18.1.2平行四边形的判定（边角）-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）

18．1．2
平行四边形的判定（1）
学习目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．会根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．
学习重点：根据边角条件判定平行四边形.
一、课前检测
二、温故知新
1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2.
除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？请分别用符号语言表示
3．平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
三、预习导航（预习教材第45页，标出你认为重要的关键词）
猜一猜
将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?
证一证
已知：
四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC．
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
证明：
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD
，
AC=CA，
∴△ABC_____△CDA(________)．
BC=DA，
∴
∠1____∠4
,
∠
2_____∠3，
∴AB_____CD
,
AD_____BC，
∴四边形ABCD是________________．
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形．
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是_________________．
反思：连接AC有什么作用？体现了什么数学思想？
四、自学自测
在如图所示的四边形PONM中，其中∠MON＝90°．
求证：四边形PONM是平行四边形．
五、我的疑惑（反思）
1、要点探究
探究点1：从边的条件判定平行四边形
由预习导航可知：两组对边_____________的四边形是平行四边形.
它是平行四边形的第一个判定定理，在证明或计算中有着广泛的应用.
学以致用
如图
□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
探究点2：从角的条件判定平行四边形
猜一猜
对于两组对角分别相等的四边形的形状，你的猜想是什么?
证一证
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴___∠A+___∠B=_______°，
即∠A+∠B=______°，
∴
AD_____BC．同理得
AB_____CD，
∴四边形ABCD是________________．
要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形．
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,
∴四边形ABCD是_______________．
即学即练
判断下列四边形是否为平行四边形：
二、精讲点拨
例题
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°．
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
三、变式训练
1．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为
（
）
A．1:2:3:4
B．1:4:2:3
C．1:2:2:1
D．3:2:3:2
2．如图,
AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形．
四、课堂小结
内
容
几何语言
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
★1．判断对错:
（1）有一组对边平行的四边形是平行四边形
(
)
（2）有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形是平行四边形(
)
（3）有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形
(
)
★2.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是
__________．
(2)如果∠A：∠B：∠
C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那
么四边形ABCD是__________．
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形．
★3.在□ABCD中，∠BAD，∠BCD的平分线分别交BC，AD于点F，E.
求证：四边形AFCE是平行四边形.
★★4．如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．
求证：四边形ABPE是平行四边形．
★★★5．如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF．试说明四边形DAEF是平行四边形．
我的反思（收获，不足）
分层作业
必做(教材
智慧学习
配套)
选做
参考答案：
自学自测
试题分析：本题考查平行四边形的判定方法，在Rt△MON中，利用勾股定理构造方程求出x的值，进而求出各边长，可以得到PM=ON，MN=OP.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证得结论.
【详解】
证明：在Rt△MON中，由勾股定理，得：
，即.
解得x=8.
∴ON=x-5=3，MN=x-3=5，PM=11-x=3.
∴PM=ON，MN=OP.
∴四边形PONM是平行四边形．
学以致用
试题分析：要证明四边形BFDE是平行四边形，可以证四边形BFDE有两组对边分别相等，即证明BF=DE，EB=DF即可得到.
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠BAF=∠DCE，
又∵对角线AC与BD相交于O，E．F是AC上的两点，并且AE＝CF，
所以在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF=DE，
同理可证：△ADF≌△CBE（SAS），∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
即学即练
试题分析：根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.
详解：左图中∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-110°-70°-110°=70°.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.故左图是平行四边形.
右图中∠B=120°，∠C=60°，∠B+∠C=180°
∴AB∥CD.
但不能判定是否为平行四边形.
精讲点拨
例题
试题分析：(1)根据三角形内角和为180°，可得结果；（2）根据平行线性质求出∠ACB
=85°，由∠ACB=∠1=85°得AD∥BC．两组对边平行的四边形是平行四边形.
【详解】（1）在△ACD中，∵∠D+∠2+∠1=180°，
∴∠D=180°-∠2-∠1=180°-40°-85°=55°．
（2）证明：∵AB∥DC，
∴∠2+∠ACB+∠B=180°．
∴∠ACB=180°-∠B-∠2
=180°-55°-40°=85°．
∵∠ACB=∠1=85°，
∴AD∥BC．
又∵AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形．
变式训练
1、试题分析：从角的方面判定平行四边形的方法：对角相等的四边形是平行四边形.
【详解】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合.
2、试题分析：从条件AD⊥AC,BC⊥AC,可知∠CAD=∠ACB=90°，再结合AB=CD,AC为公共边，可得△ACD≌△CAB，于是AD=CB.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证.
【详解】
证明：∵AD⊥AC,BC⊥AC,∴∠CAD=∠ACB=90°.
在Rt△ACD和Rt△CAB中
∴Rt△ACD≌Rt△CAB.
∴AD=CB.又∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
星级达标
1．试题分析：根据平行四边形的判定方法进行判断即可.
详解：
因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，命题（1）错误；
命题（2）中没有说明相等的两边是对边，故不正确；
命题（3）从一组对边平行，可得两组同旁内角互补，再结合有一组对角相等，得另一组对角也相等，故该四边形是平行四边形.故命题（3）正确.
故答案为：（1）×（2）×（3）√
2、试题分析：根据平行四边形的判定方法进行判断填空即可.
详解：（1）根据平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形；
（2）从∠A：∠B：∠
C：∠D=a：b：a：b可知∠A=∠C，∠B=∠D,根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；
（3）因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故BC=AD=6cm，CD=AB=4cm时，四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）6,4.
3、试题分析：根据角平分线的定义以及平行线的性质，证明∠1=∠2，再由平行线的性质，得到∠3=∠4，即可得到结论.
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD．
∵AF、CE分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠BCD，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1+∠3=1800　∠2+∠4=180°，
∴∠3＝∠4．又∵∠1＝∠2，
∴AFCE是平行四边形．
4、试题分析：用同旁内角互补，两直线平行，分别证明AE∥BP，AB∥EP，即可得到四边形ABPE是平行四边形.
【详解】
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠BCD=∠ABC=（5-2）×180°÷5=108°，CB=CD，
∴∠CBD=（180°-108°）÷2=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°，
∴∠A+∠ABD=108°+72°=180°，
∴AE∥BP，
同理AB∥EP，
∴四边形ABPE是平行四边形.
5、试题分析：根据已知条件易证△ABC≌△DBF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF；同理可证得AB＝EF.即可得EF＝AD，DF＝AE，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得结论.
【详解】
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，BD＝BA，BF＝BC，
∴∠DBF＝∠ABC.
∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.
又∵AC＝AE，∴DF＝AE.
同理可证得△ABC≌△EFC，∴AB＝EF.
又∵AB＝AD，∴EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
自主研习
探究点拨
星级达标