专题 数学思想方法(转化与化归思想)公开课教案

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专题 数学思想方法
转化与化归思想
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位。
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。
转化与化归的原则
（1）熟悉化原则
（2）简单化原则
（3）直观化原则
（4）正难则反原则
一、 常量与变量的转化与化归
例1 设f（x）是定义在R上的单调增函数，若
f（1-ax-x2）≤f（2-a）对任意a∈［-1，1］恒成
立，求x的取值范围.
思维启迪 本题为抽象函数的单调性的应用问
题，应转化为大家熟悉的一元二次不等式（或一
元一次不等式来解决）.
解 因为f(x)是R上的增函数，
所以1-ax-x2≤2-a，a∈［-1，1］.
所以上式可化为：a(x-1)+x2+1≥0,
对a∈［-1，1］恒成立.
令g(a)=(x-1)a+x2+1.
则当且仅当
解之，得x≥0或x≤-1.
即实数x的取值范围是x≤-1或x≥0.
探究提高 转化与化归方法：
（1）抽象函数问题转化为二次不等式。
（2）二次不等式问题转化为一次函数。
变式训练1.
方程sin2x+cos x+k=0有解,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 求k=-sin2x-cosx的值域
k=cos2x-cosx-1
当 时，
当cos x=-1时，kmax=1，
故选D.（转化为二次函数）
D
变式训练2 设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在
［-2，2］上变化时,y恒取正值,求x的取值范围.
解 设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,
则f(t)是一次函数，当t∈［-2，2］时，f(t)>0恒
成立.
则由
解得log2x＜-1或log2x＞3,
∴x的取值范围是
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-
1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交，求
实数a的取值范围.
思维启迪 三条抛物线中至少有一条与x轴相交
的情况比较多，反面为：三条抛物线与x轴都不相
交，只有一种情况.
解 令y=0，由
解得
∴满足题意的a的取值范围是
探究提高 转化与化归的方法
（1）曲线与X轴有交点转化为二次方程有解。
(2）二次方程有解
变式训练3 一个自动报警器由雷达和计算机两部
分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就
失灵.若使用100小时后，雷达失灵的概率为0.1,
计算机失灵的概率为0.3，且两部分失灵与否是
相互独立的，求这个报警器使用100小时后失灵的
概率.
解 先考虑报警器不失灵的概率，即求雷达和计
算机均不失灵的概率.记“使用100小时后雷达失
灵”为A，记“使用100小时后计算机失灵”为B，
由于A与B相互独立，则报警器使用100小时后失灵
的概率为
小结
（1）理解转化与化归思想在解题中的应用，
熟悉转化与化归的原则。
（2）能把相关的问题转化为相应的一次函数、
二次函数、三角函数等熟悉的内容
课后练习；2——6