2020--2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章末知识点分类训练（Word版，附答案）

2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》章末知识点分类训练（附答案）
一．直角三角形全等的判定
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AC＝12cm，求BD的长．
二．角平分线的性质
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
3．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3
B．2
C．1
D．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
5．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，BC＝15cm，△BDC的面积为　
　cm2．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是　
　．
7．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．
三．线段垂直平分线的性质
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8
B．10
C．18
D．20
10．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
11．如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（　　）
A．PB＞PC
B．PB＝PC
C．PB＜PC
D．PB＝2PC
12．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于25cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE．
四．等腰三角形的性质
14．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（　　）
A．40°
B．35°
C．25°
D．20°
15．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）
A．65°
B．60°
C．56°
D．50°
16．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25°
B．25°或40°
C．25°或
35°
D．40°
17．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A．18°
B．36°
C．72°
D．108°
19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（　　）
A．67°
B．67.5°
C．22.5°
D．67.5°或22.5°
20．如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的中线，BC＝6cm，AD＝9cm，点E、F是AD的三等分点，则阴影部分的面积为　
　．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交AB、AC于点D、点E，连接BE．
（1）若△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，求AB的长；
（2）若∠A＝42°，求∠CBE的度数．
五．等腰三角形的判定
22．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC
求证：△ABC是等腰三角形．
六．直角三角形的性质
23．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
七．含30度角的直角三角形
24．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
25．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（　　）米．
A．4
B．8
C．12
D．3+3
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AC＝2，求DE的长．
27．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若DE＝2，求BC的长．
八．直角三角形斜边上的中线
28．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE的大小为（　　）
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）
A．19°
B．33°
C．34°
D．43°
30．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
31．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC＝20，DE＝12，求△MDE的面积．
参考答案
一．直角三角形全等的判定
1．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，
且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD＝CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．
∴BD＝6cm．
二．角平分线的性质
2．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
3．解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
4．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
5．解：∵在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，
∴AD＝DE＝6cm，
∵BC＝15cm，
∴△BDC的面积是BC×DE＝×15cm×6cm＝45cm2，
故答案为：45．
6．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×18＝45，
故答案为45．
7．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD（3分）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）（6分）
∴∠B＝∠C（8分）
8．解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD?AB+PE?BC+PF?AC
＝PD?（AB+BC+AC）＝PD?（7+25+24）
＝28PD
又∵∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB?BC＝×7×24＝7×12
∴7×12＝28PD，
∴PD＝3
答：点P到AB的距离为3．
三．线段垂直平分线的性质
9．解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝8，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．
故选：C．
10．解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
11．解：连接AP，
∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴AP＝PB，AP＝PC，
∴PB＝PC，
故选：B．
12．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
13．（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝15cm，
∴BC＝25﹣15＝10cm；
（2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A，
由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BC＝BE．
四．等腰三角形的性质
14．解：∵AD＝AC，∠DAC＝80°，
∴∠ADC＝＝50°，
又∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴2∠B＝∠ADC，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
故选：C．
15．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，
∴∠A＝∠C＝31°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，
故选：C．
16．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
17．解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
18．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
故选：B．
19．解：有两种情况；
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，
综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．
故选：D．
20．解：∵BC＝6cm，AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC＝3cm，AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△AFC＝S△AFB，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△AFB＝S△BED＝S△ABD
∴图中阴影部分的面积是S△ABD＝××3×9＝9cm2．
故答案为：9cm2．
21．解：（1）由作法可知MN是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，
∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝14cm，
∴AB＝AC＝14﹣5＝9（cm）；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝69°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE＝42°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝69°﹣42°＝27°．
五．等腰三角形的判定
22．证明：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2＝∠C，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．（等角对等边）
即△ABC是等腰三角形．
六．直角三角形的性质
23．解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝，所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
七．含30度角的直角三角形
24．解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．
25．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8（米）
∴这棵树在折断前的高度＝4+8＝12（米），
故选：C．
26．（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝30°，∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°，
∴∠A＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∵CE垂直于AB于点E，
∴AE＝ED；
（2）解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝AC，
∵AC＝2，AE＝DE，
∴DE＝AE＝1．
27．（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DA＝DC，
∵DE⊥AC，
∴AE＝EC；
（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，
∴DC＝2DE＝4，
∵AB⊥AD，∠B＝30°，
∴BD＝2DC＝8，
∴BC＝12．
八．直角三角形斜边上的中线
28．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∴∠DCA＝∠A＝25°，
∴∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，
∵CE是斜边上的高线，
∴CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
29．解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE，
∴∠BAC＝∠ABE＝38°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝19°，
∴∠BOF＝∠BAD+∠ABE＝19°+38°＝57°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFO＝90°，
∴∠EBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣57°＝33°；
故选：B．
30．（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB＝AC，OD＝AC，
∴OB＝OD；
（2）解：∵OB＝6，OD＝OB，
∴OD＝6，
∵∠ADC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OD＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴OA＝AC＝6，
即OA＝AD＝OD＝6，
∴△AOD的周长是OA+AD+OD＝6+6+6＝18．
31．（1）证明：连接ME、MD，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵M是BC的中点，
∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵BC＝10，ED＝6，
∴DM＝BC＝10，DN＝DE＝6，
由（1）可知∠MND＝90°，
∴MN＝＝＝4，
∴S△MDE＝DE×MN＝×12×8＝48．