2020-2021学年八年级数学人教版下册第18章《平行四边形》经典常考题专题训练（一）（Word版 含解析）

八年级数学人教版下册第18章《平行四边形》
经典常考题专题训练（一）
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF、DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为　
　．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，连接AE，若BE＝3，AF＝5，求AB的长．
3．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．
4．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．
5．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，分别过点E，F作EG⊥BD，FH⊥BD，垂足分别为G，H，连接EH，FG．请判断四边形HFGE的形状并说明理由．
6．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
7．已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于BC的长的的线段．
8．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD＝EF．
9．如图，在?ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
10．已知：在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．
（1）如图1，求证：四边形BFDE是菱形；
（2）如图2，当∠ABC＝90°，且AE＝OF时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段长度都等于OE长度的倍．
11．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
（1）求证：AE＝DF；
（2）求证：AM⊥DF．
13．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．
（1）求（AF+1）（CE+1）的值；
（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝，求DE的长．
参考答案
1．解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BD＝2AB，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB＝OB＝OD＝CD，
∵AB＝10，CF＝6，
∴AB＝OB＝OD＝CD＝10，AE＝6，
∵AB＝OB，点E、F分别为OA、OC的中点，
∴BE⊥AO，DF⊥CO，AE＝CF＝EO＝OF＝6，
∴DF＝BE＝8，EF＝12，
在Rt△DEF中，
DE＝＝＝4．
2．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≡△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝5，
Rt△ABE中，∵BE＝3，
∴AB＝＝4．
3．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，
∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG．
4．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
∴BE＝DG．
∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，
即AB＝CE+DG．
5．解：四边形HFCE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵EG⊥BD，FH⊥BD，
∴∠DGE＝∠EGH＝∠BHF＝∠FHG＝90°，
∴EG∥FH，
∵DE＝BF，
∴△DGE≌△BHF（AAS），
∴GE＝HF，
∴四边形HFCE是平行四边形．
6．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，
∴MO∥AN，NO∥AM，
∴四边形AMON是平行四边形；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴OM＝AM＝MB＝，
∴NO＝AN＝，
四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．
7．（1）如答图1，证明：连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EB＝EF，
∴EF＝CD，
∵EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
由（1）知CD＝BE＝EF，
∴BD＝EF，
∵E作BC的平行线交AB于点F，即BD||EF，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴BD＝CD＝BE＝EF＝DF＝BC，
故答案为：BD，CD，BE，EF，DF．
8．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵EF＝BF+BE，
∵BC＝CE+BE，BF＝CE，
∴EF＝BC，
∴AD＝EF．
9．解：（1）∵PM∥DC，且PM＝DC，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴PD＝MC，
∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，
∴AB∥PM，且AB＝PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴△ADP≌△BCM（SSS）；
（2）由（1）可得S△ADP＝S△BCM，
∴S四边形BMCP＝S△BCM+S△BCP＝S△ADP+S△BCP＝S平行四边形ABCD，
又∵PA＝PC，
∴S△ABP＝S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴的值为＝．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
在△EOD和△FOB中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
（2）解：AB、CD、OB、OD四条线段都等于OE长度的倍，理由如下：
由（1）得：OE＝OF，∠OBE＝∠OBF，
∵AE＝OF，
∴AE＝OE，
∵?ABCD中，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
在Rt△BAE和Rt△BOE中，，
∴Rt△BAE≌Rt△BOE（HL），
∴AB＝OB＝OD，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴AB＝AE＝OE，
∴AB＝CD＝OB＝OD＝OE．
11．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝CO＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
又∵DE＝CF，
∴OD﹣DE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
在△AOE和△DOF中，，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE＝DF；
（2）由（1）得：△AOE≌△DOF，
∴∠OEA＝∠OFD，
∵∠OAE+∠AEO＝90°，
∴∠OAE+∠OFD＝90°，
∴∠AMF＝90°，
∴AM⊥DF．
13．解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
∵AF+CE＝EF，
∴EF＝x+y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
∴xy+x+y＝1，
∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；
（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：
如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．
由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，
∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴点M、C、E在同一条直线上．
∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，
∴EF＝EM．
在△BEF和△BEM中，，
∴△BEF≌△BEM（SSS），
∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，
又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°．
14．证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB＝∠DEF
15．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴BE＝DE，
同理可得：BF＝DF，
∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF＝DE，EF垂直平分BD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，
∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，
∴DH＝DF，FH＝DH，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴DH＝CH＝，
∴FC＝FH+CH＝，
∴DF＝2，
∴DE＝2．