北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》全部教案
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| 名称 | 北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》全部教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 813.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-12 00:21:47 | ||
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文档简介
北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
§1 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
一、教学目标：
1、知识目标：⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
2、能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。
3、情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.
二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、内容分析：
本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题
五、教学过程
（一）、复习引入：
1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ.
随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
2．样本空间:
样本点：在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.
样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有 Ω={ω1，ω2，ω3，… }
3.古典概型的特征：
古典概型的随机试验具有下面两个特征：（１） 有限性.只有有限多个不同的基本事件;（２） 等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.
概率的古典定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（ ），则定义事件Ａ的概率 为 .即
(二)、探析新课：
1、随机变量的概念：随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究．
有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量．
2、随机变量的定义：如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ，变量 都有一个确定的实数值与之对应，则变量 是样本点 的实函数，记作 ．我们称这样的变量 为随机变量．
3、若随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形
（三）、例题探析
例1、（课本例1）已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象。（1）写出该随机现象所有可能出现的结果；（2）试用随机变量来描述上述结果。
解析：（1）从10件产品中任取3件，所有可能出现的结果是：“不含不合格品”、“恰有1件不合格品”、 “恰有2件不合格品”.
（2）令X表示取出的3件产品中的不合格品数。则X所有可能的取值为0,1,2，对应着任取3件产品所有可能出现的结果。即“X=0”表示“不含不合格品”； “X=1”表示“恰有1件不合格品”；
“X=2”表示“恰有2件不合格品”.
例2、（课本例2）连续投掷一枚均匀得硬币两次，用X表示这两次投掷中正面朝上的次数，则X是一个随机变量。分别说明下列集合所代表的随机事件：（1）；（2）；（3）；（4）。学生阅读课本解答，教师设问，准对问题讲评。
例3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
解：(1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例4、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
例5、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟
解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
（四）、课堂小结：本课学习了离散型随机变量。⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
（五）、课堂练习：课本第34页练习中1、2
（六）、课后作业：课本第37页习题2-1中1、2
六、教学反思：
第二课时 离散型随机变量的分布列
一、教学目标
1、知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
2、过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
3、情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
二、教学重点：离散型随机变量的分布列的概念
教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
(一)、复习引入：
1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2、离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
（二）、探析新课：
1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
X 1 0
P p q
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
3.二点分布：如果随机变量X的分布列为：
（三）、例题探析
例1、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
解：设黄球的个数为n，由题意知绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
∴ ，，．
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ 1 0 －1
P
说明：1、在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
2、求随机变量的分布列的步骤：（1）确定的可能取值；
（2）求出相应的概率；
（3）列成表格的形式。
例2、某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，
P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．
例3、（课本例4）用X表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用X的分布列求出下列事件发生的概率：（1）掷出的点数是偶数；（2）掷出的点数大于3而不大于5；（3）掷出的点数超过1.
解析：容易得到X的分布列为根据上式，可得：
（1）掷出的点数是偶数是指,因此掷出的点数是偶数的概率为
.
（2）掷出的点数大于3而不大于5是指掷得4点或5点，它发生的概率为
.
（3）掷出的点数超过1的对立事件是掷得1点，因此掷出的点数超过1的概率为
.
（四）、课堂小结：1．随机变量的概念及0-1分布，随机变量性质的应用；2．求随机变量的分布列的步骤。
（五）、课堂练习：练习册第41页练习题2、3、5
（六）、课后作业：练习册第42页5、6、7
六、教学反思：
第三课时 离散型随机变量的分布列
一、教学目标：1、知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。2、过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。3、情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
二、教学重点：离散型随机变量的分布列的概念。教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤．
2．练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和．
解：①可取3，4，5．＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
②可取0，1，2，3，＝表示取出支白粉笔，支红粉笔，其中0，1，2，3．
③可取3，4，5，6，7．＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记．求的分布列．
解：显然服从两点分布，，则．
0 1
所以的分布列是
（二）、知识与方法运用
1、例题探析：
例1、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率．
解：依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表．
的值 出现的点 情况数
1 （1，1） 1
2 （2，2），（2，1），（1，2） 3
3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5
4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7
5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），（2，5），（1，5） 9
6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），（4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11
由古典概型可知的概率分布如表2-1-6所示．
1 2 3 4 5 6
从而．
思考：在例3中，求两颗骰子出现最小点数的概率分布．
分析 类似与例1，通过列表可知：，，，，，．
例2、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的分布列．
解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量＝－1；当取到1白1黑时，随机变量＝1；当取到2黄时，＝0；当取到1黑1黄时，＝2；当取到2黑时，＝4．则的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．
； ；
－2 －1 0 1 2 4
； ；，．
从而得到的分布列如下：
例3、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球．（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5．
；；；
，．
所以，取球次数的分布列为：
1 2 3 4 5
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为，则（，或，或）．因为事件、、两两互斥，所以．
2、练习：某一射手射击所得环数分布列为
4 5 6 7 8 9 10
P 0．02 0．04 0．06 0．09 0．28 0．29 0．22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率。
解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：
P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88。
（三）、回顾小结：1．随机变量及其分布列的意义；2．随机变量概率分布的求解；3.求离散型随机变量的概率分布的步骤:（1）确定随机变量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi（3）画出表格。
（四）、作业布置：1、若随机变量的分布列为：试求出常数．
０ １
解：
由随机变量分布列的性质可知：，解得。
2、设随机变量的分布列为，求实数的值。（）
3、 某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的分布列。
解：设、、、四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4。
则，，，。
故其分布表为
1 2 3 4
六、教学反思：
§2 超几何分布
第四课时 超几何分布
一、教学目标： 1、通过实例，理解超几何分布及其特点；2、掌握超几何分布列及其导出过程；
3、通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重难点：重点：超几何分布的理解；分布列的推导。难点：具体应用。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：
1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
X 1 0
P p 1-p
（二）、探析新课：
1、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
2、超几何分布
在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m
则.此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n
（三）、知识方法应用
例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.
解：由题意
X 0 1 2 3 4 5
P 0．58375 0.33939 0.07022 0.00638 0.00025 0.00001
例3、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选三人中女生人数.（1）求得分布列；（2）求所选三人中女生人数的概率.
解：（1）
0 1 2
（2）
例4、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.
2 6 10
例4、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用表示其中的次品数，试求：（1）抽取的4只中恰好有只次品的概率；（2）抽取的4只产品中次品超过1只的概率.
练习：
1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是 C
A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.2
2、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是 A
A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.078
3、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.【】
0 1 2
0.1 0.6 0.3
4、从装有3个红球，2个白球的袋中随机
取出2个球，设其中有个红球，则得分
布列是___________________________________.
（四）、小结：超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m则.此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n。
（五）、作业布置：课本P42页习题2-2中1、3、4
五、教学反思：
§3条件概率与独立事件
第五课时 条件概率
一、教学目标：1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：条件概率定义的理解。 教学难点：概率计算公式的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
X 1 0
P p q
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
5.二点分布：如果随机变量X的分布列为：
6．超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m，则.此时我们称随机变量X服从超几何分布。
(二)、探析新课：
问题提出：100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的重量合格，85件产品的长度、重量都合格。现在，任取一件产品，若已知它的重量合格，那么它的长度合格的概率是多少？
分析理解：如果令A={产品的长度合格},B={产品的重量合格},那么{产品的长度、重量都合格}。现在，任取一件产品，已知它的重量合格（即B发生），则它的长度合格（即A发生）的概率为。那么此概率（）与事件A及B发生的概率有什么关系呢？
由题目可知：,因此在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为。
抽象概括：1、条件概率定义：已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作. 当时，有(其中，也可以记成AB)类似地当时，A发生时B发生的条件概率为
2、条件概率
的性质：（1）非负性：对任意的Af. ；（2）规范性：P（|B）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则.更一般地,对任意的一列两两部相容的事件（I=1,2…），有P =.
例1、盒中有球如表. 任取一球，记={取得蓝球}，={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. 包含的样本点总数为16，包含的样本点总数为11，故.
玻璃 木质 总计
红 蓝 2 3 4 7 5 11
总计 6 10 16
如果已知取得为玻璃球，这就是发生条件下发生的条件概率，记作. 在发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在发生条件下包含的样本点数为蓝玻璃球数，故.
一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当，有
.
这式子对几何概率也成立.
例2、甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率。
解 分别用，记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，，，. ① 所求为 .
② 所求为 .
（三）、课堂小结：本节课1、学习了条件概率的定义条件概率的定义；2、条件概率的性质3、条件概率的计算方法。
（四）、课堂练习：课本第45页练习
（五）、课后作业：课本第47页习题2-3中1、2
五、教学反思：
第六课时 条件概率
一、教学目标：1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：条件概率定义的理解。 教学难点：概率计算公式的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
（二）、探析新课：
1、条件概率条件概率：对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，条件概率为
反过来可以用条件概率表示、的乘积概率，即有乘法公式
若，则, (2)
同样有 若，则.
从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成.
两个事件的乘法公式还可推广到个事件，即
(3)
具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定.
2.
条件概率的性质：
（1）非负性：对任意的Af. ；
（2）规范性：P（|B）=1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则
.
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件（I=1,2…），有
P =.
例1、张彩票中有一个中奖票.① 已知前面个人没摸到中奖票，求第个人摸到的概率；
② 求第个人摸到的概率.
解 问题 ① 是在条件“前面个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率.
记={第个人摸到}，则 ① 的条件是. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得
① P()=；
② 所求为，但对本题，, 由(3)式及古典概率计算公式有
＝()＝
.这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.
例2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n（）==20.
根据分步乘法计数原理，n (A）==12 ．于是 .
(2）因为 n (AB)＝=6 ，所以.
(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概
.
解法2 因为 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以.
例3.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
解：设第i次按对密码为事件(i=1,2) ，则表示不超过2次就按对密码．
(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得
.
(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则.
（三）、课堂小结：本课学习了条件概率简单应用
（四）课堂练习：练习册49页练习2、3、6
（五）、课后作业：练习册49页练习1、4、5、7
五、教学反思：
第七课时 事件的独立性
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．
（二）、学生活动
设表示事件“第一次正面向上”， 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知
，，，所以．
即，这说明事件的发生不影响事件发生的概率．
（三）、新课探析
1．两个事件的独立性
一般地，若事件，满足，则称事件，独立．
当，独立时，若，因为，
所以 ，反过来，
即，也独立．这说明与独立是相互的，此时事件和同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件，相互独立的充要条件是．今后我们将遵循此约定．
事实上，若，则，同时就有，此时不论是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.
2． 两个事件的独立性可以推广到个事件的独立性，且若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率．
3． 立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立．若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设“抽得老Ｋ”“抽的红牌”，“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？①与； ②与
4．讨论研究
概率 意义
、同时发生的概率
不发生发生的概率
发生不发生的概率
、都不发生的概率
、中恰有一个发生的概率
、中至少有一个发生的概率
、中至多有一个发生的概率
（四）、知识方法运用
1、例题探析：
例1、求证：若事件与相互独立，则事件与也相互独立．
证：因为 所以．
因为，相互独立，所以，
于是．
因此，事件与相互独立．结论：若事件与独立则与，与，与 都独立．
例2、如图，用三类不同的元
件连接成系统．当元件都正常工作
时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，，，求系统正常工作的概率．
解：若将元件正常工作分别记为事件，则系统正常工作为事件．
根据题意，有，，．
因为事件是相互独立的，所以系统正常工作的概率
，即系统正常工作的概率为．
例3、加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？
分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图）
解法1 设表示事件“加工出来的零件是不合格品”，分别表示事件“第一道工序出现不合格品”和“第二道工序出现不合格品”．因为依常理，第一道工序为不合格品，则该产品为不合格品，所以，
因为各道工序互不影响，所以
．
解法2 因为，所以
，．
答：加工出来的零件是不合格品的概率是﹪．
思考：如果和是两个相互独立的事件，那么表示什么？
2、练习：课本P45页练习
（五）．回顾小结：1、当，独立时，,也是独立的，即与独立是相互的。
2、当，独立；；或
或事件的发生不影响事件的发生概率。
五、教学反思：
第八课时 事件的独立性
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立（mutually independent ) .事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立
2．相互独立事件同时发生的概率：这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ．
3．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：
（二）、例题探析：
例 1、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．
解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B ) = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件 AB , A和B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？
解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．
（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
∴人中恰有人射中目标的概率是．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
例 3、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是．
变式题1：如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
（）
变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
方法一：
方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除开且与至少有1个开的情况
点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便
(三)、课堂练习：
1．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ）
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384【答案：1. C 2. C 3. B】
（四）、课堂小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
（五）、课后作业：补充题:
1、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
2、制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？
3、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？
【答案：1、 P= 2、 P=
3、 。
4、已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．∵事件，，，，相互独立，∴敌机未被击中的概率为
=
∴敌机未被击中的概率为．
（2）至少需要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-∴令，∴两边取常用对数，得
∵，∴∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
五、教学反思：
§4 二项分布
第九课时 独立重复试验与二项分布
一、教学目标：1、知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
3. 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即.称与独立
（二）、探析新课：
1独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．它是展开式的第项
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .
(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) ＝.
(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
.
例2．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率
解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件．预报5次相当于5次独立重复试验，根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率
答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即
答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
例3．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
解：记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为。
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．
点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
例4．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．∵射击次相当于次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为．由题意，令，∴，∴，∴至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
（三）、课堂小结：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。
2．如果1次试验中某事件发生的概率是，那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件要么发生，要么不发生，所以在次独立重复试验中恰好发生次，则在另外的次中没有发生，即发生，由，所以上面的公式恰为展开式中的第项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。
（四）、课堂练习：课本第51页练习
（五）、课后作业：课本第56页习题2-4A组中1、3、4
五、教学反思：
第十课时 独立重复试验与二项分布
一、教学目标：1、知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
3. 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即.称与独立
4独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
5．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．它是展开式的第项
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
（二）、探析新课：
例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
设从低层到顶层停次，则其概率为，
∴当或时，最大，即最大，
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
记事件=“甲打完3局才能取胜”，记事件=“甲打完4局才能取胜”，记事件=“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为．
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为．
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为．
(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，又因为事件、、彼此互斥，
故．答：按比赛规则甲获胜的概率为．
例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（）
解：记事件＝“种一粒种子，发芽”，则，，
（1）设每穴至少种粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．
∵每穴种粒相当于次独立重复试验，记事件＝“每穴至少有一粒发芽”，则．∴．
由题意，令，所以，两边取常用对数得，．即，∴，且，所以取．
答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．
（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384
例4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是
ξ 0 1 2
P 0.9025 0.095 0.0025
例5．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
解：依题意，随机变量ξ～B．∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
（三）、课堂小结：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用
（四）、课堂练习：练习册第60页练习1、3
（五）、课后作业：课本第56页习题2-4中A组2、5 B组中题目。
五、教学反思：
§5 离散型随机变量的均值与方差
第十一课时 离散型随机变量的均值
一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。2、过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
（二）、探析新课：
1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3、平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
4、期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5、若ξB（n,p），则Eξ=np
证明如下：∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵ ，
∴ ＋＋…＋＋…＋．故 若ξ～B(n，p)，则np．
6.例题探析：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，所以
例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，=3.5
例3. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,。
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：。
例4．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
ξ 1 2 3 4 5 6
P
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
所以 1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
(三)、课堂小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ。公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
（四）、课堂练习：1、课本P59页练习
补充题：1、口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75【答案：C】
2、 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：⑴因为，，所以1×＋0×
⑵η的概率分布为
η 0 1 2
P
所以 0×＋1×＋2×＝1.4．
ξ ０ １ 2 3
P
⑶ξ的概率分布为
所以 0×＋1×＋2×＝2.1.
(五)、课后作业：：课本P62页习题2-5中A组1、4、5
五、教学反思：
第十二课时 离散型随机变量的方差
一、教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差
五、教学过程：
（一）、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列:
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．
ξ 0 1 … k … n
P … …
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
ξ 1 2 3 … k …
P … …
9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: ；13.若ξB（n,p），则Eξ=np
（二）、探析新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
（三）、例题探析：
例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
从而;
.
例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;
EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因为EX1 =EX2, DX1（四）、课堂练习：1、设～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p
解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np（1－p）
∴ ∴
2、已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2；6，)解：p(=2)=c62()2()4
3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
1 2 3
p a 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
试分析甲、乙技术状况。解：由0.1+0.6+a+1a=0.3，0.3+0.3+b=1a=0.4，∴E=2.3 , E=2.0，D=0.81 , D=0.6
（五）、课堂小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
（六）、作业布置：课本P62页习题2-5中A组2、3 B组题目
六、教学反思：
第十三课时 离散型随机变量的方差
一、教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
（二）、例题探析
例1．设随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 … n
P …
求Dξ
解：（略）,
例2．已知离散型随机变量的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：；
；
；=0.04, .
点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：+（10-9）；同理有
由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床 B机床
次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
（三）、课堂练习：1 .已知，则的值分别是（ ）
A．； B．； C．； D． 答案：1.D
2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=所以，Eξ=
（四）、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
（五）、课后作业：练习册66页3、5、6
五、教学反思：
*§6 正态分布
第十四课时 正态分布
一、教学目标：
1、知识与技能：了解连续性随机变量的概念以及连续性随机变量的分布密度函数；掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
2、过程与方法：通过实例认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解。
3、情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。
二、教学重点：正态分布曲线的性质；教学难点：简单正态分布曲线性质的应用；
三、内容分析：
1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：
， （σ＞0）
由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为
3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的
4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化
6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。
四、教学方法：讨论交流，探析归纳
五、教学过程
（一）、复习回顾：
1、若离散型随机变量X的分布列为
X .... ..... ...
P .... .... ....
则称EX= 为随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的 ；
2、如果X是一个随机变量，那么把 叫作随机变量X的方差，记为、DX，DX的算数平方根叫作随机变量Ｘ的 ，一个随机变量的方差于标准差都反映随机变量的取值 ，其中标准差与随机变量本身有 ，ＤＸ＝ ＝
３、超几何分布的数学期望ＥＸ＝
４、二项分布的数学期望ＥＸ＝ ，ＤＸ＝ ；
５、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表
－１ ０ １
Ｐ １－２ｑ
求ｑ的值，并求Ｅ、Ｅ
（二）、学生阅读课本P63-65页，教师设问，师生共同归纳
１、随机变量的值可以取 ，这样的随机变量称为连续性随机变量；
２、函数的图像称为正态分布密度曲线，简称 ；
正态分布完全由参数与确定，常记做 ，如果随机变量Ｘ服从正态分布，
记做 ，则Ｘ的均值ＥＸ＝ ，ＤＸ＝ ；
３、若Ｘ则有
（三）问题探讨
【问题１】请阅读课本回答问题：什么是正态曲线，正态分布？
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～。
【问题２】请根据课本上正态曲线，说一说正态曲线有哪些性质？
1、正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布,通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.
2、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质。
3、正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）当x=μ时，曲线位于最高点。（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学。
4、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线。
标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
5、对于正态总体取值的概率：
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分
（三）例题探析：
例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
【答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 】
例2、某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率。
解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布。
（四）、巩固练习：练习册第72页 1、2、3
（五）、课后作业：练习册第72页4、6、8
六、教学反思：
第十五课时 《概率》本章小结与复习（一）
一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。 教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、知识梳理
1、随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、… 表示。如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
离散型随机变量X的分布列的性质：（1） （2）
一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
3、二点分布
如果随机变量X的分布列为 ，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．
4、超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（０≤≤，为n和M中较小的一个）。
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
5、条件概率：
一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把读作“A发生的条件下B的概率”．
古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。
6、条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。如果B和C是两个互斥事件，则.
7、事件的独立性：设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。
两点说明：（1）“互斥”与“相互独立”的区别与联系
相同点 不同点
都是描绘两个事件间的关系 ①“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。②“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的也可互斥。
（2）在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：A、B中至少有一个发生的事件为A+B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为；A、B中至多有一个发生的事件为+。它们之间的概率关系如下表所示
A、B互斥 A、B相互独立
P（A+B） P（A）+P（B） 1-P（）P（）
P（AB） 0 P（A）P（B）
P（） 1-[P（A）+P（B）] P（）P（）
P（） P（A）+P（B） P（A）P（）+P（）P（B）
P（+） 1 1-P（A）P（B）
8、独立重复试验：一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验．
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，，1，2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率，实际上，正好是二项式的展开式中的第项。
9、二项分布：若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k = 0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列：
由于表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为。
10、期望：设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则
叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．
（1）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。
（2）是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述X取值平均状态
（3）数学期望的性质：当随机变量为常数时，；当离散型随机变量时，；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则。
11、方差：设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则 叫做这个离散型随机变量X的方差。
的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差。
（1）离散型随机变量的方差（包括标准差）反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），它反映了X取值的稳定性． 越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之越小，X的取值越集中，在附近统计中常用来描述X的分散程度．
（2）与一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定。
（3）方差的性质：若X服从二点分布，则；若X服从二项分布则，。
12、正态分布正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）当x=μ时，曲线位于最高点。（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
对于正态总体取值的概率：
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分。
（二）、基础训练
1、已知随机变量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m
则（ ） A． B． C． D． 答案：C
2、从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ） 答案：C
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3、在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) 答案：C
4、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则
概率等于（ ） 答案：A
A B C D
5、若，那么等于（ ） 答案：C
A．0.0729 B．0.00856 C．0.91854 D．0.99144 ( http: / / www. )6、一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（ ） 答案：C
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
7、 一批电阻的阻值X服从正态分布N（1000,52）（）。今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，可以认为_______（填写正确的序号） 答案：（3）
（1）甲、乙两箱电阻均可出厂；（2）甲、乙两箱电阻均不可出厂；（3）甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；（4）甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂。
（三）、作业布置：课本P68页复习题二中A组3、4、8
五、教后反思：
第十六课时 《概率》本章小结与复习（二）
一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。 教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、典例探析
例1、一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
解析：随机变量X的可能取值为3，4，5，6。从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X= 4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；
从而有，
∴随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
点评：确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件．进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率．
例2、袋中有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列。
解析：X的所有可能取值为：1，2，…，n，…令表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为p = 0.1，于是得： ，
，…
X 1 2 3 … k …
P … …
因此分布列为
点评：此例进一步抽象可表述为：在每次试验时，若事件A发生的概率为p，发生的概率为，则事件A首次发生的试验次数X是一个随机变量，它的取值为1，2，…，n，…，其分布列称为几何分布。
例3、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率。
分析：解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为：根据条件概率公式
，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.2.
点评：在解决条件概率问题时，要灵活掌握 之间的关系，即
例4、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解析：（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故，以此为基础求X的分布列．
由，所以X的分布列为k=0，1，2，3，4，5，6。
（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5。其中：表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．
而表示一路没有遇上红灯，故其概率为，
因此Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4 5 6
P
（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为
所以其概率为 。
点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即。分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1。
例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
试评定这两个保护区的管理水平．
分析：要比较两个保护区的管理水平，可先比较甲、乙两个保护区的平均管理水平，然后再看它们管理水平的稳定性．
解析：甲保护区的违规次数X l的数学期望和方差为：
， 。
乙保护区的违规次数的数学期望和方差为： ，
。
因为，，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，所以乙保护区的管理水平相对要好．
点评：数学期望体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差（或标准差），方差大说明随机变量取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
（二）、课堂练习：课本P68页复习题二中A组9
（三）、作业：课本P68页复习题二中A组10、11；B组1、2
五、教后反思：
图2-3-2
图2-3-4
PAGE
58
扶风县法门高中 姚连省
§1 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
一、教学目标：
1、知识目标：⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
2、能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。
3、情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.
二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、内容分析：
本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题
五、教学过程
（一）、复习引入：
1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ.
随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
2．样本空间:
样本点：在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.
样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有 Ω={ω1，ω2，ω3，… }
3.古典概型的特征：
古典概型的随机试验具有下面两个特征：（１） 有限性.只有有限多个不同的基本事件;（２） 等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.
概率的古典定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（ ），则定义事件Ａ的概率 为 .即
(二)、探析新课：
1、随机变量的概念：随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究．
有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量．
2、随机变量的定义：如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ，变量 都有一个确定的实数值与之对应，则变量 是样本点 的实函数，记作 ．我们称这样的变量 为随机变量．
3、若随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形
（三）、例题探析
例1、（课本例1）已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象。（1）写出该随机现象所有可能出现的结果；（2）试用随机变量来描述上述结果。
解析：（1）从10件产品中任取3件，所有可能出现的结果是：“不含不合格品”、“恰有1件不合格品”、 “恰有2件不合格品”.
（2）令X表示取出的3件产品中的不合格品数。则X所有可能的取值为0,1,2，对应着任取3件产品所有可能出现的结果。即“X=0”表示“不含不合格品”； “X=1”表示“恰有1件不合格品”；
“X=2”表示“恰有2件不合格品”.
例2、（课本例2）连续投掷一枚均匀得硬币两次，用X表示这两次投掷中正面朝上的次数，则X是一个随机变量。分别说明下列集合所代表的随机事件：（1）；（2）；（3）；（4）。学生阅读课本解答，教师设问，准对问题讲评。
例3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
解：(1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例4、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
例5、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟
解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
（四）、课堂小结：本课学习了离散型随机变量。⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
（五）、课堂练习：课本第34页练习中1、2
（六）、课后作业：课本第37页习题2-1中1、2
六、教学反思：
第二课时 离散型随机变量的分布列
一、教学目标
1、知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
2、过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
3、情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
二、教学重点：离散型随机变量的分布列的概念
教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
(一)、复习引入：
1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2、离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
（二）、探析新课：
1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
X 1 0
P p q
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
3.二点分布：如果随机变量X的分布列为：
（三）、例题探析
例1、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
解：设黄球的个数为n，由题意知绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
∴ ，，．
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ 1 0 －1
P
说明：1、在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
2、求随机变量的分布列的步骤：（1）确定的可能取值；
（2）求出相应的概率；
（3）列成表格的形式。
例2、某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，
P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．
例3、（课本例4）用X表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用X的分布列求出下列事件发生的概率：（1）掷出的点数是偶数；（2）掷出的点数大于3而不大于5；（3）掷出的点数超过1.
解析：容易得到X的分布列为根据上式，可得：
（1）掷出的点数是偶数是指,因此掷出的点数是偶数的概率为
.
（2）掷出的点数大于3而不大于5是指掷得4点或5点，它发生的概率为
.
（3）掷出的点数超过1的对立事件是掷得1点，因此掷出的点数超过1的概率为
.
（四）、课堂小结：1．随机变量的概念及0-1分布，随机变量性质的应用；2．求随机变量的分布列的步骤。
（五）、课堂练习：练习册第41页练习题2、3、5
（六）、课后作业：练习册第42页5、6、7
六、教学反思：
第三课时 离散型随机变量的分布列
一、教学目标：1、知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。2、过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。3、情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
二、教学重点：离散型随机变量的分布列的概念。教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤．
2．练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和．
解：①可取3，4，5．＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
②可取0，1，2，3，＝表示取出支白粉笔，支红粉笔，其中0，1，2，3．
③可取3，4，5，6，7．＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记．求的分布列．
解：显然服从两点分布，，则．
0 1
所以的分布列是
（二）、知识与方法运用
1、例题探析：
例1、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率．
解：依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表．
的值 出现的点 情况数
1 （1，1） 1
2 （2，2），（2，1），（1，2） 3
3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5
4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7
5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），（2，5），（1，5） 9
6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），（4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11
由古典概型可知的概率分布如表2-1-6所示．
1 2 3 4 5 6
从而．
思考：在例3中，求两颗骰子出现最小点数的概率分布．
分析 类似与例1，通过列表可知：，，，，，．
例2、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的分布列．
解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量＝－1；当取到1白1黑时，随机变量＝1；当取到2黄时，＝0；当取到1黑1黄时，＝2；当取到2黑时，＝4．则的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．
； ；
－2 －1 0 1 2 4
； ；，．
从而得到的分布列如下：
例3、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球．（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5．
；；；
，．
所以，取球次数的分布列为：
1 2 3 4 5
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为，则（，或，或）．因为事件、、两两互斥，所以．
2、练习：某一射手射击所得环数分布列为
4 5 6 7 8 9 10
P 0．02 0．04 0．06 0．09 0．28 0．29 0．22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率。
解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：
P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88。
（三）、回顾小结：1．随机变量及其分布列的意义；2．随机变量概率分布的求解；3.求离散型随机变量的概率分布的步骤:（1）确定随机变量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi（3）画出表格。
（四）、作业布置：1、若随机变量的分布列为：试求出常数．
０ １
解：
由随机变量分布列的性质可知：，解得。
2、设随机变量的分布列为，求实数的值。（）
3、 某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的分布列。
解：设、、、四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4。
则，，，。
故其分布表为
1 2 3 4
六、教学反思：
§2 超几何分布
第四课时 超几何分布
一、教学目标： 1、通过实例，理解超几何分布及其特点；2、掌握超几何分布列及其导出过程；
3、通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重难点：重点：超几何分布的理解；分布列的推导。难点：具体应用。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：
1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
X 1 0
P p 1-p
（二）、探析新课：
1、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
2、超几何分布
在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m
则.此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n
（三）、知识方法应用
例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.
解：由题意
X 0 1 2 3 4 5
P 0．58375 0.33939 0.07022 0.00638 0.00025 0.00001
例3、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选三人中女生人数.（1）求得分布列；（2）求所选三人中女生人数的概率.
解：（1）
0 1 2
（2）
例4、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.
2 6 10
例4、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用表示其中的次品数，试求：（1）抽取的4只中恰好有只次品的概率；（2）抽取的4只产品中次品超过1只的概率.
练习：
1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是 C
A 0.1 B 0.3 C 0.6 D 0.2
2、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是 A
A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.078
3、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.【】
0 1 2
0.1 0.6 0.3
4、从装有3个红球，2个白球的袋中随机
取出2个球，设其中有个红球，则得分
布列是___________________________________.
（四）、小结：超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m则.此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n。
（五）、作业布置：课本P42页习题2-2中1、3、4
五、教学反思：
§3条件概率与独立事件
第五课时 条件概率
一、教学目标：1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：条件概率定义的理解。 教学难点：概率计算公式的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
X 1 0
P p q
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
5.二点分布：如果随机变量X的分布列为：
6．超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m，则.此时我们称随机变量X服从超几何分布。
(二)、探析新课：
问题提出：100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的重量合格，85件产品的长度、重量都合格。现在，任取一件产品，若已知它的重量合格，那么它的长度合格的概率是多少？
分析理解：如果令A={产品的长度合格},B={产品的重量合格},那么{产品的长度、重量都合格}。现在，任取一件产品，已知它的重量合格（即B发生），则它的长度合格（即A发生）的概率为。那么此概率（）与事件A及B发生的概率有什么关系呢？
由题目可知：,因此在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为。
抽象概括：1、条件概率定义：已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作. 当时，有(其中，也可以记成AB)类似地当时，A发生时B发生的条件概率为
2、条件概率
的性质：（1）非负性：对任意的Af. ；（2）规范性：P（|B）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则.更一般地,对任意的一列两两部相容的事件（I=1,2…），有P =.
例1、盒中有球如表. 任取一球，记={取得蓝球}，={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. 包含的样本点总数为16，包含的样本点总数为11，故.
玻璃 木质 总计
红 蓝 2 3 4 7 5 11
总计 6 10 16
如果已知取得为玻璃球，这就是发生条件下发生的条件概率，记作. 在发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在发生条件下包含的样本点数为蓝玻璃球数，故.
一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当，有
.
这式子对几何概率也成立.
例2、甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率。
解 分别用，记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，，，. ① 所求为 .
② 所求为 .
（三）、课堂小结：本节课1、学习了条件概率的定义条件概率的定义；2、条件概率的性质3、条件概率的计算方法。
（四）、课堂练习：课本第45页练习
（五）、课后作业：课本第47页习题2-3中1、2
五、教学反思：
第六课时 条件概率
一、教学目标：1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：条件概率定义的理解。 教学难点：概率计算公式的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
（二）、探析新课：
1、条件概率条件概率：对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，条件概率为
反过来可以用条件概率表示、的乘积概率，即有乘法公式
若，则, (2)
同样有 若，则.
从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成.
两个事件的乘法公式还可推广到个事件，即
(3)
具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定.
2.
条件概率的性质：
（1）非负性：对任意的Af. ；
（2）规范性：P（|B）=1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则
.
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件（I=1,2…），有
P =.
例1、张彩票中有一个中奖票.① 已知前面个人没摸到中奖票，求第个人摸到的概率；
② 求第个人摸到的概率.
解 问题 ① 是在条件“前面个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率.
记={第个人摸到}，则 ① 的条件是. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得
① P()=；
② 所求为，但对本题，, 由(3)式及古典概率计算公式有
＝()＝
.这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.
例2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n（）==20.
根据分步乘法计数原理，n (A）==12 ．于是 .
(2）因为 n (AB)＝=6 ，所以.
(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概
.
解法2 因为 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以.
例3.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
解：设第i次按对密码为事件(i=1,2) ，则表示不超过2次就按对密码．
(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得
.
(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则.
（三）、课堂小结：本课学习了条件概率简单应用
（四）课堂练习：练习册49页练习2、3、6
（五）、课后作业：练习册49页练习1、4、5、7
五、教学反思：
第七课时 事件的独立性
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．
（二）、学生活动
设表示事件“第一次正面向上”， 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知
，，，所以．
即，这说明事件的发生不影响事件发生的概率．
（三）、新课探析
1．两个事件的独立性
一般地，若事件，满足，则称事件，独立．
当，独立时，若，因为，
所以 ，反过来，
即，也独立．这说明与独立是相互的，此时事件和同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件，相互独立的充要条件是．今后我们将遵循此约定．
事实上，若，则，同时就有，此时不论是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.
2． 两个事件的独立性可以推广到个事件的独立性，且若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率．
3． 立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立．若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设“抽得老Ｋ”“抽的红牌”，“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？①与； ②与
4．讨论研究
概率 意义
、同时发生的概率
不发生发生的概率
发生不发生的概率
、都不发生的概率
、中恰有一个发生的概率
、中至少有一个发生的概率
、中至多有一个发生的概率
（四）、知识方法运用
1、例题探析：
例1、求证：若事件与相互独立，则事件与也相互独立．
证：因为 所以．
因为，相互独立，所以，
于是．
因此，事件与相互独立．结论：若事件与独立则与，与，与 都独立．
例2、如图，用三类不同的元
件连接成系统．当元件都正常工作
时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，，，求系统正常工作的概率．
解：若将元件正常工作分别记为事件，则系统正常工作为事件．
根据题意，有，，．
因为事件是相互独立的，所以系统正常工作的概率
，即系统正常工作的概率为．
例3、加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？
分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图）
解法1 设表示事件“加工出来的零件是不合格品”，分别表示事件“第一道工序出现不合格品”和“第二道工序出现不合格品”．因为依常理，第一道工序为不合格品，则该产品为不合格品，所以，
因为各道工序互不影响，所以
．
解法2 因为，所以
，．
答：加工出来的零件是不合格品的概率是﹪．
思考：如果和是两个相互独立的事件，那么表示什么？
2、练习：课本P45页练习
（五）．回顾小结：1、当，独立时，,也是独立的，即与独立是相互的。
2、当，独立；；或
或事件的发生不影响事件的发生概率。
五、教学反思：
第八课时 事件的独立性
一、教学目标：1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立（mutually independent ) .事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立
2．相互独立事件同时发生的概率：这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ．
3．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：
（二）、例题探析：
例 1、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．
解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B ) = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件 AB , A和B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？
解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．
（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
∴人中恰有人射中目标的概率是．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
例 3、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是．
变式题1：如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
（）
变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
方法一：
方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除开且与至少有1个开的情况
点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便
(三)、课堂练习：
1．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ）
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384【答案：1. C 2. C 3. B】
（四）、课堂小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
（五）、课后作业：补充题:
1、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
2、制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？
3、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？
【答案：1、 P= 2、 P=
3、 。
4、已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为．∵事件，，，，相互独立，∴敌机未被击中的概率为
=
∴敌机未被击中的概率为．
（2）至少需要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-∴令，∴两边取常用对数，得
∵，∴∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
五、教学反思：
§4 二项分布
第九课时 独立重复试验与二项分布
一、教学目标：1、知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
3. 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即.称与独立
（二）、探析新课：
1独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．它是展开式的第项
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .
(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) ＝.
(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
.
例2．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率
解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件．预报5次相当于5次独立重复试验，根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率
答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即
答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
例3．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
解：记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为。
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．
点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
例4．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．∵射击次相当于次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为．由题意，令，∴，∴，∴至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
（三）、课堂小结：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。
2．如果1次试验中某事件发生的概率是，那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件要么发生，要么不发生，所以在次独立重复试验中恰好发生次，则在另外的次中没有发生，即发生，由，所以上面的公式恰为展开式中的第项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。
（四）、课堂练习：课本第51页练习
（五）、课后作业：课本第56页习题2-4A组中1、3、4
五、教学反思：
第十课时 独立重复试验与二项分布
一、教学目标：1、知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：
1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.
2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为
3. 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即.称与独立
4独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
5．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．它是展开式的第项
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
（二）、探析新课：
例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
设从低层到顶层停次，则其概率为，
∴当或时，最大，即最大，
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
记事件=“甲打完3局才能取胜”，记事件=“甲打完4局才能取胜”，记事件=“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为．
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为．
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为．
(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，又因为事件、、彼此互斥，
故．答：按比赛规则甲获胜的概率为．
例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（）
解：记事件＝“种一粒种子，发芽”，则，，
（1）设每穴至少种粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．
∵每穴种粒相当于次独立重复试验，记事件＝“每穴至少有一粒发芽”，则．∴．
由题意，令，所以，两边取常用对数得，．即，∴，且，所以取．
答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．
（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384
例4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是
ξ 0 1 2
P 0.9025 0.095 0.0025
例5．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
解：依题意，随机变量ξ～B．∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
（三）、课堂小结：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用
（四）、课堂练习：练习册第60页练习1、3
（五）、课后作业：课本第56页习题2-4中A组2、5 B组中题目。
五、教学反思：
§5 离散型随机变量的均值与方差
第十一课时 离散型随机变量的均值
一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。2、过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、教学过程
（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
（二）、探析新课：
1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3、平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
4、期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn …
η … …
P p1 p2 … pn …
于是……
＝……)……)＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5、若ξB（n,p），则Eξ=np
证明如下：∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵ ，
∴ ＋＋…＋＋…＋．故 若ξ～B(n，p)，则np．
6.例题探析：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，所以
例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望
解：∵，=3.5
例3. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,。
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：。
例4．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
ξ 1 2 3 4 5 6
P
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
所以 1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
(三)、课堂小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ。公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
（四）、课堂练习：1、课本P59页练习
补充题：1、口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75【答案：C】
2、 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．
解：⑴因为，，所以1×＋0×
⑵η的概率分布为
η 0 1 2
P
所以 0×＋1×＋2×＝1.4．
ξ ０ １ 2 3
P
⑶ξ的概率分布为
所以 0×＋1×＋2×＝2.1.
(五)、课后作业：：课本P62页习题2-5中A组1、4、5
五、教学反思：
第十二课时 离散型随机变量的方差
一、教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差
五、教学过程：
（一）、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列:
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．
ξ 0 1 … k … n
P … …
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
ξ 1 2 3 … k …
P … …
9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: ；13.若ξB（n,p），则Eξ=np
（二）、探析新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
（三）、例题探析：
例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
从而;
.
例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;
EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因为EX1 =EX2, DX1
解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np（1－p）
∴ ∴
2、已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2；6，)解：p(=2)=c62()2()4
3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
1 2 3
p a 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
试分析甲、乙技术状况。解：由0.1+0.6+a+1a=0.3，0.3+0.3+b=1a=0.4，∴E=2.3 , E=2.0，D=0.81 , D=0.6
（五）、课堂小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
（六）、作业布置：课本P62页习题2-5中A组2、3 B组题目
六、教学反思：
第十三课时 离散型随机变量的方差
一、教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
（二）、例题探析
例1．设随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 … n
P …
求Dξ
解：（略）,
例2．已知离散型随机变量的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：；
；
；=0.04, .
点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：+（10-9）；同理有
由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床 B机床
次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
（三）、课堂练习：1 .已知，则的值分别是（ ）
A．； B．； C．； D． 答案：1.D
2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=所以，Eξ=
（四）、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
（五）、课后作业：练习册66页3、5、6
五、教学反思：
*§6 正态分布
第十四课时 正态分布
一、教学目标：
1、知识与技能：了解连续性随机变量的概念以及连续性随机变量的分布密度函数；掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
2、过程与方法：通过实例认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解。
3、情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。
二、教学重点：正态分布曲线的性质；教学难点：简单正态分布曲线性质的应用；
三、内容分析：
1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：
， （σ＞0）
由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为
3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的
4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化
6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。
四、教学方法：讨论交流，探析归纳
五、教学过程
（一）、复习回顾：
1、若离散型随机变量X的分布列为
X .... ..... ...
P .... .... ....
则称EX= 为随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的 ；
2、如果X是一个随机变量，那么把 叫作随机变量X的方差，记为、DX，DX的算数平方根叫作随机变量Ｘ的 ，一个随机变量的方差于标准差都反映随机变量的取值 ，其中标准差与随机变量本身有 ，ＤＸ＝ ＝
３、超几何分布的数学期望ＥＸ＝
４、二项分布的数学期望ＥＸ＝ ，ＤＸ＝ ；
５、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表
－１ ０ １
Ｐ １－２ｑ
求ｑ的值，并求Ｅ、Ｅ
（二）、学生阅读课本P63-65页，教师设问，师生共同归纳
１、随机变量的值可以取 ，这样的随机变量称为连续性随机变量；
２、函数的图像称为正态分布密度曲线，简称 ；
正态分布完全由参数与确定，常记做 ，如果随机变量Ｘ服从正态分布，
记做 ，则Ｘ的均值ＥＸ＝ ，ＤＸ＝ ；
３、若Ｘ则有
（三）问题探讨
【问题１】请阅读课本回答问题：什么是正态曲线，正态分布？
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～。
【问题２】请根据课本上正态曲线，说一说正态曲线有哪些性质？
1、正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布,通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.
2、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质。
3、正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）当x=μ时，曲线位于最高点。（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学。
4、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线。
标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
5、对于正态总体取值的概率：
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分
（三）例题探析：
例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
【答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 】
例2、某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率。
解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布。
（四）、巩固练习：练习册第72页 1、2、3
（五）、课后作业：练习册第72页4、6、8
六、教学反思：
第十五课时 《概率》本章小结与复习（一）
一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。 教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、知识梳理
1、随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、… 表示。如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
离散型随机变量X的分布列的性质：（1） （2）
一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
3、二点分布
如果随机变量X的分布列为 ，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．
4、超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（０≤≤，为n和M中较小的一个）。
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
5、条件概率：
一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把读作“A发生的条件下B的概率”．
古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。
6、条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。如果B和C是两个互斥事件，则.
7、事件的独立性：设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。
两点说明：（1）“互斥”与“相互独立”的区别与联系
相同点 不同点
都是描绘两个事件间的关系 ①“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。②“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的也可互斥。
（2）在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：A、B中至少有一个发生的事件为A+B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为；A、B中至多有一个发生的事件为+。它们之间的概率关系如下表所示
A、B互斥 A、B相互独立
P（A+B） P（A）+P（B） 1-P（）P（）
P（AB） 0 P（A）P（B）
P（） 1-[P（A）+P（B）] P（）P（）
P（） P（A）+P（B） P（A）P（）+P（）P（B）
P（+） 1 1-P（A）P（B）
8、独立重复试验：一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验．
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，，1，2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率，实际上，正好是二项式的展开式中的第项。
9、二项分布：若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率设为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是（其中k = 0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列：
由于表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，则称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为。
10、期望：设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则
叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．
（1）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。
（2）是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述X取值平均状态
（3）数学期望的性质：当随机变量为常数时，；当离散型随机变量时，；当离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则。
11、方差：设一个离散型随机变量X所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则 叫做这个离散型随机变量X的方差。
的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差。
（1）离散型随机变量的方差（包括标准差）反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），它反映了X取值的稳定性． 越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之越小，X的取值越集中，在附近统计中常用来描述X的分散程度．
（2）与一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定。
（3）方差的性质：若X服从二点分布，则；若X服从二项分布则，。
12、正态分布正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）当x=μ时，曲线位于最高点。（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
对于正态总体取值的概率：
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分。
（二）、基础训练
1、已知随机变量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m
则（ ） A． B． C． D． 答案：C
2、从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ ） 答案：C
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3、在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) 答案：C
4、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则
概率等于（ ） 答案：A
A B C D
5、若，那么等于（ ） 答案：C
A．0.0729 B．0.00856 C．0.91854 D．0.99144 ( http: / / www. )6、一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（ ） 答案：C
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
7、 一批电阻的阻值X服从正态分布N（1000,52）（）。今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，可以认为_______（填写正确的序号） 答案：（3）
（1）甲、乙两箱电阻均可出厂；（2）甲、乙两箱电阻均不可出厂；（3）甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；（4）甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂。
（三）、作业布置：课本P68页复习题二中A组3、4、8
五、教后反思：
第十六课时 《概率》本章小结与复习（二）
一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。 教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、典例探析
例1、一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
解析：随机变量X的可能取值为3，4，5，6。从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X= 4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；
从而有，
∴随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
点评：确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件．进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率．
例2、袋中有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列。
解析：X的所有可能取值为：1，2，…，n，…令表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为p = 0.1，于是得： ，
，…
X 1 2 3 … k …
P … …
因此分布列为
点评：此例进一步抽象可表述为：在每次试验时，若事件A发生的概率为p，发生的概率为，则事件A首次发生的试验次数X是一个随机变量，它的取值为1，2，…，n，…，其分布列称为几何分布。
例3、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率。
分析：解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率．
解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为：根据条件概率公式
，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.2.
点评：在解决条件概率问题时，要灵活掌握 之间的关系，即
例4、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解析：（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故，以此为基础求X的分布列．
由，所以X的分布列为k=0，1，2，3，4，5，6。
（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5。其中：表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．
而表示一路没有遇上红灯，故其概率为，
因此Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4 5 6
P
（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为
所以其概率为 。
点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即。分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1。
例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
试评定这两个保护区的管理水平．
分析：要比较两个保护区的管理水平，可先比较甲、乙两个保护区的平均管理水平，然后再看它们管理水平的稳定性．
解析：甲保护区的违规次数X l的数学期望和方差为：
， 。
乙保护区的违规次数的数学期望和方差为： ，
。
因为，，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，所以乙保护区的管理水平相对要好．
点评：数学期望体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差（或标准差），方差大说明随机变量取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
（二）、课堂练习：课本P68页复习题二中A组9
（三）、作业：课本P68页复习题二中A组10、11；B组1、2
五、教后反思：
图2-3-2
图2-3-4
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