北师大版高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数》全部教案
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数》全部教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 223.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-12 00:01:01 | ||
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文档简介
北师大版高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》全部教案
§1 数系的扩充与复数的引入
扶风县法门高中 姚连省
第一课时 数系的扩充与复数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）
2、问题：实数集应怎样扩充呢？
（二）、新课探析
1、为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成 ()的形式．
2、复数概念及复数集
形如()的数叫做复数。全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示，
即．显然有N*NZQRC．
3、复数的有关概念：1) 复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数()，当时，就是实数．②复数()，当时，叫做虚数。
特别的，当，时，叫做纯虚数．
4、复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：
5、两复数相等
如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），
特别地：（复数为的充要条件）．
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．
6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。
7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
(三)、知识运用，能力提高
1、例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．
解： 的实部分别是；
虚部分别是．是实数；是虚数，其中是纯虚数．
例2、实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值。
解：（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时复数是纯虚数。
（变式引申）：已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？
答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．
例3、已知，求实数的值．
解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：．
（变式引申）：已知，求复数．
解：设，则，
， 由复数相等的条件
．
2．练习：（1）已知复数，且，则 ．
解：，则．故虚部
或．但时，，不合题意，故舍去，故．
四．回顾小结：1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；2、复数相等的充要条件。
（三）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
（四）、巩固练习：
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若，则的值是 。
4．．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
（五）、课外练习：第96页练习
（六）、课后作业：第100页习题A:1,2,3
五、教后反思：
第二课时 复数的几何意义
一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3. 若，试求的值，（呢？）
4.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－! （4）. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
5.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
6. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
7. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
8.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
9. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
(二)、探析新课：
1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1、在复平面内描出复数分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
⑤，，
注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用
例2、在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出所对应的向量。
（三）、小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
(四)、课堂练习：第99页练习
（五）、课后作业：第100页习题A:4,5,8
五、教后反思
§2复数的四则运算
第三课时 复数的加法与减法
一、教学目标：1、知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；2、过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
（二）、探析新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1、计算（1） （2） （3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2、例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
3、例题探析：
例1．计算（1） （2） （3）
练习：已知复数，试画出，，
例2、复数=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用 ，求点D的对应复数.
解法一：设复数所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i.
即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴ 解得∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+
(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
（三）．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
（四）、巩固练习：
1．计算（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
(五)、课外练习：第103页练习
(六)、课后作业：第108页习题A:1,2,3,4
五、教后反思
第四课时 复数复数的乘法与除法
一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1） （2） （3）
3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
（二）、探析新课
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
2、已知复数，若，试求的值。变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知
解这个方程组，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.∴(a+bi)÷(c+di)=.
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
（三）．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
（四）、巩固练习：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求
（五）、课外练习：第106页练习
（六）、课后作业：第108页习题A:5,6,7
五、教后反思
第五章《数系的扩充与复数的引入》全章小结与复习
一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律
二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基础梳理
1、复数的概念及其表示形式：
通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.
两个重要命题：
（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：
在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：
2.、复数的运算：
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）
简记为“分母实数化”。
特例：
利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（二）、例题探析
例1、1、若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= 。
答案5
2、已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
答案：Ａ
3、已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、计算①； ②；③+
答案：①；②；③-1
学生练习，教师准对问题讲评。
例3、已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值。
解：|z1·z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i|
=
==.
故|z1·z2|的最大值为，最小值为
（三）、小结：本课要求1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律。
（四）作业布置：课本P112页复习题五中A组4、6 B组1、2
五、教后反思：
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§1 数系的扩充与复数的引入
扶风县法门高中 姚连省
第一课时 数系的扩充与复数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）
2、问题：实数集应怎样扩充呢？
（二）、新课探析
1、为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成 ()的形式．
2、复数概念及复数集
形如()的数叫做复数。全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示，
即．显然有N*NZQRC．
3、复数的有关概念：1) 复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数()，当时，就是实数．②复数()，当时，叫做虚数。
特别的，当，时，叫做纯虚数．
4、复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：
5、两复数相等
如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），
特别地：（复数为的充要条件）．
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．
6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。
7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
(三)、知识运用，能力提高
1、例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．
解： 的实部分别是；
虚部分别是．是实数；是虚数，其中是纯虚数．
例2、实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值。
解：（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时复数是纯虚数。
（变式引申）：已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？
答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．
例3、已知，求实数的值．
解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：．
（变式引申）：已知，求复数．
解：设，则，
， 由复数相等的条件
．
2．练习：（1）已知复数，且，则 ．
解：，则．故虚部
或．但时，，不合题意，故舍去，故．
四．回顾小结：1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；2、复数相等的充要条件。
（三）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
（四）、巩固练习：
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若，则的值是 。
4．．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
（五）、课外练习：第96页练习
（六）、课后作业：第100页习题A:1,2,3
五、教后反思：
第二课时 复数的几何意义
一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3. 若，试求的值，（呢？）
4.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－! （4）. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
5.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
6. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
7. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
8.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
9. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
(二)、探析新课：
1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1、在复平面内描出复数分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
⑤，，
注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用
例2、在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出所对应的向量。
（三）、小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
(四)、课堂练习：第99页练习
（五）、课后作业：第100页习题A:4,5,8
五、教后反思
§2复数的四则运算
第三课时 复数的加法与减法
一、教学目标：1、知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；2、过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
（二）、探析新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1、计算（1） （2） （3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2、例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
3、例题探析：
例1．计算（1） （2） （3）
练习：已知复数，试画出，，
例2、复数=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用 ，求点D的对应复数.
解法一：设复数所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i.
即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴ 解得∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+
(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
（三）．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
（四）、巩固练习：
1．计算（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
(五)、课外练习：第103页练习
(六)、课后作业：第108页习题A:1,2,3,4
五、教后反思
第四课时 复数复数的乘法与除法
一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1） （2） （3）
3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
（二）、探析新课
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
2、已知复数，若，试求的值。变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知
解这个方程组，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.∴(a+bi)÷(c+di)=.
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
（三）．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
（四）、巩固练习：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求
（五）、课外练习：第106页练习
（六）、课后作业：第108页习题A:5,6,7
五、教后反思
第五章《数系的扩充与复数的引入》全章小结与复习
一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律
二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基础梳理
1、复数的概念及其表示形式：
通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.
两个重要命题：
（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：
在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：
2.、复数的运算：
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）
简记为“分母实数化”。
特例：
利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（二）、例题探析
例1、1、若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= 。
答案5
2、已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
答案：Ａ
3、已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、计算①； ②；③+
答案：①；②；③-1
学生练习，教师准对问题讲评。
例3、已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值。
解：|z1·z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i|
=
==.
故|z1·z2|的最大值为，最小值为
（三）、小结：本课要求1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律。
（四）作业布置：课本P112页复习题五中A组4、6 B组1、2
五、教后反思：
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