18.1.1第3课时 平行四边形的对角线的特征-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）

18．1．1
平行四边形的性质
第3课时
平行四边形的对角线的特征
学习目标：
能综合运用平行四边形的性质解决有关的计算题和简单的证明题.
学习重点：平行四边形性质的应用．
一、课前检测
如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E．若△CDE的周长为10cm，则□ABCD的周长是多少？
二、温故知新
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是按照下图的这个样子来分配的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人分法合理吗?为什么?
三、预习导航
如图，在□ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，试求出BC，CD，AC，OC的长，并求出□ABCD的面积.
四、自学自测
如图，□ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求□ABCD的面积．
五、我的疑惑（反思）
1、要点探究
平行四边形的面积
平行四边形的对角线分□ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
要点归纳：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一．相对的两个三角形全等．
二、精讲点拨
例1
如图，已知点A（-4,2），B（-1，-2），□ABCD的对角线交于坐标原点O.
（1）请直接写出点C，D的坐标.
（2）试求△AOB的面积.
例2
（1）如图①，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将□ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI=FG．
方法总结：
三、变式训练
1．把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
2．如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
四、课堂小结
★1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且
AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（
）
A．10
B．14
C．
20
D．22
★2．如图，在□ABCD中，下列结论中错误的是
（　　）
A．∠ABO=∠CDO
B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO
D．AC⊥BD
★3.在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，
则m的取值范围是
(
)
A．24B．14C．7D．7★4．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（　　）
A．16
B．14
C．12
D．10
★★5．如图，□ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______．
★★6．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是_______．
★★★7．如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE=CD.
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=6，求□ABCD的面积.
★★★8.在□ABCD中，∠A=30°，AD=4，BD=4,试求□ABCD的面积.
我的反思（收获，不足）
参考答案：
课前检测
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为8cm，
即CD+DE+EC＝8cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×8＝16cm．
自学自测：
试题分析：本题考查平行四边形性质及面积的计算．欲求平行四边形的面积需先求出AB长，设AB长是x，则BC长就是（24-x），列出面积相等的式子：5x=10（24-x），解得x=16，代入平行四边形的面积公式可求.
详解：在□ABCD中，AB=CD，AD=BC.
∵□ABCD的周长为48，∴AB+BC=24
设AB=x，则BC=24-x.
∵□ABCD的面积=AB×DE=BC×DF=10，
∴5x=10（24-x），解得x=16.
∴□ABCD的面积=16×5=80．
精讲点拨
例1
试题分析：本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，掌握性质与公式是解题的关键．
（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质得出C，D两点坐标；
（2）根据△AOB的面积=△AOD的面积，利用面积公式即可求解．
详解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵O为坐标原点，且A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；
（2）∵A（﹣4，2），D（1，2），∴AD∥x轴，且AD=5.
∴△AOD的面积=×5×2=5，
∵O为BD中点，∴△AOB的面积=△AOD的面积=5．
例2
试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．
（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
在△A1IE与△CGF中，
，
∴△A1IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．
变式训练
1．试题分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可知，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，图中空白部分的三角形和平行四边形等底等高，所以空白部分三角形的面积是平行四边形面积的一半，故阴影部分两个三角形的面积和是平行四边形面积的一半，据此可求得平行四边形的面积.
详解：平行四边形的面积=（9+12）×2=21×2=42（cm2）.
2.试题分析：根据平行四边形的性质：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分，经过对角线交点E和点O做一条直线即可．
详解：连接平行四边形的对角线交于点E，作直线OE，直线OE即为所求.如图所示：
星级达标：
1、试题分析：直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．故选B．
2、试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等；两直线平行，内错角相等；即可求得答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴
∠ABO＝∠CDO．所以A、B、C正确.
故选：D．
3、试题分析：根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OB-OA＜m＜OA+OB，代入求出即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=24，BD=38，
∴OA=OC=12，OD=OB=19，
在△OAB中，OB-OA＜m＜OB+OA，
∴19-12＜m＜19+12，
∴7＜m＜31．
故选：C．
4、试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，所以△OAE≌△OCF，所以OF=OE=1.5，CF=AE，所以四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF，进而计算求出周长即可．
详解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF，
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE
=ED+AE+CD+OE+OF
=AD+CD+OE+OF
=4+5+1.5+1.5=12．
故选：C．
5、试题分析：过O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于H，由平行四边形的性质可证得OG=OH,所以S=S
,可得S=
S==5.
详解：过O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于H
.
易证△AOEB≌△COD,所以OG=OH.
又因为AE=DF，所以S=S.
S=
S==5.
6、试题分析：根据勾股定理求得AC的长度，再由平行四边形的性质即可求得BO的长度进而即可求解.
详解：∵的对角线AC与BD相交于点O
∴
∵
∴
∴
∴
∴.
7、试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
（2）先证△ABE是等边三角形，可求S△ABF的面积，即可求解.
详解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝=＝，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×＝，
∴□ABCD的面积＝2×S△ABF＝．
8、试题分析：本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30°角的直角三角形的性质．首先过D作DE⊥AB于E，利用勾股定理求得AE和BE的长，进而求得AB的长，再根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
详解：分两种情况：
如图1，过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝，
∴DE＝AD＝2，AE＝，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴BE＝，
∴AB＝AE+BE=8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝8×2＝16，
如图2，可得AB＝AE-BE=4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝4×2＝8.
故□ABCD的面积为16或8．
自主研习
探究点拨
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
平行四边形
对角线的性质
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分．且与对角线围成的三角形相对的两个全等．
星级达标
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图