2020-2021学年八年级数学北师大版下册课课练6.1.2平行四边形的对角线的性质（Word版，附答案）

1　第2课时　平行四边形的对角线的性质（A卷）
知识点　平行四边形的对角线的性质
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是
(　　)
A.相等
B.互相平分
C.互相垂直
D.互相垂直且相等
2.如图6-1-17,在?ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是
(　　)
A.BO=DO
B.OB=BD
C.O是AC的中点
D.AC=BD
　
3.如图6-1-18,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为
(　　)
A.13
B.17
C.20
D.26
4.[2020·益阳]
如图6-1-19,?ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是
(　　)
A.10
B.8
C.7
D.6
图6-1-19
图6-1-20
5.如图6-1-20,在?ABCD中,已知∠ODA=90°,AD=4
cm,BD=6
cm,则AC的长为
(　　)
A.2
cm
B.5
cm
C.8
cm
D.10
cm
6.如图6-1-21,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O.已知AB=5
cm,△OAB的周长比△BOC的周长小3
cm,则AD的长为　　　　.?
图6-1-21
图6-1-22
7.如图6-1-22,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=6,△OCD的周长为27,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是　　　　.?
8.如图6-1-23,?ABCD和?EBFD的顶点A,C,E,F在同一条直线上,求证:AE=CF.
图6-1-23
9.[教材例2变式]
如图6-1-24,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且分别与AB,CD相交于点E,F.求证:AE=CF.
图6-1-24
10.如图6-1-25,?ABCD的对角线交于点O,已知△OCD的面积等于3,则?ABCD的面积等于
(　　)
A.6
B.12
C.15
D.24
图6-1-25
图6-1-26
11.如图6-1-26,?ABCD的周长为22
cm,对角线AC,BD交于点O,过点O且与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE的周长为
(　　)
A.8
cm
B.9
cm
C.10
cm
D.11
cm
12.如图6-1-27,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为
(　　)
图6-1-27
A.
B.
C.
D.
13.如图6-1-28,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF.
(1)根据题意,补全图形;
(2)求证:BE=DF.
图6-1-28
14.如图6-1-29所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO的周长为23
cm,AD比CD长2
cm,AC+BD=34
cm.求?ABCD的周长.
图6-1-29
15.如图6-1-30①,?AECF的对角线AC,EF相交于点O,过?AECF的对角线的交点O任意作一条直线MN,与平行四边形的一组对边分别相交于点M,N.
(1)求证:S四边形AEMN=S四边形FNMC;
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有几条?它们必经过哪一点?
(3)如图②所示是某中学门前的一块草坪,它是由两个平行四边形拼接成的图案.现校委会计划将其分成面积相等的两部分,栽上不同颜色的花,试利用第(2)小题中的规律探索划分方案.
图6-1-30
（B卷）
1．如图6－1－12所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列式子不一定正确的是(　　)
图6－1－12
A．AO＝BO
B．AB＝CD
C．BO＝DO
D．∠BAD＝∠BCD
2．如图6－1－13，一个平行四边形的两条对角线将它分成四个小三角形，即△AOB，△AOD，△DOC，△BOC，则这四个小三角形的面积(　　)
图6－1－13
A．都不相等
B．不都相等
C．都相等
D．以上结论都有可能
方法点拨(2题)
等(同)底同(等)高的两个三角形的面积一定相等.
3．2019·遂宁
如图6－1－14，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(　　)
图6－1－14
A．28
B．24
C．21
D．14
4．2020·北京海淀区期中
如图6－1－15，在平行四边形ABCD中，AC＝10，BD＝6，AD＝a，那么a的取值范围是________．
图6－1－15
5．如图6－1－16，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则四边形AEPH的面积为________．
图6－1－16
6．已知：如图6－1－17，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.
(1)求?ABCD的面积；
(2)求对角线BD的长．
图6－1－17
7．2019·荆门
如图6－1－18，在?ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2
.
(1)求?ABCD的面积；
(2)求证：BD⊥BC.
图6－1－18
命题点
2　利用平行四边形对角线的性质进行证明
8．2019·柳州
如图6－1－19，在?ABCD中，全等三角形共有(　　)
图6－1－19
A．2对
　　　　
B．3对
C．4对
　　　　
D．5对
9．已知：如图6－1－20，在?ABCD中，AC，BD交于点O，E，F是BD上任意两点，要使AE＝CF成立，应该添加什么条件？请写出一个，并给出证明．
解题突破(9题)
要证AE＝CF，需证△AOE≌△COF或△ABE≌△CDF.
命题点
3　平行四边形的性质在实际问题中的应用
10．如图6－1－21①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，AB＝18.现在沿两对角线将平行四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并(AD，CB重合)形成对称图形戊，如图②所示，则图形戊的两条对角线的长度之和是________．
图6－1－21
11．如图6－1－22①，?AECF的对角线AC，EF相交于点O，过?AECF的对角线的交点O任意作一条直线MN，分别与平行四边形的一组对边交于点M，N.
(1)求证：S四边形AEMN＝S四边形FNMC；
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有几条？它们必经过哪一点？
(3)图②是某中学门前的一块草坪，它是由两个平行四边形拼接成的图案．现校委会计划将其分成面积相等的两部分，栽上不同颜色的花，试利用第(2)小题中的规律探索划分方案．
　
方法点拨(11题)
由三角形全等可发现经过平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将这个平行四边形的面积二等分.
12．如图6－1－23①，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若将EF向两方延长，与?ABCD的一组对边的延长线分别相交(图②和图③)，OE与OF还相等吗？
(3)由(1)(2)你可以发现一个什么规律？请以定理的形式表述出来．
　　　　　　　
图6－1－23　　　　　　
教师详解详析
1.B　2.D　3.B　4.D　5.D
6.8
cm
7.42　[解析]
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6.
∵△OCD的周长为27,
∴OD+OC=27-6=21.
∵BD=2OD,AC=2OC,
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(OD+OC)=42.
8.证明:如图,连接BD,交EF于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC.
∵四边形EBFD为平行四边形,
∴OE=OF,
∴OE-OA=OF-OC,
即AE=CF.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.
10.B　[解析]
由?ABCD的对角线相交于点O,可得OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中线的性质,求得S△OCD=S△OAD=S△OAB=S△OBC=3,∴S?ABCD=4S△OCD=12.
11.D　[解析]
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AO=CO.
又∵EO⊥AC,∴AE=CE.
∵?ABCD的周长为22
cm,
∴2(AD+CD)=22
cm,∴AD+CD=11
cm,
∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11
cm.
故选D.
12.D　[解析]
∵AC=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=AC=1,BO=BD=2.
∵AB=,
∴AB2+AO2=BO2,∴∠BAC=90°.
∵在Rt△BAC中,BC==,S△BAC=AB·AC=BC·AE,
∴×2=AE,∴AE=.
13.解:(1)如图所示:
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
∴OE=OA,OF=OC,
∴OE=OF.
在△BEO与△DFO中,
∵OE=OF,∠BOE=∠DOF,OB=OD,
∴△BEO≌△DFO(SAS),
∴BE=DF.
14.[解析]
欲求?ABCD的周长,根据?ABCD的对边相等可知,只要求出相邻两边的长即可.又由于AD比CD长2
cm,只要求出AD或CD的长,问题即可解决.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,AO=CO,BO=DO.
∵AC+BD=34
cm,
∴2(AO+BO)=34
cm,即AO+BO=17
cm.
∵△ABO的周长为23
cm,
∴AB=23-17=6(cm),∴CD=6
cm.
∵AD比CD长2
cm,
∴AD=8
cm,BC=8
cm,
∴?ABCD的周长为2×(6+8)=28(cm).
15.解:(1)证明:∵?AECF的对角线AC,EF相交于点O,∴AF∥CE,OE=OF,
∴∠MEO=∠NFO.
在△MOE和△NOF中,
∵∠MEO=∠NFO,OE=OF,∠EOM=∠FON,
∴△MOE≌△NOF.
同理可证△MOC≌△NOA.
又易得△AOE≌△COF,
∴S△MOE+S△AOE+S△NOA=S△NOF+S△COF+S△MOC,即S四边形AEMN=S四边形FNMC.
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有无数条,它们必经过平行四边形对角线的交点.
(3)如图,分别作出两个平行四边形的对角线的交点O1和O2,经过O1,O2两点作出一条直线即可将草坪分成面积相等的两部分.(答案不唯一)
教师详解详析
1.A
2.C
3.D　[解析]
因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD,AB=CD,AD=BC.
因为平行四边形ABCD的周长为28,
所以AB+AD=14.
因为OE⊥BD,所以OE是线段BD的中垂线,
所以BE=ED,所以△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故选D.
4.25.4　
6.解:(1)在Rt△ABC中,由AC2=BC2-AB2,
得AC=2,则S?ABCD=AB·AC=2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=OD.
由(1)知AC=2,∴AO=1.
在Rt△ABO中,BO==,
∴BD=2.
7.解:(1)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,如图.
设BE=x,CE=h.
在Rt△CEB中,x2+h2=9,①
在Rt△CEA中,由勾股定理,得(5+x)2+h2=52,②
联立①②,解得x=,h=,
∴平行四边形ABCD的面积=AB·h=12.
(2)证明:如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F,
∴∠DFA=∠CEB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=5,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAF=∠CBE.
又∵∠DFA=∠CEB=90°,AD=BC,
∴△ADF≌△BCE(AAS),
∴AF=BE=,DF=CE=,
则BF=AB-AF=5-=.
在Rt△DFB中,BD2=DF2+BF2=2+2=16,
∴BD=4.
∵BC=3,DC=5,
∴DC2=BD2+BC2,
∴△BDC是直角三角形,且∠DBC=90°,
∴BD⊥BC.
8.C　[解析]
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.
在△AOD和△COB中,
∵OD=OB,∠AOD=∠COB,OA=OC,
∴△AOD≌△COB(SAS);
同理可得出△AOB≌△COD(SAS);
在△ABD和△CDB中,∵AD=CB,AB=CD,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS);
同理可得△ACD≌△CAB(SSS).因此本题共有4对全等三角形.故选C.
9.解:添加的条件不唯一,如AE∥CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵AE∥CF,∴∠AEO=∠CFO.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF.
10.26　[解析]
通过对比图①和图②可以发现图形戊的两条对角线的长度之和正好等于平行四边形纸片ABCD的边AD与AD边上的高的长度之和,求出AD边上的高即可.
11.解:(1)证明:∵?AECF的对角线AC,EF相交于点O,
∴AF∥CE,OE=OF,∴∠MEO=∠NFO.
在△MOE和△NOF中,
∵∠MEO=∠NFO,OE=OF,∠EOM=∠FON,
∴△MOE≌△NOF.
同理可证△MOC≌△NOA,△AOE≌△COF,
∴S△MOE+S△AOE+S△NOA=S△NOF+S△COF+S△MOC,
即S四边形AEMN=S四边形FNMC.
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有无数条,它们必经过对角线的交点.
(3)分别作出两个平行四边形的对角线的交点,经过这两点作出一条直线即可将草坪分成面积相等的两部分(图略).
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.
(2)图②和图③中,OE与OF依然相等.
(3)经过平行四边形对角线交点的一条直线被平行四边形的一组对边所在的直线截得的线段被对角线的交点平分.