_ 2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明课后提升作业题（word版含答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明课后提升作业题（附答案）
1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
A．AB中点
B．BC中点
C．AC中点
D．∠C的平分线与AB的交点
2．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（　　）
A．10cm
B．12cm
C．22cm
D．32cm
3．能把三角形分割成面积相等两部分的一定是（　　）
A．三角形的中线
B．三角形的角平分线
C．三角形的高线
D．三角形一边上的垂直平分线
4．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
5．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（　　）
A．＞
B．＜
C．≥
D．≤
6．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．变小
B．不变
C．变大
D．无法判断
7．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝，则BD的长是（　　）
A．2
B．2
C．3
D．3
9．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25°
B．25°或40°
C．25°或
35°
D．40°
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．点P是直角边所在直线上一点，若△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P的个数最多为（　　）
A．3个
B．6个
C．7个
D．8个
12．下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
13．如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　）
A．
B．
C．
D．
14．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3
B．2
C．1
D．
15．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．12
B．10
C．8
D．6
16．如图是由一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边AC的中点，则∠DBE等于（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．22.5°
17．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（　　）
①OE平分∠AOD；
②∠AOC＝∠BOD；
③∠AOC﹣∠CEA＝15°；
④∠COB+∠AOD＝180°．
A．0
B．1
C．2
D．3
18．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，
∠CBD＝40°，则∠A的度数为　
　°．
19．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有　
　个．
20．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　
　分钟后△CAP与△PQB全等．
21．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　
　°．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　
　cm．
23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
24．如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．
（1）求证：AC∥BD；
（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．
25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　
　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　
　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
28．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）求证：AD∥BC．
29．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
参考答案
1．解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，
当点P在AB的中点时，CP＝AB＝PA＝PB，
故选：A．
2．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长等于22cm，
∴BC+CE+BE＝22（cm），
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），
∵BC＝10cm，
∴AC＝12（cm），
故选：B．
3．解：能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线，
故选：A．
4．解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
5．解：连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴AP+PC＝BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC＝CB，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC＝BP+PC＞BC，
∴BC≤AP+PC，
故选：D．
6．解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OP＝AB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
7．解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
8．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD＝CAB＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD，
∵CD＝，
∴BD＝AD＝2CD＝2，
故选：B．
9．解：∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD＝4．
故选：B．
10．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
11．解：①
以B为圆心，以BA为半径作圆，此圆与直线BC交于两点，与直线AC交于一点（A除外），此时BP＝AB；
②
以A为圆心，以AB为半径作圆，此圆与直线AC交于两点，与直线AB交于一点（B除外），此时AP＝AB；
③
作线段AB的垂直平分线，交直线AC于一点，交直线BC于一点，此时AP＝BP；
（1+2）+（1+2）+1+1＝8，
故选：D．
12．解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；
C.
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OM＝ON＝OQ，
即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；
D.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；
故选：B．
13．解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°，
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×70°．
故选：C．
14．解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
15．解：∵|m﹣2|+＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：B．
16．解：在直角△ACD中，∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，则∠ACD＝60°．
又∵E为斜边AC的中点，
∴DE＝EC＝AC．
∴∠DEC＝∠ECD＝60°．
∵∠BED＝90°，
∴∠BED＝150°．
在直角△ABC中，E为斜边AC的中点，则BE＝AC．
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝EDB＝×（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
17．解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②正确；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
故选：D．
18．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，
∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，
故答案为：30．
19．解：如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．
故答案为8．
20．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
21．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．
22．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC?BF，
∴AC?BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
23．解：（1）△APB是直角三角形，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ＝∠C，
∴∠APB＝60°，
∴∠BAP＝90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）当AQ＝QP时，
∴∠QAP＝∠APQ＝30°，
∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，
当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，
∴∠BQP＝105°，
当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，
∵P不与B、C重合，
∴不存在，
综上所述：∠BQP＝105°或60°．
24．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BDA，
∴AC∥BD；
（2）解：作FG⊥AB于G，
在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，
∴BE＝＝＝，
∴FE＝BE﹣BF＝﹣＝，
∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，作FG⊥AB，
∴FG＝FE＝，即△ABF中AB边上的高为．
25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
27．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）AB＝2AC，
理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC；
（3）方法一、过E作EM⊥AB于M，
∵AC＝2.5，∠ACB＝90°，∠B＝∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
设CE＝2，则AE＝2x，
由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，
即2.52+x2＝（2x）2，
解得：x＝，
即CE＝，
∵AE平分∠CAB，∠ACB＝90°，EM⊥AB，
∴EM＝CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝5×＝；
方法二、由勾股定理得：BC＝2.5，
∵CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝××2.5＝．
28．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC．
29．证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD＝∠CBF＝90°，
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．
∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．