）、作业布置：课本复习题（二）A组中5、7、8、10
五、教后反思：
第十七课时 空间向量与立体几何复习与小结（三）
一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）题型探析
1、利用空间向量证明平行、垂直问题
例1、 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。∵底面ABCD是正方形。
∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，
∴则而，∴PA//平面EDB。
（2）依题意得B（a，a，0），又，故
∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD。
（3）解析：设点F的坐标为，则
从而所以
由条件EF⊥PB知，，即，解得
∴点F的坐标为，且
∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。
∵，且
∴∴∠EFD=60°
所以，二面角C—PB—D的大小为60°。
点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．（2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．（3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．
2、用空间向量求空间角
例2、 正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）
（1）由，得
又，∴，即所求值为。
（2）∵∴∴，过C作CM⊥AE于M，
则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，
∵
∴
又∴
∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为
点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。
3、用空间向量求距离
例3、 长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。
解析：（1）方法一：如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
（2）∵，∴上的射影的模
故M到PQ的距离为
（3）设是平面的某一法向量，则，∵∴因此可取，由于，
那么点M到平面的距离为，
故M到平面的距离为。
点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。（以课件形式给出）
（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。
（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。
（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。
②设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。
（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则。
（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。
（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。
（二）课堂练习：如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。
【（1）略 （2） （3） 】
（三）、作业布置：课本复习题（二）A组中13、14、17、18
五、教后反思：
F1
F2
F3
a
B
A
O
l
P
A
B
C
A1
B1
C1
O
A/
C
F
E
D/
B/
A
D
B
A
B
C
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M
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