2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）专题02平行四边形B卷（word版含解析）

2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）
专题02平行四边形B卷（解析版）
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1.
如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2020次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2020的坐标为（
）
A.
（1345，0）
B.
（1345.5，）
C.
（1346，0）
D.
（1346.5，）
【答案】C
【解析】连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=OA=1，
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2020=336×6+4，
∴点B4向右平移1344(即336×4)到点B2020．
∵B4的坐标为(2，0)，
∴B2020的坐标为(2+1344，0)，
∴B2020的坐标为(1346，0)．
故选：C．
2.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(
)
A.
5cm
B.
6cm
C.
cm
D.
cm
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∵S△ABC=AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=（cm）.
故选D．
3.
如图，在等边△ABC内有一点D，AD=4，BD=3，CD=5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（
　
）
A.
12
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图：
连接DE，过点A作AN
垂直DE于点E，
根据题意由旋转知AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∵等边△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=4，
又BD=3，CD=5，
∴
，
∴△CDE是直角三角形，
∵AD=4，∠ADE=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=2，
由勾股定理得AN=
，
∵=，
，
，
∴，
即四边形ADCE的面积是，
故答案为：C．
4.如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由菱形的性质得
为直角三角形
故选C
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，则四边形ABCD的面积为（　　）
A.
32
B.
24
C.
40
D.
36
【答案】A
【解析】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝8；
∴2a2＝64，a2＝32，
故选：A．
6.在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B为x轴正半轴上一点，将△AOB绕其一顶点旋转180°，连接其余四个顶点得到一个四边形，若该四边形是一个轴对称图形，则满足条件的点有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】A．
7.
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，
连接CE，△DEC的周长为（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】A
8.如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（
）
A.
AB=CD
B.
AC=BD
C.
AC⊥BD
D.
AD=BC
【答案】A
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，∴EG=FH=AB，EH=FG=CD，
∵当EG=FH=
EH=FG时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：A．
二、填空题（不需写出解答过程，只需把答案直接填写在对应横线上）
9.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．当四边形ABCD满足_____
时，四边形EGFH是菱形．
【解析】本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG＝HF，因此四边形EHFG是平行四边形，本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解答】证明：∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
10.已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于
．
【答案】
【解析】如下图，过点B作CE垂线，交CE延长线于点F，AD与CE交于点H．
∵AD⊥EC，AD是∠EAC的角平分线
∴∠EAH=∠HAC
∴∠AEH=∠ACH，∴AE=AC，△AEC是等腰三角形
∵CE=4
∴EH=HC=2
∵CE是△ABC的中线，∴AE=EB
∵∠AEH=∠FEB，∠AHE=∠BFE=90°
∴△AEH≌△BEF
∴EF=2，FC=2+2+2=6，BF=AH
∵∠DCH=∠BCF，∠DHC=∠BFC=90°
∴△DCH∽△BCF
∴
∴3DH=BF，∴3DH=HA
∵AD=4
∴HD=1，FB=3
∴在Rt△CBF中，CB=
故答案为：
11.如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=
．
【答案】2
【解析】解：连接AC、BD，如图，
∵点O是?ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB=S△BOC，
∵EF=AB，
∴S△EOF=S△AOB，
∵GH=BC，
∴S△OGH=S△BOC，
∴S△EOF：S△OGH=3：2,
∵，
∴=2.
故答案为：2.
12.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝______°．
【答案】55
【解析】解：设∠DEC＝x，
∵DE＝DC，
∴∠DCE=x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ODC=∠DCE=x，
∴∠DOE=∠OCD+∠ODC=2x，
∵△DOE内角和为180°，
∴，
解得：，
即∠DEC＝，
故答案为：55．
13.
E、F是线段AB上的两点，且AB＝16，AE＝1，BF＝3，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连结PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为______．
【答案】36
【解析】解：分别延长AD、BC交于点H，连接PH，EH，FH，
∵△ADG、△GCB为等腰直角三角形，
∴∠DGA=∠CGB=45°，
∴∠DGC=90°，
∴AH∥GC，
又∵∠HCG=90°，
∴∠HCG=∠DGC=90°，
∴DG∥HB，
∴四边形DGCH为矩形，
∵点P未DC中点，
∴点G、P、H三点共线，且P为HG的中点，
过P作MN∥于AB分别交EH、FH与M、N，
∴MN为△HEF的中位线，且MN即为点P的运动轨迹，
∴GP扫过的图形即为梯形MEFN，
∵AB＝16，AE＝1，BF＝3，
∴EF=16-1-3=12，
∴，
过点H作HO垂直AB于O，
∴，
∴梯形的高为：，
∴,
即线段PG扫过的图形面积为36，
故答案为：36．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是
．
【答案】（,）
【解析】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO=90°，
此时由勾股定理得：
OC=1+2=3，即
∵∠CBE=90°，∴∠ECB=30°，∠BEC=60°，∴∠AEO=60°，
∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，∴AE=OE，∴△AOE等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠COB=90°-60°=30°，
由勾股定理得：
所以点C的坐标是故答案为：
15.如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，EG＝13，FH＝15，则四边形EFGH的面积是____．
【答案】94.5
【解析】解：如图，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
由题意得：四边形AEC1H、四边形HDGD1、四边形EBFB1、四边形CFA1G为矩形，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴，
∵EG＝13，FH＝15，
∴，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：94.5．
三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.
已知：l∥m∥n∥k,平行线与m、m与n、n之间的距离分别为d1、d2、d3,且d1=d3=1,d2=2.我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”。
(1)如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线于点F.
求正方形ABCD的边长。
(2)如图2,菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60?,△AEF是等边三角形,AE⊥k?于点E,∠AFD=90?，直线DF分别交直线l、于点G、M.求证：EC=DF.
(3)矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2:1，直接写出矩形ABCD的宽。
解答：(1)∵l∥k，BE⊥l，∴∠BFC=∠BEA=90?，∴∠ABE+∠BAE=90?，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90?，AB=BC.∴∠ABE+∠CBF=90?，∴∠BAE=∠CBF，
在△AED与△DGC中，∴△AED≌△GDC，∴AE=BF，
∵d1=d3=1,d2=2，∴BE=3，AE=1，在直角△ABE中,AB=BE2+AE2，
即正方形的边长是根号10；
(2)证明：如解答图②,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,且∠ADC=60?，∴AC=AD，
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，
∵AE⊥k,∠AFD=90?，∴∠AEC=∠AFD=90?，
在Rt△AEC与Rt△AFD中,{AC=ADAE=AF，∴Rt△AEC≌Rt△AFD，∴EC=DF；
(3)过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F.
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90?，∴∠ABE+∠FBC=90?，
又∵直角△ABE中,∠ABE+∠EAB=90?，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时,如图(a)，AB=12BC,则AE=12BF=32，
在直角△ABE中,
当AB是长边时,如图(b)，
故答案为：根号13或根号37除以2.
17.如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t(s)．
(1)若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
【解答】
(1)如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=90?，
∴∠DCP+∠CPD=90?，
∵∠CPD+∠ADB=90?，
∴∠ADB=∠PCD，
∵∠A=∠CDP=90?，
∴△ABD∽△DPC，
∴ADCD=ABPD，
∴64=4PD，
∴PD=83，
∴t=83s时，B.
E.?D共线．
(2)如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ=3，CE=DC=4
易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=3，∠M=90?，
∴EM=EC2?CM2
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
ADDM=DCEM，，
如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ=3，CE=DC=4
在Rt△ECQ中，QC=DM
由△DME∽△CDA，
∴DMCD=EMAD，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围
18.在△ABC中，AB＝12，AC＝BC＝10，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE．
（1）如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F．
①求证：△ABD是等边三角形；
②求证：BF⊥AD，AF＝DF；
③请直接写出BE的长．
（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；③
BE＝6－8；（2）BE＋CE＝26
．
【解析】（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
②由①得△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴点B、E在AD的线段垂直平分线上，
∴BE是AD的线段垂直平分线，
∵点F在BE的延长线上，
∴BF⊥AD，?AF=DF；
③由②知BF⊥AD，AF=DF，
∴AF=DF=6，
∵AE=AC=10，
∴EF=8，
∵在等边三角形ABD中，BF=，
∴BE=BF﹣EF=；
（2）如图所示，
∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=∠ABC，
∵AC=BC=AE，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，
∵AC=BC，
∴AH=BH=AB=6，
∴CH=
则CE=2CH=16，BE=10，
∴BE+CE=10+16=26．
19.如图，在正方形ABCD中，AB=5cm，E为对角线BD上一动点，连接AE、CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F，E点从B点出发，沿BD方向以每秒1cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
（1）点E在整个运动过程中，试说明总有：CE=EF；
（2）求y与x之间关系的表达式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）y=
【解析】（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEM=∠NFE，
∵∠DBC=45°，∠BNE=90°，
∴BN=EN=AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE=CE，
∴CE=EF；
如图2，同理可证明∠BAE=∠CFE,
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠CBE=45°
又AB=CB，BE=BE
∴△BEA≌△BEC
∴∠BAE=∠BCE
∴∠CFE=∠FCE
∴CE=FE
因此，点E在整个运动过程中，总有：CE=EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
∴，
由题意得：BE=2x，
∴，
由（1）知：AE=EF=EC，
分两种情况：
①当时，如图3，
∵AB=MN=10，
∴ME=FN=10-x，
∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，
∴；
②当时，如图4，过E作EN⊥BC于N，
∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，
∴；
综上，y与x之间关系的函数表达式为：
y=
20.如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
(1)
求直线BD的解析式；
(2)
求△BOH的面积；
(3)
点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)
；
(3)
存在，N点坐标为（，）或（，3）或（，3）或（，3）
【解析】(1)
∵B点坐标，4)，
∴BC=，OC=4，
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=，
∴D点坐标为(4，0)，E点坐标为(4，)，
设直线BD的解析式为，
把B、D的坐标代入可得，，
解得：，
∴直线BD的解析式为；
(2)
设直线OE的解析式为，
把E的坐标代入可得，，
解得：，
∴直线OE的解析式为，
解方程组，得，
∴H点坐标为(，)，
∵直线BD的解析式为，
令，则，
∴F点坐标为(0，3)，
∴OF=3，
∴；
(3)
∵F点坐标为(0，3)，D点坐标为(4，0)，
∴OF=3，OD=4，，
①当DF为对角线时，四边形DNFM是菱形，如图：
∴设DM=FM=FN=，
在Rt中，OM=OD-DM=4-，
∵，
∴，
解得：，
∴N点坐标为(，3)；
②D、N为对角顶点，且M点轴正半轴上时，四边形DMNF是菱形，如图：
∴DM=FN=，
∴N点坐标为(，3)；
③D、N为对角顶点，且M点轴负半轴上时，四边形DFMN是菱形，如图：
∴DM=FN=，
∴N点坐标为(，3)；
④当DM为对角线时，四边形DFMN是菱形，如图：
根据菱形的对称性，知：F、N关于x轴对称，
∴N点坐标为(，)；
综上可知存在满足条件的N点，坐标为(，)或(，3)或(，3)或(，3)．