北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案
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| 名称 | 北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 775.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-12 00:00:11 | ||
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文档简介
北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
§1 归纳与类比
第一课时 合情推理——归纳推理
一、教学目标
1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、引入新课
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢 原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
(二)、例题探析
例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：
将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到下表：
多面体 面数（F） 棱数（E） 顶点数（V）
三棱锥 4 6 4
四棱锥 5 8 5
五棱锥 6 10 6
三棱柱 5 9 6
五棱柱 7 15 10
立方体 6 12 8
八面体 8 12 6
十二面体 12 30 20
从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２
例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：，，，，可得下表：
4.56 4 3.72 3.64
归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小。于是猜测：图形面积一定，圆的周长最小。
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
（三）、课堂练习：课本课本练习：1．
（四）、课堂小结：1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2、归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）、作业：课本习题1-1：1、2。
五、教后反思：
第二课时 合情推理——类比推理
一、教学目标
1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。
（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦 惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）、例题探析
例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？
解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。
解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直
勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。
类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
即：
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
(四)、巩固练习：
练习1、已知实数加法满足下列运算规律：（1）；（2）．
类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．
练习2、我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；(2)探索等和数列的奇数项和偶数项有什么特点；(3)等和数列中,如果 求前项和.
练习3、若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性质，相应地，数列是等比数列，且，，则也是等比数列（以上）
练习4、在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径( )
A． B． C． D．
练习5、类比解答（1）、（2）：（1）求证：；（2）设为非零常数，且试问：是周期函数吗？证明你的结论。
（五）、小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。
（六）作业：课本课本练习：2．课本习题1-1：4．
五、教后反思：
第三课时 归纳推理、类比推理习课
一、教学目标
1．知识与技能：(1)学会运用归纳、类比推理解决数学问题；(2)归纳、类比推理在高考中的应用。2．方法与过程：通过最近几年高考试题和模拟试题中的推理问题，具体了解归纳、类比推理的思想。3．情感态度与价值观：通过归纳、类比推理的学习，使学生具有合情推理的意思和思想。
二、教学重点：合情推理的应用。教学难点：类比推理在递推数列中的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、例题探析
例题1. (类比推理在几何中应用，2007年广东1模)
如图4所示,面积为S的平面凸四边形的第条边的边长
记为此四边形内任一点P到第条边的距
离记为，若.类比以上性质，体积为V三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若
A. B. C. D.
练习1：(类比推理在几何中应用，2005年广东试卷第14题)
由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
练习2：(类比推理在几何中应用)
如图(1)，在平行四边形中，有，那么，如图(2)在平行六面体中中，有 ．
例题2、(1)1个点分线段为2段,2个点分线段为3段,3个点分线段为4段,则个点分线段___________段(归纳推理)
(2) (2005年广东试卷第14题)设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
(3) （把题(1)“类比”到平面,得到线分平面问题）（注意递推数列的应用）
一个平面用条直线去划分,最多能被分成几块
变1:平面内有个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,最多能把平面分多少块
变2:平面内有条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,最多能把平面分多少块
（4）2006年广东试卷第16题：在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
例题3、探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
长方体 6 8 12
五棱柱 7 10 15
三棱锥 4 4 6
四棱锥 5 5 8
五棱锥 6 6 10
例题4、如图所示,有3根针A,B,C和套在B针上的若干块金属片。要将B杆子上金属片全部移到A杆子上。在移动过程中，每次只能移动一个碟子，并一直保持大的碟子不能叠在小得碟子上面。(1)若B针上有4块金属片,则按上面的要求,最少需要移动多少次
(2)试推测:把个金属片从B号针移动到A针,最少需要移动多少次
（二）、课堂练习
练习1、在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_____________________________颗.
练习2、（2008年高一“希望杯”试题改编，难度比较大，一般班不选用）：
若用表示个平面最多分空间的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
练习3、2007年广东试卷（理）第12题，理科班选用）
如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则＝ ; ＝ .（答案用数字或的解析式表示）
（三）小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
（四）、作业布置：见练习册P6 4、6、7
五、教后反思：
第四课时 合情推理——演绎推理
一、教学目标
1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
②在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？
（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若）
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：
所有的金属都能导电 铜是金属 铜能导电
在一个标准大气压下，水的沸点是 在一个标准大气压下，把水加热到 水会沸腾
三角函数是周期函数 tanα是三角函数 tanα是周期函数
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 冥王星是太阳系的大行星 冥王星是以椭圆形轨道绕太阳运行
一切奇数都不能被2整除 是奇数 不能被2整除
（讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
（二）、新课探析
1.概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2.例题探析：
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
思考：因为所有的边长相等的凸多面体是正多边形,大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形, 小前题
所以菱形是正多边形结论
上面的推论形式正确吗
推理的结论正确吗 为什么
演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
4. 小结：“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推理错误的主要原因是（1）、大前提不成立；（2）、小前提不符合大前提的条件。
（三）、巩固练习：见练习册 P9 2、3题
（四）、作业布置： P9 5、 7题
五、教后反思：
§2 综合法与分析法
第五课时 综合法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、 教学过程
（一）、复习：
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
（二）引入新课
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD，BC//DA
又AC=CA 故 AB=CD，BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：
本题条件
已知定义
已知公理 本题结论
已知定理
在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:P…
特点:“由因导果”
（三）、例题探析：
例1：求证：是函数的一个周期。
证明：
∴由函数周期的定义可知：是函数的一个周期。
例2：（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个根。求证：。
证明：由题意可知：
∴
例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：
证明：根据条件可得
又由x,y,z为互不相等的实数，
所以上式可变形为
同理可得
所以
(四)、课堂练习：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
(五)、小结：综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。
（六）、课后作业：课本习题1-2 2，3。课本练习
五、教后反思：
第六课时 分析法
一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：综合法的思考过程、特点
（二）、引入新课
在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。即：要证结果Q，只需证条件P
（三）、例题探析
例1、已知：a，b是不相等的正数。求证：。
证明：要证明
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 。
由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例2、求证：。
证明：要证明 ，
只需证明 ，
即 ，
只需证明 ，
即 56>50，这显然成立。
这样就证明了
例3、求证：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明 对于任意，∈（3，+∞），且>时，有，
只需证明 对任意的>>3，有
∵>>3
∴->0，且+>6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
（四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（五）、练习：课本练习1：1、2。
（六）、作业：课本习题1-2 4、5。
五、教后反思：
第七课时 分析法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。难点：分析法的思考过程、特点
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
（二）、引入新课
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
（三）、例题讲解：
例1：如图、已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HG⊥EF.
证明：考虑待证的结论“HG⊥EF” .
根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，
只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.
根据条件CF⊥AB，且H为BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线.
所以 .
同理 .
这样就证明了△EHF为等腰三角形.
所以 HG⊥EF.
例2：已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c.
证明：考虑待证的结论“a+b+c” ，因为a+b+c＞0，
只需证明，
即 .
又 ab+bc+ca=1，
所以，只需证明，
即 .
因为 ab+bc+ca=1，
所以，只需证明 ，
只需证明 ，
即.
由于任意实数的平方都非负，故上式成立.
所以 a+b+c.
例3.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC，只需证:SC⊥平面AEF，只需证:AE⊥SC，只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC，只需证:BC⊥平面SAB，只需证:BC⊥SA，只需证:SA⊥平面ABC
因为:SA⊥平面ABC成立。所以. AF⊥SC成立。
（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
（五）、练习：课本练习2.
（六）、作业：课本习题1-2： 7、9.
五、教后反思：
第八课时 综合法和分析法的应用
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1、已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想。
（答案：若，且，则 ）
2、已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
3、讨论：如何证明基本不等式。
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
（二）、探析新课
1. 探析例题
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
④ 出示例2：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤出示例3：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
2、课堂练习：（1）、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
（2）、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
（三）、 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。
（四）、作业布置：
1、为锐角，且，求证：. （提示：算）
2、 已知 求证：
3、 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
4、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
五、教学反思：
§3 反证法
第九课时 反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
教学难点：正确理解、运用反证法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）、探究新课
1、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2、例题探析
例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。
因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则
，即是奇数。
所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。
设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，
如图所示，则。
这样的内角和
。
这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。
所以直线a与b不相交，即a与b平行。
例3、求证：是无理数。
证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，
设，且p，q互素，则。所以 。 ①
故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，
所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。
因此，假设不成立，即“是无理数”。
（三）、小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识。
反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
（四）、练习：1、课本练习1.
2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。
（五）、作业：课本习题1-3： （3）、（4）
补充题：若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反证法）. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、
五、教后反思：
第十课时 反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点
教学难点：正确理解、运用反证法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：反证法的思考过程与特点。
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
（二）、探究新课
反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。
例1、已知，求证：中，至少有一个数大于25。
证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么
，
这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。
例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则
，于是
。
因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。
所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
例3、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。
由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。
故直线a，b相交，
设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。
所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。
因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。
（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
(四)、练习：1、课本练习2。
2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）
3、 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
解析：用反证法可得应填 或
4、如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
（五）、作业：课本习题1-3： 1、5
补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
五、教后反思：
§4 数学归纳法
第十一课时 数学归纳法
一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：推理与证明方法
（二）、探究新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
（三）、例题探析：
例1、证明：首项为，公差为d的等差数列的前n项和公式为。
证明：（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。
那么，当n＝k+1时，
这就是说，当n＝k+1时等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任意正整数n都成立。
例2、用数学归纳法证明：（其中α>-1，n是正整数）。
证明：（1）当n＝1时，左边=1+α，右边=1+α。
所以，当n＝1时，命题成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即。
那么，当n＝k+1时，因为α>-1，所以1+α>0。
根据假设知，，所以
由于，所以
。
从而 。
这表明，当n＝k+1时命题成立。根据（1）和（2），该命题成立。
（四）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。
（五）、练习：课本习题1-4：1
（六）、作业：课本习题1-4：3
五、教后反思：1、数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2、在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3、运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
第十二课时 数学归纳法
一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
（二）、探究新课
例1、求证：能被9整除，。
证明：（1）当n=1时，，36能被9整除，命题成立；
（2）假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即能被9整除。
当n＝k+1时，
由假设可知，上式的两部分都能被9整除。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对任意的，该命题成立。
证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。
例2、证明：凸n边形的对角线的条数。
证明：（1）当n=4时，，四边形有两条对角线，命题成立。
（2）假设n＝k(k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数.
当n＝k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，共增加的对角线条数为：（k+1-3）+1=k-1
∴。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对n≥4，公式都成立。
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例3、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。
解：由和，得
，，
，，
……
归纳上述结果，可得猜想。
下面用数学归纳法证明这个猜想。
（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。
那么，当n＝k+1时，
。
这就是说，当n＝k+1时等式成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任意正整数n都成立。
探索性命题的求解一般分三步进行：①验证p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用数学归纳法证明。
（三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。
（四）、练习：课本练习.
（五）、作业：课本习题1-4：2.
五、教后反思：
第十三课时 本章小结复习
一、教学目标
1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。
3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理
2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)知识结构
本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
（二）、例题探析
例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
平面几何 立体几何
等腰三角形 正三棱锥
等腰三角形的底 正三棱锥的底面
等腰三角形的腰 正三棱锥的侧面
点到直线的距离 直线到平面的距离
例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC中，如果AB=AC，BE，CF分别是三角形的高线，BE与CF相交于点M，那么，MB=MC。
证明：（分析法）要证明MB=MC，只需证明△BFM≌△CEM。
因为△BFM，△CEM均为直角三角形，且∠BMF=∠CME，
只需证明BF=CE即可。
在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，有△BFC≌△CEB，BF=CE
以上各布可逆，故MB=MC。
（综合法）在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
有∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，可知△BFC≌△CEB，所以BF=CE
在Rt△BFM与Rt△CEM中，∠BMF=∠CME，∠FBM=∠ECM，
所以△BFM≌△CEM，MB=MC，得证。
例3：已知a，b为正实数，且a+b=1，求证：。
证明：由题知a>0，b>0，a+b=1，有0即。
因为，知
即故。
例4、如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B∈ L1,C、D∈ L2, 求证;AC,SD也是异面直线.
分析：用反证法
例5、
分析：采用归纳-猜想-证明的方法
（三）、练习：课本复习题一中 11、12、14.
（四）、作业：课本复习题一中 7、10.
五、教后反思：
实验，观察
概括，推广
猜测一般性结论
P
图4
A
B
C
D
图(1)
图(2)
…
图1
图2
图3
图4
推理
合情推理（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
归纳
（特殊到一般）
F
E
S
C
B
A
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
直接证明
间接证明
数学归纳法
比较法
综合法
分析法
反证法
A
F
B
C
M
E
PAGE
37
扶风县法门高中 姚连省
§1 归纳与类比
第一课时 合情推理——归纳推理
一、教学目标
1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、引入新课
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢 原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
(二)、例题探析
例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：
将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到下表：
多面体 面数（F） 棱数（E） 顶点数（V）
三棱锥 4 6 4
四棱锥 5 8 5
五棱锥 6 10 6
三棱柱 5 9 6
五棱柱 7 15 10
立方体 6 12 8
八面体 8 12 6
十二面体 12 30 20
从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２
例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：，，，，可得下表：
4.56 4 3.72 3.64
归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小。于是猜测：图形面积一定，圆的周长最小。
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
（三）、课堂练习：课本课本练习：1．
（四）、课堂小结：1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2、归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）、作业：课本习题1-1：1、2。
五、教后反思：
第二课时 合情推理——类比推理
一、教学目标
1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。
（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦 惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）、例题探析
例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？
解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。
解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直
勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。
类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
即：
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
(四)、巩固练习：
练习1、已知实数加法满足下列运算规律：（1）；（2）．
类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．
练习2、我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；(2)探索等和数列的奇数项和偶数项有什么特点；(3)等和数列中,如果 求前项和.
练习3、若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性质，相应地，数列是等比数列，且，，则也是等比数列（以上）
练习4、在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径( )
A． B． C． D．
练习5、类比解答（1）、（2）：（1）求证：；（2）设为非零常数，且试问：是周期函数吗？证明你的结论。
（五）、小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。
（六）作业：课本课本练习：2．课本习题1-1：4．
五、教后反思：
第三课时 归纳推理、类比推理习课
一、教学目标
1．知识与技能：(1)学会运用归纳、类比推理解决数学问题；(2)归纳、类比推理在高考中的应用。2．方法与过程：通过最近几年高考试题和模拟试题中的推理问题，具体了解归纳、类比推理的思想。3．情感态度与价值观：通过归纳、类比推理的学习，使学生具有合情推理的意思和思想。
二、教学重点：合情推理的应用。教学难点：类比推理在递推数列中的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、例题探析
例题1. (类比推理在几何中应用，2007年广东1模)
如图4所示,面积为S的平面凸四边形的第条边的边长
记为此四边形内任一点P到第条边的距
离记为，若.类比以上性质，体积为V三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若
A. B. C. D.
练习1：(类比推理在几何中应用，2005年广东试卷第14题)
由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
练习2：(类比推理在几何中应用)
如图(1)，在平行四边形中，有，那么，如图(2)在平行六面体中中，有 ．
例题2、(1)1个点分线段为2段,2个点分线段为3段,3个点分线段为4段,则个点分线段___________段(归纳推理)
(2) (2005年广东试卷第14题)设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
(3) （把题(1)“类比”到平面,得到线分平面问题）（注意递推数列的应用）
一个平面用条直线去划分,最多能被分成几块
变1:平面内有个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,最多能把平面分多少块
变2:平面内有条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,最多能把平面分多少块
（4）2006年广东试卷第16题：在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
例题3、探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
长方体 6 8 12
五棱柱 7 10 15
三棱锥 4 4 6
四棱锥 5 5 8
五棱锥 6 6 10
例题4、如图所示,有3根针A,B,C和套在B针上的若干块金属片。要将B杆子上金属片全部移到A杆子上。在移动过程中，每次只能移动一个碟子，并一直保持大的碟子不能叠在小得碟子上面。(1)若B针上有4块金属片,则按上面的要求,最少需要移动多少次
(2)试推测:把个金属片从B号针移动到A针,最少需要移动多少次
（二）、课堂练习
练习1、在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_____________________________颗.
练习2、（2008年高一“希望杯”试题改编，难度比较大，一般班不选用）：
若用表示个平面最多分空间的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
练习3、2007年广东试卷（理）第12题，理科班选用）
如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则＝ ; ＝ .（答案用数字或的解析式表示）
（三）小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
（四）、作业布置：见练习册P6 4、6、7
五、教后反思：
第四课时 合情推理——演绎推理
一、教学目标
1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
②在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？
（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若）
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：
所有的金属都能导电 铜是金属 铜能导电
在一个标准大气压下，水的沸点是 在一个标准大气压下，把水加热到 水会沸腾
三角函数是周期函数 tanα是三角函数 tanα是周期函数
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 冥王星是太阳系的大行星 冥王星是以椭圆形轨道绕太阳运行
一切奇数都不能被2整除 是奇数 不能被2整除
（讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
（二）、新课探析
1.概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2.例题探析：
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
思考：因为所有的边长相等的凸多面体是正多边形,大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形, 小前题
所以菱形是正多边形结论
上面的推论形式正确吗
推理的结论正确吗 为什么
演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
4. 小结：“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推理错误的主要原因是（1）、大前提不成立；（2）、小前提不符合大前提的条件。
（三）、巩固练习：见练习册 P9 2、3题
（四）、作业布置： P9 5、 7题
五、教后反思：
§2 综合法与分析法
第五课时 综合法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、 教学过程
（一）、复习：
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
（二）引入新课
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD，BC//DA
又AC=CA 故 AB=CD，BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：
本题条件
已知定义
已知公理 本题结论
已知定理
在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:P…
特点:“由因导果”
（三）、例题探析：
例1：求证：是函数的一个周期。
证明：
∴由函数周期的定义可知：是函数的一个周期。
例2：（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个根。求证：。
证明：由题意可知：
∴
例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：
证明：根据条件可得
又由x,y,z为互不相等的实数，
所以上式可变形为
同理可得
所以
(四)、课堂练习：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
(五)、小结：综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。
（六）、课后作业：课本习题1-2 2，3。课本练习
五、教后反思：
第六课时 分析法
一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：综合法的思考过程、特点
（二）、引入新课
在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。即：要证结果Q，只需证条件P
（三）、例题探析
例1、已知：a，b是不相等的正数。求证：。
证明：要证明
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 ，
只需证明 。
由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例2、求证：。
证明：要证明 ，
只需证明 ，
即 ，
只需证明 ，
即 56>50，这显然成立。
这样就证明了
例3、求证：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明 对于任意，∈（3，+∞），且>时，有，
只需证明 对任意的>>3，有
∵>>3
∴->0，且+>6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
（四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（五）、练习：课本练习1：1、2。
（六）、作业：课本习题1-2 4、5。
五、教后反思：
第七课时 分析法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。难点：分析法的思考过程、特点
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
（二）、引入新课
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
（三）、例题讲解：
例1：如图、已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HG⊥EF.
证明：考虑待证的结论“HG⊥EF” .
根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，
只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.
根据条件CF⊥AB，且H为BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线.
所以 .
同理 .
这样就证明了△EHF为等腰三角形.
所以 HG⊥EF.
例2：已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c.
证明：考虑待证的结论“a+b+c” ，因为a+b+c＞0，
只需证明，
即 .
又 ab+bc+ca=1，
所以，只需证明，
即 .
因为 ab+bc+ca=1，
所以，只需证明 ，
只需证明 ，
即.
由于任意实数的平方都非负，故上式成立.
所以 a+b+c.
例3.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC，只需证:SC⊥平面AEF，只需证:AE⊥SC，只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC，只需证:BC⊥平面SAB，只需证:BC⊥SA，只需证:SA⊥平面ABC
因为:SA⊥平面ABC成立。所以. AF⊥SC成立。
（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
（五）、练习：课本练习2.
（六）、作业：课本习题1-2： 7、9.
五、教后反思：
第八课时 综合法和分析法的应用
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1、已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想。
（答案：若，且，则 ）
2、已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
3、讨论：如何证明基本不等式。
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
（二）、探析新课
1. 探析例题
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
④ 出示例2：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤出示例3：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
2、课堂练习：（1）、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
（2）、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
（三）、 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。
（四）、作业布置：
1、为锐角，且，求证：. （提示：算）
2、 已知 求证：
3、 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
4、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
五、教学反思：
§3 反证法
第九课时 反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
教学难点：正确理解、运用反证法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）、探究新课
1、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2、例题探析
例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。
因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则
，即是奇数。
所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。
设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，
如图所示，则。
这样的内角和
。
这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。
所以直线a与b不相交，即a与b平行。
例3、求证：是无理数。
证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，
设，且p，q互素，则。所以 。 ①
故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，
所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。
因此，假设不成立，即“是无理数”。
（三）、小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识。
反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
（四）、练习：1、课本练习1.
2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。
（五）、作业：课本习题1-3： （3）、（4）
补充题：若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反证法）. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、
五、教后反思：
第十课时 反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点
教学难点：正确理解、运用反证法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：反证法的思考过程与特点。
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
（二）、探究新课
反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。
例1、已知，求证：中，至少有一个数大于25。
证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么
，
这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。
例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则
，于是
。
因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。
所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
例3、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。
由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。
故直线a，b相交，
设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。
所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。
因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。
（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
(四)、练习：1、课本练习2。
2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）
3、 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
解析：用反证法可得应填 或
4、如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
（五）、作业：课本习题1-3： 1、5
补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
五、教后反思：
§4 数学归纳法
第十一课时 数学归纳法
一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：推理与证明方法
（二）、探究新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
（三）、例题探析：
例1、证明：首项为，公差为d的等差数列的前n项和公式为。
证明：（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。
那么，当n＝k+1时，
这就是说，当n＝k+1时等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任意正整数n都成立。
例2、用数学归纳法证明：（其中α>-1，n是正整数）。
证明：（1）当n＝1时，左边=1+α，右边=1+α。
所以，当n＝1时，命题成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即。
那么，当n＝k+1时，因为α>-1，所以1+α>0。
根据假设知，，所以
由于，所以
。
从而 。
这表明，当n＝k+1时命题成立。根据（1）和（2），该命题成立。
（四）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。
（五）、练习：课本习题1-4：1
（六）、作业：课本习题1-4：3
五、教后反思：1、数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2、在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3、运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
第十二课时 数学归纳法
一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
（二）、探究新课
例1、求证：能被9整除，。
证明：（1）当n=1时，，36能被9整除，命题成立；
（2）假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即能被9整除。
当n＝k+1时，
由假设可知，上式的两部分都能被9整除。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对任意的，该命题成立。
证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。
例2、证明：凸n边形的对角线的条数。
证明：（1）当n=4时，，四边形有两条对角线，命题成立。
（2）假设n＝k(k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数.
当n＝k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，共增加的对角线条数为：（k+1-3）+1=k-1
∴。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对n≥4，公式都成立。
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例3、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。
解：由和，得
，，
，，
……
归纳上述结果，可得猜想。
下面用数学归纳法证明这个猜想。
（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。
那么，当n＝k+1时，
。
这就是说，当n＝k+1时等式成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任意正整数n都成立。
探索性命题的求解一般分三步进行：①验证p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用数学归纳法证明。
（三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。
（四）、练习：课本练习.
（五）、作业：课本习题1-4：2.
五、教后反思：
第十三课时 本章小结复习
一、教学目标
1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。
3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理
2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)知识结构
本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
（二）、例题探析
例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
平面几何 立体几何
等腰三角形 正三棱锥
等腰三角形的底 正三棱锥的底面
等腰三角形的腰 正三棱锥的侧面
点到直线的距离 直线到平面的距离
例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC中，如果AB=AC，BE，CF分别是三角形的高线，BE与CF相交于点M，那么，MB=MC。
证明：（分析法）要证明MB=MC，只需证明△BFM≌△CEM。
因为△BFM，△CEM均为直角三角形，且∠BMF=∠CME，
只需证明BF=CE即可。
在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，有△BFC≌△CEB，BF=CE
以上各布可逆，故MB=MC。
（综合法）在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
有∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，可知△BFC≌△CEB，所以BF=CE
在Rt△BFM与Rt△CEM中，∠BMF=∠CME，∠FBM=∠ECM，
所以△BFM≌△CEM，MB=MC，得证。
例3：已知a，b为正实数，且a+b=1，求证：。
证明：由题知a>0，b>0，a+b=1，有0
因为，知
即故。
例4、如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B∈ L1,C、D∈ L2, 求证;AC,SD也是异面直线.
分析：用反证法
例5、
分析：采用归纳-猜想-证明的方法
（三）、练习：课本复习题一中 11、12、14.
（四）、作业：课本复习题一中 7、10.
五、教后反思：
实验，观察
概括，推广
猜测一般性结论
P
图4
A
B
C
D
图(1)
图(2)
…
图1
图2
图3
图4
推理
合情推理（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
归纳
（特殊到一般）
F
E
S
C
B
A
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
直接证明
间接证明
数学归纳法
比较法
综合法
分析法
反证法
A
F
B
C
M
E
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