1.3公式法学案

1.3 公式法·平方差公式（1）
主备教师： 学生： 班
学习目标
掌握用平方差公式分解因式的方法。
学习重点
用平方差公式分解因式。
学习难点
当公式中的字母取多项式时的因式分解。
学习过程
一、学生自学
1. 整式乘法与因式分解的关系是什么？我们以前学的平方差公式是（a+b）（a－b）=（ ），则a2－b2=（ ）（ ）。
2、把乘法公式（ ）使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫做（ ）。
3、自学P12例1例2。
提示：例1 中4x2可写成（2x）2，例2中可以写成因而可直接运用平方差公式分解因式。
4、讨论：从例1例2中可以看出能用平方差公式分解因式的多项式的特点是什么？步骤有哪些？
5、自学例3。提示：如果把x+y，x－y+1分别看成一个整体，当做公式中的a和b，则很容易分解。注意最后把每个因式要进行整理。
二、合作交流
三、拓展延伸
1、填空： ，，，
2、下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
3、下列多项式中: ①; ②; ③; ④; ⑤,能用平方差公式进行因式分解的有( )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
四、课堂小结
能用平方差公式分解因式的多项式的特点是①二项式，②两项的符号相反，③每一项的绝对值都可以写成平方的形式，④分解的结果为两个数的和与差的乘积。a、b可以表示数、多项式、多项式。
分解的步骤是①写成平方差的形式，②找出a、b，并代入（a+b）（a－b）中，③整理。
五、达标测试
必做题：
1、分解因式:
2、利用因式分解计算:
选做题：
1.若,分解因式
3. 若是整数,则能否被8整除 为什么
学习反思
1.3 公式法·平方差公式（2）
主备教师： 学生： 班
学习目标
1、牢固掌握用平方差公式分解因式的方法。
2、掌握当多项式中如果有公因式要先提公因式，再用公式法的原则。
3、了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
学习重点
掌握当多项式中如果有公因式要先提公因式，再用公式法的原则。
学习难点
了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
学习过程
一、学生自学
1、想想能用平方差公式分解因式的多项式的特点是什么？步骤有哪些？
2、自学P13例4。
提示：当字母的指数较大时，
只要是一个数的平方，也可以考虑用平方差公式来分解。因为在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能分解为止，所以第一次用平方差公式因式分解后，还要对其中的一个因式再用平方差公式进行分解。
3、自学P13例5。
提示：我们在分解因式时，要先观察，如果有公因式，宜于先提公因式，然后考虑用公式法分解。
4、P14“探究”：实数范围内与有理数范围内分解因式有何区别？
注意：在没有特别要求时，都是在系数为有理数的多项式组成的集合中进行因式分解。
二、合作交流
三、拓展延伸
1、下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？
（1）， （2）， 3）
2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、因式分解
mn－ m a2(x－y)－4b2(x－y)
4、在实数范围内分解
四、课堂小结
五、达标测试
必做题：
1、分解因式:
x4－16 3x6－3x2
2、已知互为相反数且,试求的值.
3、已知求代数式的值.
选做题：
1、在实数范围内分解因式
2、可以被60和70之间某两个数整除,试求这两个数。
3、观察下列各式
（x-1）(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 （x-1）(x3+x2+x+1)=x4-1……
（1）分解因式：
（2）根据规律可得(x-1)(xn-1+……+x +1)= （其中n为正整数）
（3）计算：
学习反思
1.3 公式法·完全平方公式（1）
主备教师： 学生： 班
学习目标
1、掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；
2、培养逆向思维能力。
学习重点
会用完全平方公式分解因式。
学习难点
识别一个多项式是否适合完全平方公式。
学习过程
一、学生自学
1、想想能用平方差公式分解因式的多项式的特点是什么？步骤有哪些？2、完全平方公式是什么？有何特点？（a±b）2 =（ ）
3、自学P15“说一说”。我们可
以利用完全平方公式来分解某些多项式。
4、自学P16例6例7。合作讨论：能用完全平方公式分解因式的多项式的特点是什么？步骤有哪些？
5、自学P16例8。提示：这道题的的两个平方项系数都是为负，我们该怎么来处理？
二、合作交流
1、下面多项式是否适合完全平方式分解因式？
（1） （2）+2m-1
(3) (4)
2、填空：
①, ②
③ ④
三、拓展延伸
1、若是完全平方式,则__; 若是完全平方式,则_.
2、把下面多项式分解因式
（1） （2）
四、课堂小结
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点是①三项式，②有两项可以写成数a、数b的平方的形式，且这两项的符号相同，③第三项是a、b这两个数乘积的两倍，符号可正可负，④分解的结果为两个数的和（或差）的平方。a、b可以表示数、多项式、多项式。
分解的步骤是①写成a2±2ab+b2的形式，②找出a、b，并代入（a±b）2中，③化简、整理。
五、达标测试
必做题：
1、若,则（ ）; 若是完全平方式,则（）。
2、已知,则a=（ ），b=（ ）。
3、因式分解
a-5a + -25a+20ab-4b
4、求多项式9x2+12xy+4y2的值, 其中 x=，y=。
选做题：
1、再加上一个单项式,使其成为一个完全平方式,请你写出符合条件的所有单项式。
2若a2＋ma＋25是完全平方式，求m的值。
3、已知,求的值.
学习反思
1.3 公式法·完全平方公式（2）
主备教师： 学生： 班
学习目标
1、牢固掌握用完全平方公式分解因式的方法。
2、学习多步骤，多方法分解因式。
学习重点
掌握多步骤、多方法因式分解的方法。学习难点
学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。
学习过程
一、学生自学
1、想想能用完全平方公式分解因式的多项式的特点是什么？步骤有哪些？a、b可以是式子吗？
2、自学P16例9、例10。
提示：a、b可以是式子或幂的形式，因而也可以用完全平方公式来分解。注意在因式分解中，必须分解到每一个因式都不能分解为止。
二、合作交流
先观察再进行因式分解
－9ab+18a2b2－27a3b3;
三、拓展延伸
1、若是完全平方式,则的值为__。
2、多项式与的公因式是( )
3、把下面的多项式分解因式。
16x4－72x2y2+81y4
x-6 x+ 9（实数范围内）
四、课堂小结
五、达标测试
必做题：
1、下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A. B.C.D.
2、因式分解
2x2y－8xy＋8y
选做题：
1、因式分解
m2－mn＋n2
3、若，求的值。
学习反思
思考
因式分解
ax－bx－ay＋by y2－x2＋10x－25
其他几个公式
1.3 公式法·分组分解法
主备教师： 学生： 班
学习目标
1、初步了解用分组分解法来分解因式的方法。
2、进一步培养自己的观察、推理、联想及逆向思维的能力。
学习重点
对一个多项式正确分组。
学习难点
对一个多项式正确分组。
学习过程
一、学生自学
1、因式分解的一般步骤是什么？平方差公式、完全平方公式分别是什么？能用这两公式来分解因式的多项式的特点是什么？
2、下列各式的变形中,哪些是因
式分解 哪些不是 说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）
3、因式分解
（1）（ax－bx）－（ay－by） （2）y2－（x2－10x+25）
二、尝试练习
请同学们仔细观察下面两题与刚才所做的两题的异同，尝试因式分解。
（1）ax－bx－ay＋by （2）y2－x2＋10x－25
同学们，说说你有什么发现？这类多项式有什么特点？我们是怎样处理的？
提示：当一个多项式没有公因式可提,也不能够直接用公式法进行因式分解时,可尝试分组分解法。 分组后的两种情况:一是分组后可提公因式如题（1）,二是分组后可运用公式如（2）。注意的是分组后用提公因式或运用公式进行第一次分解后，还要保证能进行后续的分解。
思考：第1题除了这种分法外，还有其他分法吗？在下面完成。
三、拓展延伸
分解因式
x4+4 （提示x4+4= x4+4x2+4-4x2）
四、课堂小结
分组分解法一般适用于多项式有四项或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式。有时还可以用拆、添项分组分解法
五、达标测试
必做题：
把下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4)
选做题：
因式分解
1、 2、
3、1+x+x（1+x）+x（1+x）
4、已知三角形的三边长满足,试判断这个三角形的形状.
学习反思
1.3 公式法·十字相乘法
主备教师： 学生： 班
学习目标
1、初步了解用十字相乘法来分解二次三项式X2+px+q的方法。
2、进一步培养自己的观察、推理、联想及逆向思维的能力。
学习重点
用十字相乘法来分解因式的方法。
学习难点
掌握拆分常数项的规律。
学习过程
一、学生自学
1、计算：
(x+5)(x+9）= (x-12)(x+5）=
(x+a)(x+b）=
2、分解因式：
X2+14x+45= X2-7x-60=
X2+(a+b)x+ab=
3、根据上面第2题，你能在下列横线上填写适当的数吗？
X2+14x+45=X2+( + )x+ ×
X2-7x-60=X2+( + )x+ ×
4、根据上面第3题右端的多项式能写成两个一次多项式的乘积吗？
X2+14x+45=X2+( + )x+ × =（x+ ）（x+ ）：
X2-5x+6=X2+( + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）：
X2-7x-60=X2+( + )x+ × =（x+ ）（x+ ）；
X2+x-2=X2+( + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）。
5、那么，对于X2+（a+b）x+ab又怎样分解呢？
一般地，由多项式乘法（x+a）（x+b）=X2+（a+b）x+ab，反过来，就得到X2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），这就是说，对于二次三项式X2+px+q，如果能够把常数项q分解成q=a×b，且a+b=p，那么
X2+px+q= X2+（ + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）
想一想：1）当q为正时， a、b 号，它们的符号与p的符号 。
2）当q为负时，a、b 号，其中 的符号与P的符号相同。
二、合作交流
把下列二次三项式分解因式:
(1) (2)
小结: 当常数项为正数时,分解成两个同号因数,与一次项系数的符号相同.
(3) (4) 小结: 当常数项为负数时,分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同。
三、拓展延伸
分解因式
1、t2+11t+24= ； t2-14t+24= ；
t2+14t+24= ； t2+23t-24= ；
t2-2t-24= ； t2-10t-24= ；
四、课堂小结
二次三项式X2+px+q用十字相乘法进行因式分解的方法是什么？
五、达标测试
必做题：
1、分解因式
（1） （2）
（3） （4）
(5) (6)
选做题：
1、分解因式
(1)、 (2)、
(3)、
2、求证: 是完全平方式.
学习反思