10.3几个三角恒等式-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版 教师版）

编号：015
课题:§10.3
几个三角恒等式
目标要求
1、理解并掌握半角公式以及积化和差、和差化积公式．
2、理解并掌握求值问题．
3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．
4、理解并掌握积化和差、和差化积公式的应用问题.
学科素养目标
三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．
重点难点
重点：三角函数式的化简、证明问题；
难点：积化和差、和差化积公式的应用问题．
教学过程
基础知识点
1.半角公式
(1)公式:
(2)本质:
①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道的值及相应
的条件,便可求出.
(3)应用:①求值;②化简;③证明.
【思考】
(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
(2)半角公式对都成立吗?为什么?
2.积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
.
(2)和差化积公式
.
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
A..
B.
对于任意,都不成立.
C.
若是第一象限角,则.
D.
.
题2.若,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
题3.的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
题4.设,则等于________.
关键能力·合作学习
类型一
求值问题(数学运算)
【题组训练】
题5.设,那么等于
(
)
A.
B.
C.
D.
题6.已知,则
(
)
A.3
B.-3
C.
D.
题7.已知,且为第一象限角,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
【补偿训练】
题8.已知,求及的值.
类型二
三角函数式的化简(数学运算)
【典例】题9.化简:
.
【解题策略】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
题10.化简:
.
题11.已知,试化简:.
【补偿训练】
题12.若,则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
类型三
恒等式的证明(逻辑推理)
角度1
绝对恒等式的证明
【典例】题13.求证:.
【变式探究】
题14.求证:.
角度2
条件恒等式的证明
【典例】题15.已知,且.
求证:.
【解题策略】
(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.
(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【题组训练】
题16.求证:.
题17.已知,求证:.
类型四
积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)
【典例】题18.已知,求的值.
【解题策略】
1.积化和差公式的功能与关键
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
【跟踪训练】
题19.求的值.
课堂检测·素养达标
题20.已知,则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
题21.已知,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
题22.的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
题23.函数的最小正周期为________.
题24.求证:.
编号：015
课题:§10.3
几个三角恒等式
目标要求
1、理解并掌握半角公式以及积化和差、和差化积公式．
2、理解并掌握求值问题．
3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题．
4、理解并掌握积化和差、和差化积公式的应用问题.
学科素养目标
三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．
重点难点
重点：三角函数式的化简、证明问题；
难点：积化和差、和差化积公式的应用问题．
教学过程
基础知识点
1.半角公式
(1)公式:
(2)本质:
①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道的值及相应
的条件,便可求出.
(3)应用:①求值;②化简;③证明.
【思考】
(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.
(2)半角公式对都成立吗?为什么?
提示:公式对都成立,但公式要求.
2.积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
.
(2)和差化积公式
.
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令,则,从而可以由积化和差公
式得到和差化积公式.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
A..
B.
对于任意,都不成立.
C.
若是第一象限角,则.
D.
.
【答案】选CD
提示:A×.只有当,
即时，.
B×.当时,上式成立,但一般情况下不成立.
C√.若是第一象限角,则是第一、三象限角,此时成立.
D√.积化和差公式.
题2.若,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意知,所以.
题3.的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
.
题4.设,则等于________.
【解析】.
因为,所以,所以,故原式.
答案:
关键能力·合作学习
类型一
求值问题(数学运算)
【题组训练】
题5.设,那么等于
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.若,
则，则.
题6.已知,则
(
)
A.3
B.-3
C.
D.
【解析】选D.因为,且,
所以.
题7.已知,且为第一象限角,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为,所以.又,
所以或
因为α为第一象限角,所以
为第一、三象限角,且
所以.
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
【补偿训练】
题8.已知,求及的值.
【解析】，所以，所以，
所以，解得或.
因为,所以,所以,所以.
综上可知.
类型二
三角函数式的化简(数学运算)
【典例】题9.化简:
.
【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.
【解析】原式
又因为180°<
<360°,所以90°<<180°,
所以,所以原式.
【解题策略】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
题10.化简:
.
【解析】原式，
因为,所以.所以，
所以原式
.
题11.已知,试化简:.
【解析】因为,所以，
所以，
从而.
所以原式
.
【补偿训练】
题12.若,则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为,所以，
.
类型三
恒等式的证明(逻辑推理)
角度1
绝对恒等式的证明
【典例】题13.求证:.
【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.
【证明】因为左边
右边.所以原始成立.
【变式探究】
题14.求证:.
【证明】因为左边右边,
所以原式成立.
角度2
条件恒等式的证明
【典例】题15.已知,且.
求证:.
【思路导引】结合已知条件,求的某个三角函数值,进而求出角的大小.
【证明】因为,即，
所以，
所以，所以.
又因为，所以，所以.因为，所以.
【解题策略】
(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.
(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【题组训练】
题16.求证:.
【证明】左边
右边.所以原等式成立.
题17.已知,求证:.
【证明】由得
，
即，
即(1-m)sin(α+β)cos
α=(1+m)cos(α+β)sin
α.两边同除以(1-m)cos(α+β)cos
α,
得,即原等式成立.
类型四
积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)
【典例】题18.已知,求的值.
【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为,所以
①
又因为,所以
②
因为,所以由①②,得,即.
所以.
【解题策略】
1.积化和差公式的功能与关键
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
【跟踪训练】
题19.求的值.
【解析】原式
.
课堂检测·素养达标
题20.已知,则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题知,所以.
题21.已知,则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为,
所以.
题22.的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.原式
题23.函数的最小正周期为________.
【解析】因为，
所以函数的最小正周期.
答案:
题24.求证:.
【证明】原式可变形为,①,
1
式右边
左边.
所以①式成立,即原式得证.