北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案

北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
§1变化的快慢与变化率
第一课时 变化的快慢与变化率——平均变化率
一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；
2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
(二)、探析新课
问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t)
在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
t/s 0 2 5 10 13 15 …
s/m 0 6 9 20 32 44 …
物体在0～2s和10～13s这两段时间内，那一段时间运动得快？
分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。
在0～2s这段时间内，物体的平均速度为；
在10～13s这段时间内，物体的平均速度为。
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。
问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：
比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
分析：根据图像可以看出：
当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃；
当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。
两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。
我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
（℃/min）
当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
（℃/min）
这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比0min到20min这段时间要快。
（三）、小结：1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1
（五）作业布置：1、已知曲线上两点的横坐标是和，求过两点的直线斜率。
2、一物体按规律作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平
均速度。
五、教后反思：
第二课时 变化的快慢与变化率——瞬时变化率
一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：函数平均变化率的概念
1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
，
可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度
（m/s）。
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内的平均速度
（m/s）。
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相应的平均速度得到下表：
t0/s t1/s 时间的改变量（Δt）/s 路程的改变量（Δs ）/m 平均速度/（m/s）
5 5.1 0.1 4.95 49.5
5 5.01 0.01 0.49 49.049
5 5.001 0.001 0.049 49.0049
5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049
5 … … … …
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
。
估计该合金棒在x=2m处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。
解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
x0/s x1/s 长度x的改变量（Δx）/m 质量y的改变量（Δs ）/kg 平均线密度/（kg/m）
2 2.1 0.1 0.070 0.70
2 2.01 0.01 0.0071 0.71
2 2.001 0.001 0.00071 0.71
2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71
2 … … … …
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg。
（三）、小结：对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若设Δx= x1－x０，，则函数的平均变化率是
，
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
（四）、练习：课本练习2：1、2.
（五）、作业：课本习题2-1：3、4、5
五、教后反思：
第三课时 瞬时速度与瞬时加速度
一、教学目标：了解平均速度的概念，掌握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．
二、教学重点，难点：瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．问题情境
1．情境：一质点运动方程为，（其中表示在时刻的位移，时间单位：秒，位移单位：米）；求质点在时刻处的切线的斜率．2．问题：在时刻处的切线的斜率有什么物理意义？
（二）、学生活动
解：，∴，当趋近于时，趋近于，质点在时刻处的切线的斜率为；它的物理意义时刻时的瞬时速度．
（三）．建构数学
1． 平均速度：
物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度．
若位移与所经过时间的规律是，设为时间改变量，从到这段时间内，物体的位移是，那么位移的改变量与时间改变量的比就是这段时间内物体的平均速度， 即：，平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量。
2． 瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻的“速度”，即的瞬时速度，用表示，物体在时的瞬时速度（即时对于时间的瞬时变化率），运动物体在到这一段时间内的平均速度，当无限趋近于0时，趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时速度．
3． 瞬时加速度
物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻的“加速度”，即的瞬时加速度，用表示，物体在时的瞬时加速度（即时速度对于时间的瞬时变化率），运动物体在到这一段时间内的平均加速度，当无限趋近于0时，有趋近于常数．
（四）．知识运用：1．例题：
例1．设质点按函数所表示的规律运动，求质点在时刻时的瞬时速度（其中表示在时刻的位移，时间单位：秒，位移单位：米）．
解：从到这段时间内，
物体的位移是，
那么位移的改变量与时间改变量的比就是这段时间内物体的平均速度，即，当无限趋近于0时，有趋近于常数，∴质点在时刻时的瞬时速度为．
例2．跳水运动员从高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，后运动员相对于水面的高度为，确定时运动员的速度 ．
解：从到这段时间内的平均变化率为，
，当无限趋近于0时，有趋近于常数，∴当时运动员的瞬时速度为．
例3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设时的速度为，求 时轿车的加速度．
解：在到的时间间隔内，轿车的平均加速度为，
当趋近于常数0时，有趋近于常数，所以时轿车的加速度为．
2．练习：课本P30页第 1，2题．
（五）．回顾小结：运动物体的瞬时速度的一般步骤是：①求位移增量与时间增量的比；
②判断当趋近于常数0时，是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．
（六）、作业：习题2-1中 A组第3题 B组1、2
五、教后反思：
§2 导数的概念及其几何意义
第四课时 导数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：设函数，当自变量x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率为
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。
（二）、探究新课
在数学上，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作
。
例1、一条水管中流过的水量y（单位：）是时间x（单位：s）的函数。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。
解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为
（/s）.
当x趋于2，即Δx趋于0时，，平均变化率趋于3，所以
（/s）.
导数表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
解：表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在t=10和t=100处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
解：表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min）。
表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min）。
(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：
（四）、练习：课本练习：1、2.
（五）、作业：课本习题2-2中A组2、3
补充题：1、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
五、教后反思：
第五课时 导数的几何意义（一）
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课
设函数在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如右图所示，它是过A（x0，）和B（x0＋Δx，）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点A处的一条割线。
如右图所示，设函数的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线在点A处“相切” ，称直线l为曲线在点A处的切线。该切线的斜率就是函数在x0处的导数。
函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
2、导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
例1、已知函数， x0＝－2。
（1）分别对Δx=2，1，0.5求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，）的相应割线；
（2）求函数在x0＝－2处的导数，并画出曲线在点（－2，4）处的切线。
解：（1）Δx=2，1，0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。在这些区间上的平均变化率分别为
，
，
.
其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3.
（2）在区间[-2，-2＋Δx]上的平均变化率为
.
令Δx趋于0，知函数在x0＝－2处的导数为-4。
曲线在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。
例2、求函数在x=1处的切线方程。
解：先求在x=1处的导数：
令Δx趋于0，知函数在x=1处的导数为。
这样，函数在点（1，）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6.
因此切线方程为 y-2=6(x-1).
即 y=6x-4.
切线如图所示。
（三）、小结：函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
（四）、练习：课本练习：1、2.
（五）、作业：课本习题2-2中A组4、5
五、教后反思：
第六课时 导数的几何意义（二）
一、教学目标：掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法．
二、教学重点，难点：（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定
的直线．
2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？
（二）、学生活动
如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．
（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．
（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线
的直线吗？
（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？
（三）、建构数学
1．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，
设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为
．
2． 切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；
3． 切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．
（四）、数学运用
1．例题：
例1．已知曲线，
（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．
（2）求曲线在处的切线斜率。
分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。
解：（1）在曲线上点附近的取一点，设点的横坐标为，
则函数的增量为，
∴割线的斜率为，
∴当无限趋近于时，无限趋近于常数2，
∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为，
∴所求切线方程是，即．
（2）设，，则割线的斜率为
当无限趋近于时，无限趋近于常数4，从而曲线在点处切线的斜率为。
例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．
分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．
解：设，，则割线的斜率：
．
当无限趋近于时，无限趋近于常数1，∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为．
例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．
解：设是点附近的一点，
．
当无限趋近于时，无限趋近于常数1，∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为．所求直线方程：．
2．练习：练习 第 1，2，3题；习题2-2A组中 第 3题．
（五）．回顾小结：求切线斜率一般步骤是：①求函数增量与自变量增量的比；②判断当无限趋近于时，是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．
（六）．课外作业：1、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程． 2、习题2-2中B组 1、2
五、教后反思：
第七课时 导数的几何意义习题课
一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数的几何意义：函数在x0处的导数就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。
（二）、探究新课
例1、在曲线上求一点P使得曲线在该点处的切线满足下列条件：
（1）平行于直线y＝x＋1；
（2）垂直于直线2x－16y＋1＝0；
（3）倾斜角为135°。
解：设点坐标为（，），则
∴当Δx趋于0时，。
（1）∵切线与直线y＝x＋1平行。
∴，即，
∴，。
即P（―2，1）。
（2）∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，
∴，即，
∴，。
即P（―1，4）。
（3）∵切线倾斜角为135°，
∴，即，
∴，。
即P（2，1）。
例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。
解：设过（1，1）点的切线与相切与点，则
当Δx趋于0时， ，
由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线的斜率为 ①
又过（1，1）点的切线的斜率 ②
∴由①②得：解得：或，∴或，
∴曲线过（1，1）点的切线的斜率为0或。
例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
（三）、小结：利用导数的几何意义求曲线在处切线方程的步骤：（1）已知曲线的切点①求出函数在点处的导数；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为。（2）过曲线外的点①设切点为，求出切点坐标；②求出函数在点处的导数；③根据直线的点斜式方程，得切线方程为。
（四）、练习：练习册：7、8．
（五）、作业：练习册：5、6、9、10
五、教后反思：
§3 计算导数
第八课时 计算导数（一）
一、教学目标：
1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数在处的导数的步骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。
二、教学重点：根据导数的定义计算一般函数在处的导数；
教学难点：导数的定义运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习导入新课
注 意
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。
（二）、探析新课
计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：；
（2）确定函数在处的平均变化率：；
（3）当Δx趋于0时，得到导数。
例1、求函数在下列各点的导数
（1）； （2）； （3）。
解：（1）∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，得到导数。
（2）由（1）可知当时有：。
（3）由（1）可知当时有：。
一般地：如果一个函数在区间[a，b]上的每一点x处都有导数，导数值记为：
则是关于x的函数，称为的导函数，通常也简称为导数。
例2、求的导函数，并利用导函数求，，。
解：∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，得到导函数。
分别将，，代入，可得
，，。
（二）、小结：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，利用导数的定义计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：；
（2）确定函数在处的平均变化率：；
（3）当Δx趋于0时，得到导数
（三）、练习：课本练习：1、2.
（四）、作业：课本习题2-3：A组1、2、4
（五）、课外练习：求函数的导数
因为
所以
五、教后反思：
第九课时 计算导数（二）
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。
二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习
1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3
问题：，，呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
（二）、新课探析
1、基本初等函数的求导公式：
⑴ (k,b为常数) ⑵ (C为常数)
⑶ ⑷
⑸ ⑹
⑺ 由⑶~⑹你能发现什么规律
⑻ （为常数）
⑼
⑽
⑾ ⑿ ⒀ ⒁
从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
2、例题探析
例1、求下列函数导数。
（1）　（2）　　（3）
（4）　（5）y=sin(+x) (6) y=sin
（7）y=cos(2π－x)　 （8）y=
例2、已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。
例3、若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.
变式1、求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点 求导数 得斜率
变式2、求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程
变式3、求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程
变式4、已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.
（三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用
导数公式表
函数 导函数 函数 导函数
（c是常数）
（α是常数）
特别地
特别地
（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
（五）、作业布置：见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
§4 导数的四则运算法则
第九课时 导数的加法与减法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用
教学难点：函数和、差导数公式的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2. 导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5. 常见函数的导数公式：；
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
证明：令，
，
∴ ，
即　　．
例1：求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）； （4）。
解：（1）。
（2）。
（3）。
例2：求曲线上点（1，0）处的切线方程。
解：。
将代入导函数得 。
即曲线上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 ，
即。
(三)、练习：课本练习：1、2.
补充题：1、求y＝x3＋sinx的导数．解：y'＝(x3)'＋(sinx)' ＝3x2＋cosx．
2、求y＝x4－x2－x＋3的导数．解：y'＝4x3 －2x－1．
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
（五）、作业：课本习题2-4：A组2、3 B组2
五、教后反思：
第十课时 导数的乘法与除法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2. 导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5. 常见函数的导数公式：；
6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
（二）、探究新课
设函数在处的导数为，。我们来求在处的导数。
令，由于
知在处的导数值为。
因此的导数为。
一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
例1：求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）。
解：（1）；
（2）；
（3）。
例2：求下列函数的导数：
（1）； （2）。
解：（1）；
（2）。
（三）、练习：课本练习1.
（四）、课堂小结：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
（五）、作业：课本习题2-4：A组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5
五、教后反思：
第十一课时 2.4.3导数的乘法与除法法则
一、教学目标：
1、会运用两个函数的和、差、积、商的求导公式求含有积、商综合运算的函数的导数；
2、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：两个函数的和、差、积、商的求导公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式
1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
2、若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
（二）、探究新课
例1：求下列函数的导数：
（1）； （2）。
解：（1）解一：
解二：
。
（2）解一：
。
解二：
。
例2．是抛物线上两点，在抛物线上与间的求一点，使面积最大．
解：∵，∴到直线的距离最大时，面积最大，
即过点的切线平行于直线时面积最大，设，
∵，∴过点的切线的斜率，，∴．
例3、求曲线过点（1，0）的切线方程。
解：
。
将x=1代入，得所求切线的斜率。
曲线过点（1，0）的切线方程为。
例4．一质点运动方程，若速度最大值为，且对任意的，在与时速度相同，求的值．
解：，，
又，∴对恒成立，∴，
∵，∴．
（三）．回顾小结：1．函数导数的几何意义的运用；2．求导法则的运用．
（四）、练习：课本练习2：1、2.
（五）、作业：课本习题2-4：A组4（4）、（7）、（8）， B组1
五、教后反思：
第十二课时 简单复合函数的求导法则
一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用
教学难点：简单复合函数的求导法则的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：
；；；
2.法则1 　．
法则2 ,
法则3
（二）、引入新课
海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：。
油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，假设r关于t的函数为。
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？
分析：由题意可得S关于t的新的函数：。
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数的导函数。
∵ ，
∴ 。
又 ， ，
可以观察到 ，
即 。
一般地，对于两个函数和，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数和的复合函数，记作。其中u为中间变量。
复合函数的导数为：
(表示y对x的导数)
复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？
⑴； ⑵；⑶； ⑷．
解：⑴函数由函数和复合而成；
⑵函数由函数和复合而成；
⑶函数由函数和复合而成；
⑷函数由函数、和复合而成．
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例2、求函数的导数。
解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
例3、求函数的导数。
解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为，求函数在t=3时的导数，并解释它的实际意义。
解：函数是由函数与复合而成的，其中x是中间变量。
∴。
将t=3代入得：
（cm/s）。
它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。
（三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
（四）、练习：课本练习.
（五）、作业：课本习题2-5： 2、3、5
五、教后反思：
第十三课时 平均变化率与导数小结复习
一、教学目标：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；
2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数。
3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题。
二、教学重点：导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算
教学难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数概念的实际背景和几何意义，导数公式表和运算法则。
(二)、探究新课
例1、求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解：（1）∵，
∴。
（2）∵∴
（3）∵，
又∵，∴，∴
∴。
（4）
例2、已知曲线C1：与曲线C2：，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程。
解：设l与C1相切于点，l与C2相切于点，直线l的斜率为k。
C1：，，，
C2：，，，。
由斜率公式得 ，解得： 或。
当时，，l的方程为；当时，，l的方程为。
例3、已知在处的导数等于0，且，求a，b，c的值。
解：方法一：是方程的根，即的两根，
∴
又，∴　　　　③由①②③得。
方法二：，由，，
得，∴。
（三）、小结：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；
2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数。
3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题。
（四）、练习：课本复习题：A组1、2、3、4.
（五）、作业：课本复习题：A组 5； B组2
五、教后反思：
PAGE
41