(共22张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.2
圆的基本性质
第3课时
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章
圆
学习目标
1.
结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相
关性质.
2.
能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并
会初步运用这些关系解决有关问题
(重点、难
点)．
导入新课
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
圆的对称性
一
观察与思考
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
·
讲授新课
圆心角
二
概念学习
O
A
B
M
1.
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB
.
3.
圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
2.
圆心角
∠AOB
所对的弧为
AB.
⌒
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
练一练
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
三
在☉O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转对称性，我们发现：
在☉O中，如果∠AOB=
∠COD，
那么，
，AB=CD，OE=OF.
（证明过程见课本）
E
F
观察与思考
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
E
F
④OE=OF
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
在☉O中，如果OE=OF，那么圆心角∠AOB与
∠COD，AB与CD，AB与CD有怎样
的数量关系？
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
F
在☉O中，如果
AB=CD，那么圆心角∠AOB与
∠COD，AB与CD，OE=OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
在☉O中，如果AB=CD，那么圆心角∠AOB与
∠COD，AB与CD，OE=OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
(3)
圆心角相等，所对的弦相等.
（
）
(2)
等弧所对的弦相等.
（
）
(1)
等弦所对的弧相等.
（
）
×
×
√
练一练
判一判：
典例精析
例1
如图，等边三角形
ABC
的三个顶点都在☉O上.
求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵
AB=BC=CA，
∴∠AOB
=∠BOC
=∠COA
关系定理及推论的运用
四
证明：
∴
AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∵∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
【变式题】如图，在☉O中，AB=AC
，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B
C
O
⌒
⌒
方法总结：弧、圆心角、弦的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
∵AB=CD，
⌒
⌒
解：
∵
如图，AB是☉O
的直径，
∠COD=
35°，求∠AOE
的度数．
练一练
·
A
O
B
C
D
E
∴
∴
例2
已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F.
求证：CD=EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点O作OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为K，H，如图.
H
K
∵OK=OH，（角平分线性质）
∴CD=EF.
例3
如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE∥AB，弧CE为40°，求∠BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接OE，如图.
∵弧CE为40°，
∴∠COE=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠C=70°.
1.
如果两个圆心角相等，那么
（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
2.
在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则
AB
与CD
的关系是
（
）
⌒
⌒
A
A.
AB=2CD
⌒
⌒
B.
AB
>CD
⌒
⌒
C.
AB
⌒
⌒
D.
不能确定
当堂练习
4.
弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
.
60
°
3.
如图所示，在☉O中，AB
=AC，∠B＝70°，则
∠A＝________．
⌒
⌒
40
°
5.
如图，已知
AB、CD
为
☉O
的两条弦，
.
求证：AB＝CD.
C
A
B
D
O
证明：连接AO，BO，CO，DO.
即
能力提升：
6.
如图，在☉O中，2∠AOB
=∠COD，那么CD
=
2AB
成立吗？CD
=
2AB呢？如果成立，请说明理由；如
不成立，那它们之间的关系又是什么？
⌒
⌒
解：CD
=2AB
成立，CD
=2AB
不
成立.理由如下：
取
CD
的中点
E，连接
OE，CE，
DE
，那么∠AOB=∠COE
=∠DOE，
所以
=
=
，
=2
，
弦AB
=
CE
=
DE，
在△CDE中，CE+DE
>
CD，即
CD
＜
2AB.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
O
⌒
课堂小结
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等(共21张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.7
弧长与扇形面积
第2课时
圆锥的侧面展开图
第24章
圆
学习目标
1.
体会圆锥侧面积的探索过程.（重点）
2.
会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问
题.（重点、难点）
导入新课
图片引入
讲授新课
与圆锥的侧面展开图相关的计算
一
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
观察与思考
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB
等叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
知识要点
重要数量关系
如果用
r
表示圆锥底面的半径，h
表示圆锥的高线长，l
表示圆锥的母线长，那么
r、h、l
之间数量关系是：
r2+h2=
2
h
O
r
根据下列条件求值（其中r、h、l
分别是圆锥的底面半径、高、母线长）.
(1)
l
=
2，r
=1，则
h=_______.
(2)
h
=3，r=4，则
l
=_______.
(3)
l
=
10，h
=
8，则r
=_______.
5
6
O
h
r
练一练
l
O
r
1.
圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇形
圆锥的侧面展开图是扇形
想一想：
2.
沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到
一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么
关系？
3.
圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥
中的哪一条线段相等？
相等
母线
l
o
侧面
展开图
l
r
其侧面展开图扇形的半径=
母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底
面周长
圆锥的侧面积计算公式
知识要点
例1
一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为
20
的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a，则
解得
r
=10.
∴
a
=30.
又
典例精析
例2
如图是圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为
50
cm.
在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图所示.
设该扇形的面积为S.
α
O
h
r
l
α
O
h
r
l
由弧长的计算方法，可得
例3
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建
20
个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
解：如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46
(m2)，
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446
(m2)．
O
r
4
练一练
如图所示的扇形中，半径R
=10，圆心角θ
=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)
这个圆锥的底面半径
r
=
．
(2)
这个圆锥的高h=
.
A
C
B
θ
R=10
当堂练习
1.
圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥
侧面展开图扇形的圆心角是____．
2.
一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成
一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为
．
180°
10cm
3.
已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧
面积是
，全面积是
．
15πcm2
24πcm2
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角
扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
A
B
C
①
②
③
O
解：如图，连接BC，则BC=20.
∵∠BAC=90°，BO=10，AB=AC，
∴
S扇形=
∴
AB=AC=
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求
这个圆锥的底面圆的半径？
A
B
C
①
②
③
O
解：圆锥侧面展开图的弧长为
∵
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底
面？请说明理由．
解：延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，
则
EF=
∵圆锥的底面直径为
∴不能从最大的余料③中剪出一个圆做
该圆锥的底面.
A
B
C
①
②
③
O
E
F
课堂小结
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
重要图形
重要结论(共34张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.1
旋转
第2课时
中心对称和中心对称图形
第24章
圆
学习目标
1.
理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形.
（重点）
2.
会运用掌握中心对称及中心对称图形的性质解决实
际问题.（重点）
导入新课
从A旋转到B，旋转中心
是什么？旋转角是多少？
O
A
B
C
D
从A旋转到C呢?
从A旋转到D呢?
情境引入
桌上有四张牌，将其中一张牌旋转180°后，你很快能猜出是哪一张吗？
讲授新课
中心对称的性质及其作图
一
重合
O
A
Ｏ
D
B
C
问题1
观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
旋转角为180°
观察与思考
如图，将△ABC
绕定点
O
旋转180°，得到△DEF，这时，图形
△ABC
与图形
△DEF
关于点
O
的对称叫做中心对称，点O就是对称中心.
知识要点
A
B
C
D
E
F
O
填一填：
如图，△OCD
与
△OAB
关于点
O
中心对称
，则___是对称中心，点
A
与___是对称点，
点
B
与___是对称点.
Ｏ
B
C
A
D
O
C
D
1.
中心对称是一种特殊的旋转.
其旋转角是180
°.
2.
中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
归纳总结
问题2
下图中△A′B′C′
与△ABC
关于点
O
成中心对称，对称中心
O
与对应点的连线有什么关系?
A
B
C
B′
C′
O
A′
1.
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对
称中心，且被对称中心所平分.（即每组对应点
与对称中心三点共线）
2.
中心对称的两个图形是全等形.
中心对称的性质：
知识要点
例1
如图，已知四边形
ABCD
和点O，试画出四边形ABCD
关于点
O
成中心对称的图形
A'B'C'D'.
A
B
C
D
O
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对应点，再顺次连接各对应点即可.
典例精析
A
B
C
D
O
作法：
1.
连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
A'
B'
C'
D'
2.
同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；
3.
顺次连接A'，B'，C'，D'.
则四边形A'B'C'D'即为所作.
【变式题】如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
A
B
C
A′
B′
C′
解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
O
解法2：根据观察，B、B′
及C、C′
应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求(如图).
A
B
C
A′
B′
C′
注意：如果限制只用无刻度直尺作图，我们用解法2.
例2
如图，已知
△AOB
与
△DOC
成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为_____.
解析：设AB边上的高为h，∵△AOB的面积是12，AB＝3，易得h＝8.
又
∵△AOB
与
△DOC
成中心对称，∴
△COD
≌
△AOB，∴△DOC中CD边上的高是8.
8
中心对称图形
二
A
B
将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？
O
（1）都绕一点旋转了180度；
（2）都与原图形完全重合.
观察与思考
O
把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心.
B
A
C
D
中心对称图形的定义
注意：中心对称图形是指一个图形.
知识要点
O
√
√
(1)
(2)
(3)
√
(4)
做一做：下列图形中哪些是中心对称图形？
×
在生活中，有许多中心对称图形，你能举出一些例子吗？
例3
如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为_______.
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到Rt△ADC中，易得阴影部分的面积为3．
3
例4
已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以
O
为中心，作
△EFO
的中心对称图形，则点
E
的对应点E′
的坐标为
________．
解析：由中心对称可得到新的点与原来的点关于原点对称．∵
E
(－4，2)，∴点
E
的对应点
E′
的坐标为
(4，－2)，故答案为
(4，－2)．
(4，－2)
方法总结：两点关于原点中心对称，横、纵坐标均互为相反数．
图(1)
图(2)
解密魔术
当堂练习
1.
判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（
）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形.
（
）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形.
（
）
√
√
×
2.
如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心
对称的有
(
)
A.
1组
B.
2组
C.
3组
D.
4组
C
3.
下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图
形的是
(
)
B
4.
如图，□ABCD
中，△AOB
绕着点
旋转180°后，
能够与
重合，则这一点称为
，点
A
的对应点是
，△AOD
与
△COB
关于点
成
对称.
A
B
D
C
O
O
△COD
对称中心
点C
O
中心
5.
如图，线段
AB
和
CD
关于点
O
成中心对称，若∠B=
40°，则∠D
的度数为
.
Ｏ
B
C
A
D
40°
6.
图中网格中有一个四边形和两个三角形，
(1)
请你先画出三个图形关于点O成中心对称的图形；
(2)
将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请
写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至
少旋转多少度才能与自身重合?
O
解：这个整体图形的对称轴有
4
条；此图形最少旋转90°才能与自身重合．
能力提升：
7.
用无刻度的直尺画一条直线把下面图形分成面积
相等的两部分，你怎样画？
方法总结：对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，关键找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.
课堂小结
概念
旋转角是180°
性质
对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
作图
1.
作中心对称图形
2.
找出对称中心
中心对称
定义
性质
应用
绕着内部一点旋转180°能与本身重合的图形
经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分
美丽的中心对称图形在建筑物和工艺品等领域十分常见
中心对称和中心对称图形
中心对称图形(共37张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.2
圆的基本性质
第1课时
与圆有关的概念及点与圆的
位置关系
第24章
圆
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等
弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联
系.（难点）
3.初步了解点与圆的位置关系.
学习目标
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新课
图片引入
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
问题1
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的概念
一
讲授新课
合作探究
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
为什么？
·
r
O
P
?圆的旋转定义
在平面内，线段
OP
绕着它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端点
P
所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点
O
叫做圆心，线段
OP
的长
r
叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O
”
读作“圆O”.
问题2
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
?确定一个圆的要素
(1)
圆上各点到定点
(圆心O)
的距离都等于
．
(2)
平面内到定点
(圆心O)
的距离等于定长(半径r)的所有
点都在
．
由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点
(圆心O)
的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
O
r
r
r
r
r
定长(半径r)
同一个圆上
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
·
例1
已知：如图AB，CD为⊙O
的直径.
求证：AD∥CB.
典例精析
证明：连接AC，DB.
∵
AB，CD为⊙O的直径，
∴
OA
=
OB，
OC
=
OD.
∴
四边形ADBC为平行四边形，
∴
AD∥CB.
A
B
C
D
O
矩形
ABCD
的对角线
AC、BD
相交于
O.
求证：A、B、C、D
在以
O
为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴
A、B、C、D在以O为圆心，
以OA为半径的圆上.
练一练
问题1
观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
.
B
.
.A
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
二
观察与思考
问题2
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1.
⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别
为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关
系是点A在
；点B在
；点C
.
圆内
圆上
圆外
2.
圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
OP
=
，则点
P
在
(
)
A.
大圆内
B.
小圆内
C.
小圆外
D.
大圆内，小圆外
o
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
P
r
d
R
r
P
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r
点P在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
例2
如图，已知矩形
ABCD
的边
AB=3，AD=4.
（1）以
A
为圆心，4
为半径作⊙A，则点
B、C、D
与
⊙A的位置关系如何？
解：∵AB
=
3cm＜4cm，
∴
点
B
在⊙A
内．
∵
AD
=
4cm，
∴
点
D
在
⊙A
上．
∵
＞4cm，
∴
点
C
在
⊙A
外.
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一
点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的
取值范围.
解：由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，∴3cm＜r＜5cm.
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为
(2，1)，P
是
x
轴上一点，要使
△PAO
为等腰三角形，
满足条件的P
有几个？求出点
P
的坐标.
方法总结：在没有明确腰或底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论.
?弧：
·
C
O
A
B
圆的有关概念
三
(
?弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AB，AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫
做直径．
注意：1.
弦和直径都是线段.
2.
直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
?半圆、优弧及劣弧:
圆的任意一条直径的两个端点分圆
成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
大于半圆的弧（如图中的
，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的
）叫做劣弧.
?等圆：
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.
·
C
O1
A
?等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
长度相等的弧是等弧吗？
例3
如图.
(1)
请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
(2)
请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF，AB，AC.其中弦
AB
也是直径.
(3)
请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是
.
练一练
有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.
C
1.
根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.
直径是圆中最长的弦.
证明：
·
C
O
A
B
连接OC，
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC，
而AB=2OA，AO=OC，∴AB>AC.
知识要点
例4
如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
解：连接OD，如图.
∵AB是⊙O的直径，
OC，OD是⊙O的半径，
AB＝2DE，∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝18°，
∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.
∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，
∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.
例5
如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
连接OA，OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
在
Rt△ABO
中，AB2
+
BO2
=
AO2，
即
(2x)2
+
x2
=
102.
A
B
O
C
D
M
N
算一算：设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为
.
x
x
x
x
【变式题】如图，在扇形MON中，
，半径
MO=NO=10，正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，
顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连接OA，如图.
又∵∠DOC=45°，∴CD=OC.
设
OC
=
x，则
AB=BC=DC=OC=x.
∵OA=OM=10，
∴在Rt△ABO中，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.
即
(2x)2
+
x2
=
102.
∴
45°
∵四边形ABCD为正方形，
1.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
当堂练习
2.
填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有
条直径，
条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有
条，
劣弧有
条．
直径
半径
一
二
四
四
A
B
C
D
O
F
E
3.
正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作
⊙A，则点B在⊙A
；点C在⊙A
；点D在⊙A
.
上
外
上
4.
如图，MN为⊙O的弦，∠MON=70°，则∠M
=
.
5.
一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，
则这个圆的半径是
.
7cm或3cm
M
O
N
55°
1
·
2cm
3cm
6.
画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于
或等于3cm的点组成的图形.
O
7.
如图，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、
OB的中点，求证：AD＝BC.
证明：∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∵点C、D分别为OA、OB的中点，
∴OC＝1/2OA，OD＝1/2OB，
∴OC＝OD.
又∵∠O＝∠O，
∴△AOD≌△BOC(SAS).
∴BC＝AD.
能力提升：
8.
如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一
渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行
才能尽快离开危险区？试说明理由．
A
D
P
解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O于点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区．
C
O
课堂小结
圆
定义
旋转定义
集合定义
有关
概念
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
点与圆的位置关系
弦（直径）
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d等圆
等弧(共27张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.1
旋转
第3课时
旋转的应用
第24章
圆
学习目标
1.
理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内
的旋转变换问题.(重点、难点)
2.
能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.
(难点)
导入新课
你能找出图案中的全等图形吗？
这幅图案可看成是怎样制作的呢？
图片引入
运动美
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
组合美
讲授新课
坐标平面内的旋转变换
一
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
合作探究
C
如图，△ABC
的顶点坐标分别是
A
(2，1)，B
(0，0).
(1)
分别画出△ABC
以原点为旋转中心，逆时针旋转90°、180°、270°、360°而得到的△A′B′C′，并填写表格.
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
C
原图形上点的坐标
A
(2，1)
B
(0，0)
C(2，0)
按逆时针方向旋转后对应点的坐标
旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(－1，2)
(－2，－1)
(1，－2)
(2，1)
(0，0)
(0，2)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(－2，0)
(0，－2)
(2，0)
(2)
分别比较点
A′
与点
A、点
B′
与点
B、点
C
与点
C′的坐标，能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点的坐标
以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标
(x，y)
(－y，x)
(－x，－y)
(y，－x)
(x，y)
旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
练一练
1.
如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO
绕点
O
按顺时针方向旋转
90°，得
△A′B′O，则点
A′的
坐标为
.
解析：根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．如图，点A′的坐标为(1，3).
(1，3)
2.
填空：
(1)
在平面直角坐标系中，点
P(2，－3)
关于原点对
称的点
P′
的坐标是________．
(2)
点
M(3，－5)
绕原点旋转180°后到达的位置是
________．
(3)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋
n)2017＝________．
解析：因为点
P(2，n)
与点
Q(m，－3)
关于原点对称，所以m＝－2，n＝3，则(m＋n)2017＝(－2＋3)2017＝1.
(－2，3)
1
(－3，5)
例1
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(1，0)，若点
A
的坐标为(a，b)，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是
．
典例精析
(b＋1，－a＋1)
解析：过点
A
作
AC⊥x
轴，过点
A′
作
A′D
⊥
x
轴，垂足分别为
C、D，显然
Rt
△ABC
≌
Rt
△BA′D.
∵点
A
的坐标为
(a，b)，点
B
的坐标是
(1，0)，∴OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.
∵点
A′
在第四象限，∴点A′的坐标是(b＋1，－a＋1)．故答案为(b＋1，－a＋1)．
动态图形的操作与图案设计
二
试说出构成下列图形的基本图形．
观察与思考
（1）
（2）
（3）
（4）
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.
例2
用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：如图所示.（答案不唯一）
例3
如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.
分析：所给左上角的三角形的面积为
1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要三角形
4÷0.5＝8
(个).
解：答案不唯一，以下图案供参考.
当堂练习
1.
在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没
有运用旋转或轴对称知识的是
(
)
A
B
C
D
C
3.
若点
A(m，－2)，B(1，n)关于原点对称,则
m
=
，
n
=
.
－1
2
2.
将点
P(2，－3)
绕原点逆时针旋转270°得到的点
P′
的坐标为
(
)
A.
(－2，－3)
B.
(－3，2)
C.
(－3，－2)
D.
(2，3)
C
4.
在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A(－3，4)，将OA
绕坐标原点
O
逆时针旋转
90°至
OA′，则点
A′
的坐
标是
.
(－4，－3)
5.
已知
a＜0，则点
P(－a2，－a+1)
关于原点的对称点
P′
在
.
解析：∵点
P(－a2，－a+1)
关于原点的对称点
P′
的坐标为
(a2，a－1)，a＜0，∴a2＞0，a－1＜0，∴点P′
在第四象限．
第四象限
6.
如图，在边长为
1
个单位长度的正方形方格纸中建立
平面直角坐标系，△ABC各顶点的坐标为A(－5，4)，
B(－1，1)，C(－5，1)．
(1)
将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
请在图中画出△A′B′C′；
(2)
写出点A′的坐标.
A′
B
x
y
O
C
B′
C′
A
解：(1)
如图.
(2)
A′点的坐
标为(4，5)．
7.
如图是五个小正方形在3×3的正方形网格中拼成的图
形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，
使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、
图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）.
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
图①
图②
图③
能力提升：
8.试写出直线
y
=
3x－5
关于原点对称的直线的函数关
系式.
解：y
=
3x+5.
课堂小结
旋转的应用
特征
P
(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).
作图
作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图.
坐标平面内的旋转
变换
动态图形的操作与图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平
移
旋
转(共28张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.2
圆的基本性质
第2课时
垂径分弦
第24章
圆
1.
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
视频引入
导入新课
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道
如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理及其推论
一
合作探究
问题1
在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
讲授新课
问题2
已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB，
（或
）.
·
O
A
B
D
E
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，
所以⊙O关于直线CD对称.
当把圆沿
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
合，
与
重合，
与
重合.
因此
AE=EB，
，
.
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，
⌒
⌒
AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
(1)
CD⊥AB吗？为什么？
(2)
·
O
A
B
C
D
E
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
解：(1)CD⊥AB，理由如下：
连接AO，BO，如图，则AO=BO.
又∵AE=BE，OE=OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
·
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
一
垂径定理及其推论的计算
二
典例精析
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，
OE=6cm，则AB
=
cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，如图.
∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=2×8=16（cm）.
16
一
∴
例2
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC
=
2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
.
设
OC
=
x
cm，则OD
=
(x
－
2)cm，根据勾股定理，得
解得
x=5.
即半径OC的长为5cm.
x2
=
42
+
(
x－2)2
，
例3
已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径
MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴AM－CM＝BM－DM，
∴AC＝BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
三
由垂径定理，得
AD
=
1/2
AB
=
18.7
m，
设⊙O的半径为R，
在Rt△AOD中，AO=R，
OD=R-7.2，AD=18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
解得
R
≈
27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
∴R2
=
(R-7.2)2
+18.72.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
1/2a
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.已知⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°,
则弦AC=
.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
14cm或2cm
当堂练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴
AE=AD，
∴
四边形ADOE为正方形.
∴
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE，
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接
OC，如图.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为
R
m，
则OF
=
(R-90)
m.
∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=300(m).
根据勾股定理，得
∴R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
∴
拓展提升：
7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
课堂小结(共33张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.3
圆周角
第1课时
圆周角定理及推论
第24章
圆
学习目标
1.
理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.
理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定
理解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.
理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运
用.
（难点）
问题1
什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角.
问题2
圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
复习引入
.
O
B
C
导入新课
像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公
共点的角叫做圆周角.
圆周角的定义
一
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
观察图中的∠A，它
有什么特点？
观察与思考
O
A
B
C
讲授新课
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
顶点不在圆上
顶点A不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系?
圆周角定理及其推论
二
观察与思考
你能证明吗？
O
A
C
B
圆心O
在∠BAC
的内部
圆心O在∠BAC
的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
下面给出猜想的证明：
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角，按圆心O与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：
(1)
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2)
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
(3)
圆心O在∠BAC的外部
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
O
A1
A2
A3
知识要点
A
C
B
如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C
所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)
∠BOC=
°，理由是
.
；
(2)
∠BDC=
°，理由是
.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
练一练
典例精析
例1
如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于
( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.
故选A.
A
圆周角定理的推论
三
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
，D
是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等.理由如下：
合作探究
∵
问题2
如图，若
∠A与∠B相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么
成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理推论1
几何语言
知识要点
D
A
B
O
C
E
F
完成下列填空：
∠1=
.
∠2=
.
∠3=
.
∠5=
.
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线，
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
练一练
思考：如图，AC是⊙O的直径，
则∠ADC
=
，
∠ABC=
.
90°
90°
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
O
A
C
B
D
例2
如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD
=
60°，∠ADC=70°.
求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB
=∠ACB－∠ACD
=
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC
=∠BAD
+∠ADC
=30°+70°=100°.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为
( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°.
故选C.
练一练
C
B
.
A
D
C
O
例3
如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
(1)
求DC的长；
B
解：∵AC是⊙O的直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
.
O
A
D
C
(2)
若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．
B
.
O
A
D
C
解：∵
AC是⊙O的直径，∴
∠ABC=90°.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
，∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴
AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴
方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，一般考虑构造直角三角形来求解.
1.
判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等
（
）
（3）同弦所对的圆周角相等
（
）
√
×
×
当堂练习
2.
已知
△ABC
的三个顶点在
⊙O
上，∠BAC=50°，
∠ABC=47°，则∠AOB=
．
B
A
C
O
166°
3.
如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是
.
C
A
B
O
2
4.
如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，
若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为
.
方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.
30°
5.
如图，边长为
1
的小正方形构成的网格中，半径为
1
的
⊙O
的圆心
O
在格点上，则
∠AED
的正切值
等于
.
∴∠ACB=2∠BAC.
证明：
6.
如图，OA，OB，OC
都是
⊙O
的半径，∠AOB
=
2∠BOC.求证：∠ACB
=
2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
∵
A
O
B
C
7.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于
D，交AC于E.
(1)
BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BD=CD.
解：BD=CD.
理由如下：连接AD，如图.
O
(2)
求证：
.
证明：
∵
△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD.
∴
A
B
C
D
E
O
8.
已知
⊙O
的弦
AB
长等于
⊙O
的半径，求此弦
AB
所
对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，
连接CA，CB.
∵AB＝OA＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝1/2∠AOB＝30°.
即弦AB所对的圆周角等于30°.
如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，
连接AD，OD，BD，如图.
则∠BAD＝1/2∠BOD，∠ABD＝1/2∠AOD.
∴∠BAD＋∠ABD＝1/2(∠BOD＋∠AOD)＝1/2∠AOB.
∵AB的长等于⊙O的半径，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°，
∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)
＝150°，
即弦AB所对的圆周角为150°.
综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.
课堂小结
圆
周
角
定义
定理
推论
1.顶点在圆上；
2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.(共51张PPT)
第24章
圆
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一.旋转的有关概念及性质
1.在平面内，一个图形绕着一个定点（如点O），旋转一定的角度（如θ），得到另一个图形的变换，叫做_____.定点O叫做__________，θ叫做_______.
旋转
旋转中心
旋转角
(1)
对应点到旋转中心的距离相等;
(2)
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，
都等于旋转角;
(3)旋转中心是唯一不动的点.
3.旋转的性质
2.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
后，能够与原图形重合，这样的图形叫
做______________，这个定点就是__________
.
旋转对称图形
旋转中心
1.把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180?，得到一个能够与它重合的图形(如△CDO)，这时，图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称叫做_________，点O就是________.这两个图形中的对应点叫做关于中心的_________.
二.中心对称的有关概念及性质
中心对称
对称中心
对称点
2.把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做_______________，这个定点叫做它的_________，互相重合的点叫做________.
中心对称图形
对称中心
对称点
成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心________.
3.中心对称的性质
对称中心
平分
三、圆的基本概念及性质
1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
．
O
四、点与圆的位置关系
●A
●B
●C
点与圆的位置关系
点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d﹥r
d=r
d﹤r
五、圆的对称性
1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
●O
A
B
C
D
M└
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若
①
CD是直径
②
CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
六、垂径定理及推论
垂径定理的逆定理
②CD⊥AB,
由
①
CD是直径
③
AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●O
C
D
A
B
●
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
M
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.
七、圆周角和圆心角的关系
∠BAC=
∠BOC
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ADB与∠AEB
、∠ACB
是同弧所对的圆周角
∴∠ADB=∠AEB
=∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
∴
∠ACB=90°
八、直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系
直线名称
直线与圆的交点个数
相离
相切
相交
●
l
d
r
0
切线
d﹤r
割线
2
d﹥r
—
d=r
1
九、切线的判定与性质
1.切线的判定一般有三种方法：
a.定义法：和圆有唯一的一个公共点
b.距离法：
d=r
c.判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线
是圆的切线.
2.切线的性质：
圆的切线垂直于经过且点的半径.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
3.切线长及切线长定理
十、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
重要结论
B
十一、圆内接正多边形
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
1.概念
①正多边形的内角和=
②中心角=
圆内接正多边形的有
关概念及性质
2.计算公式
十二、
圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S=
____________.
或
3.弓形面积公式
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
(3)圆锥的侧面积为
.
[注意]
圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个
.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为
.
扇形
l
考点讲练
考点一
旋转变换
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
解析：（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；
（2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
F
解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得，DC=FC，∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠ECF=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠BCD=90°，
∴∠ECF=∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°，
∴∠EFC=90°，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC=∠EFC=90°．
考点二
与圆有关的概念
例2
在图中，BC是⊙O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（
）
A.
72°
B.54°
C.
45°
D.36
°
A
B
C
D
解析
根据圆周角定理的推论可知，
∠B=
∠D=36°,
∠BAC=90°，所以∠BAD=54°，故选B.
B
O
1.如图a，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是
.
2.如图b，线段AB是直径，点D是⊙O上一点，
∠CDB=20
°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于
.
（
135°
C
D
B
A
P
O
图a
O
C
A
B
E
D
图b
50°
针对训练
考点三
垂径定理
例3
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为
mm.
8mm
A
B
解析
设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,
OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
方法归纳
在涉及求半径r、弦长a、弦心距d、弓形高h的问题时，通常构造直角三角形来解决.h=r-d,
.
8
C
D
O
3.如图,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是
.
（
（
A
B
C
D
P
O
针对训练
考点四
圆周角定理
例4
如图，⊙O的直径AE=4cm，∠B=30
°，则AC=
.
A
B
C
E
O
2cm
解析
连接CE，则∠E=
∠B=30°,
∠ACE=90°，所以AC=
AE=2cm.
方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.
4.（多解题）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2,F是弦BC的中点，
∠ABC=60
°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B
→A的方向运动，设运动时间为t（s)
(0s时，
△BEF是直角三角形.
A
B
C
E
O
F
思路点拨
根据圆周角定理得到直角三角形ABC，再根据含30°的直角三角形的性质得到AB=4cm，则当0针对训练
考点五
点或直线与圆的位置关系
例5
如图，已知∠NON=30°，P是ON上的一点，OP=5㎝，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与⊙P只有一个公共点，求r的值或取值范围.
解：当射线OM与⊙P相切时，射线OM
与⊙P只有一个公共点.
过点P作PA⊥OM于A，如图所示.
在Rt△AOP中，r=PA=OP·sin∠POA=2.5（㎝）.
当射线OM与⊙P相交且点O在⊙P内时，射线OM与⊙P只有一个公共点.如图2所示.
∵射线OM与⊙P相交，则r＞2.5㎝
···①
又∵点O在⊙P内，则r＞OP，即r＞5㎝
···②
综合①、②可得r＞5.
综上所述，当射线OM与⊙P
只有一个公共点时，
r=2.5㎝或r＞5㎝.
图2
本题之类的题目中，常因混淆了“直线与圆只有一个交点”和“线段与圆只有一个交点”或“射线与圆只有一个交点”的区别.实际上，当直线与圆只有一个交点时，直线与圆一定相切，而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能是相交.
方法总结
针对训练
5.如图，直线l：y=
x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则
m的值为_______．
例6
如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD，如图.∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
又∵DE平分CB，∴DE＝
BC＝BE.
∴∠EDB＝∠EBD.
又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°.∴BC与⊙O相切．
考点六
切线的性质与判定
6.
已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过
上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
(2)若PA＝4
cm，求△PDE的周长．
针对训练
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC，
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，
BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∴∠DOE＝
∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
(2)若PA＝4
cm，求△PDE的周长．
考点七
圆内接正多边形
例7
如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点C'的位置，则构造出一个直角三角形AC'C，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴
AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
.
∴正方形ABCD的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
方法总结
7.
如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
⑴求正方形EFGH的面积；
针对训练
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，
∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
⑵∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=60°，
∴正方形的内角是90°，
∴∠OFG=∠OFE
+∠EFG=
60°+90°=150°.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF=
（180°-∠OFG）
=
（180°-150°）
=15°.
考点八
弧长和扇形面积
例8（1）一条弧所对的圆心角为135
°
，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为
.
（2）一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是
度.
40cm
120
解析
(1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即
及
;还要熟记圆锥及其侧面展开图之间存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.
例9
如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形AOB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm,求：
（1）扇形AOB的圆心角；
（2）这个纸杯的表面积.（面积计算结果保留π）.
即
.
解得R=24.
A
B
C
D
O
E
F
6cm
4cm
8cm
即扇形的圆心角∠AOB=45°.
解：（1）由题意知：AB=
，
CD=
,设∠AOB=n
°,AO=Rcm,则CO=（R-8）cm，由弧长公式变形得：
,
（2）由（1）知OA=24cm,
则CO=24-8=16（cm）,
∴S扇形COD
=
（cm2）.
S扇形AOB
=
∴S纸杯侧=S扇形AOB-S扇形COD
=
，
S纸杯底=
，
∴S纸杯表=
（cm2).
A
B
C
D
O
E
F
6cm
4cm
8cm
(1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即
及
;(2)要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.
方法归纳
针对训练
8.（1）一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于半径为4cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为
.
（2）一个底面半径为4cm,母线长为12cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是
度.
（3）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为
______.
36cm
120
考点九
有关圆的综合性题目
例10
如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）.
（1）求证：CD=CF；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求直线AD的函数表达式.
（1）证明：过点D作DH⊥x轴于H，则∠CHD=∠COF=90°，如图所示.
∵点F（0，1），点D（6，-1），∴DH=OF=1.
∵∠FCO=∠DCH，
∴△FOC≌△DHC，
∴CD=CF.
（2）解：⊙P与x轴相切.理由如下：
连接CP，如图所示.
∵AP=PD，CD=CF，∴CP∥AF.
∴∠PCE=∠AOC=90°.
∴⊙P与x轴相切.
（3）由（2）可知CP是△ADF的中位线.
∴AF=2CP.
∵AD=2CP，∴AD=AF.
连接BD，如图所示.∵AD为⊙P的直径，
∴∠ABD=90°.
∴BD=OH=6，OB=DH=OF=1.
设AD=x，则AB=AF－BF=AD－BF=AD－(OB+OF）=
x－2.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2=AB2+BD2，即x2=（x－2）2+62，解得
x=10.
∴OA=AB+OB=8+1=9.
∴点A（0，－9）.
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，
把点A（0，－9），D（6，－1）代入，得
解得
∴直线AD的函数表达式为
.
课堂小结
圆
旋转
旋转对称及其性质
中心对称及其性质
旋转对称图形
中心对称图形
圆的基本性质
垂径分弦
等圆心角
圆的确定
连半径，作弦心距，构造直角三角形
等弧
等弦
等弦心距
三角形的外接圆
圆周角
圆内接四边形的性质
作弦，构造直径所对的圆周角
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置的关系
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
与圆有关的计算
正多边形的计算
弧长与扇形面积的计算
切线的判定与性质(共27张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.2
圆的基本性质
第4课时
圆的确定
第24章
圆
学习目标
1.
理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.
(重点)
2.
理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.
(难点)
3.
了解反证法的证明思想.
导入新课
情境引入
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
要确定一个圆必须
满足几个条件?
讲授新课
过不共线三点作圆
一
问题1
如何过一个点
A
作一个圆？过点
A
可以作多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
·
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
问题2
如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少
个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
问题3
过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
O
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
?经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
这个圆的圆心需要满足什么条件？
作法：
1.
连接AB，AC；
2.
分别作线段AB，AC的垂直平
分线，设它们交于点O；
3.
以点O为圆心、OB为半径作圆.
则⊙O即为所作.
O
A
B
C
定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
有且只有
位置关系
归纳总结
O
A
B
C
问题4
现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:
1.
在圆弧上任取三点A、
B、C；
2.
作线段AB、BC的垂
直平分线，其交点O
即为圆心；
3.
以点O为圆心，OC长
为半径作圆.
⊙O即为所求.
A
B
C
O
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？
●
●
●
B
A
C
练一练
根据前面学习的定理，若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过这个三角形三个顶点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
二
概念学习
这个三角形叫做圆的内接三角形.
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心.
●O
A
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
判断：
(1)
任意的一个三角形一定有一个外接圆
(
)
(2)
任意一个圆有且只有一个内接三角形
(
)
(3)
经过三点一定可以确定一个圆
(
)
(4)
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
(
)
√
×
×
√
练一练
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
例1
如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是
．
典例精析
解析：由图可知
△ABC
外接圆的圆心在
BC的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线
y＝－1
上，也在线段
AB的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线
y
＝
x＋1
上，将上面两个式子联立，解得
x＝－2，
y＝－1，则两线交点坐标即圆心坐标为(－2，－1)．
(－2，－1)
例2
如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC，如图.
D
则OD
=
5cm，
在Rt△OBD中，
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
A
B
C
反证法
三
观察与思考
l
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上.
这样，经过点P便有两条直线l1，l2都垂直于直线l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
l
上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法．
①反设：假设命题的结论不成立；
②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结
论成立.
知识要点
反证法的一般步骤
例3
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点O1，O2.
求证：∠EO1B=∠EO2D.
A
B
C
D
E
F
O1
O2
证明：假设∠EO1B≠∠EO2D，过点O1作直线A'B'，使∠EO1B'=∠EO2D，
∴A'B'∥CD.
这样，过点O1就有两条直线AB，A′B′平行于直线CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，即∠EO1B≠∠EO2D的假设不成立.
∴∠EO1B=∠EO2D.
A'
B'
1.判断：
（1）经过三点一定可以作圆
（
）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点
（
）
（3）三角形的外心到三边的距离相等
（
）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内
（
）
√
×
×
×
当堂练习
2.
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小
明带到商店去的一块玻璃碎片应该是
（
）
A．第①块
B．第④块
C．第③块
D．第②块
D
3.
如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是
（
）
M
R
Q
A
B
C
P
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
4.
如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为
．
(6，2)
O
5.
已知：在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
则它的外接圆半径=
.
5
6.
如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC
的外心，求∠ACB的度数．
解：∵点O为△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.
∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，
∴∠OCA＋∠OCB＝90°，
即∠ACB＝90°.
7.
用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，
在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，
连接OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，
过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，
故一个圆只有一个圆心．
课堂小结
圆的确定
圆的确定
三角形的外接圆
反证法
不在同一直线上的三个点确定一个圆
外接圆
外心
内接三角形
三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等(共24张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.6
正多边形与圆
第1课时
正多边形的概念及正多边形与
圆的关系
第24章
圆
学习目标
1.
了解正多边形的有关概念.
2.
理解并掌握正多边形与圆的关系.（重点）
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
导入新课
图片引入
讲授新课
正多边形的概念及相关计算
一
问题1
观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角也相等.
观察与思考
知识要点
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
问题2
n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如何计算？
n边形的内角和为
正n边形的每个内角的度数为
问题3
n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角为a度，如何求n的值？
n边形的外角和为360°
正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度.
故
1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的是正____边形.
十
练一练
2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
A
例1
如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
典例精析
证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°.
∵BG=CH，
∴△ABG≌△BCH.
解：由（1）知，△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠CBH，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
（2）求∠APH的度数．
正多边形与圆的关系
二
问题
如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE
.分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
·
A
O
E
D
C
B
探究1
五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
①
②
AB____BC____CD____DE____AE.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
④
∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.
＝
＝
＝
＝
③
＝
＝
＝
＝
∵
顶点A，B，C，D，E都在☉O上，
∴
五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.
归纳总结
探究2
五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.连接OA，OB，OC.则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∵
TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，
∴
△PAB≌△QBC，
∴
∠P=∠Q，PQ=2PA.
同理，得
∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA.
∵五边形PQRST的各边与☉O相切，
∴五边形PQRST是☉O的外切正五边形.
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正n边形.
归纳总结
例2
利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
解：内接正方形的做法：
（1）用直尺作圆的一条直径AC；
A
C
O
（2）作与AC垂直的直径BD；
B
D
（3）顺次连接所得的圆上四点.
四边形ABCD即为所求作的正方形.
再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
O
解：内接正六方形的做法：
（1）用直尺作圆的一条直径AD；
（2）以点A为圆心，OA为半径作圆，
与⊙O交于点B、F；
（4）顺次连接所得的圆上六点.
六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
A
D
B
F
（3）以点D为圆心，OD为半径作圆，
与⊙O交与点C、E.
C
E
如果再逐次等分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等.
方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角
器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正n边形).
例3
如图，⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．
解：连接BD，如图．
在Rt△CBD中，
∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，
∴△DEB∽△FEC.
当堂练习
2.如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为_____.
1.如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6
B．11
C．12
D．18
C
108°
3.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为________.
解析：连接BE、AE，如图所示.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE
=
90°，∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径，∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，
∴BE=8，即则B、E两点间的距离为8.
8
4.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM．
∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM=75°．
5.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，
CD=CB，
∴∠1=36°，
∴∠2=108°-36°=72°.
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180°-∠2-∠F=72°.
）
）
课堂小结
正多边形与圆
正多边形
正多边形与圆的关系
各边相等
各角相等
缺一不可
内接正多边形
外切正多边形(共28张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.4
直线与圆的位置关系
第2课时
切线的性质和判定
第24章
圆
学习目标
1.
会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点
作圆的切线.
2.
理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点）
3.
能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.
（难点）
导入新课
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
如图，如果直线
l
是
⊙O
的切线，点
A
为切点，那么
OA
与
l
垂直吗？如何证明？
A
l
O
切线的性质定理
一
观察与思考
讲授新课
证明：当直线
l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.
这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，
因为点B在⊙O外，所以OB
>OA.
这就是说，OA是点O到直线
l上任一点连线中最短的，
故OA⊥l.
于是我们可以得到：
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径.
B
A
O
l
A
l
O
∵直线l是⊙O
的切线，A是切点，
∴直线l
⊥OA.
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：
知识要点
如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=
.
60°
练一练
A
B
N
O
M
典例精析
例1
如图，点
O
是
∠BAC
的边
AC
上的一点，⊙O
与边
AB
相切于点
D，与线段
AO
相交于点
E，若点
P
是⊙O
上一点，且∠EPD
＝
35°，则
∠BAC
的度数为
( )
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
解析：连接OD，如图.
∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.
∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
A
例2
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于
B、C
两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)
求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，OA，OB为半径，
∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
(2)
若AP
＝
，求⊙O的半径．
∴
AO＝1，
即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝
，
O
A
B
P
C
A
B
C
已知⊙O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点
A作⊙O的切线？
作法：1.
连接OA.
2.
过点
A
作直线
BC⊥OA.
则直线
BC
即为所作.
切线的判定定理
二
O
观察与思考
为什么直线BC即为所作呢？
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵
OA为⊙O的半径，
BC
⊥
OA于A，
∴
BC为⊙O的切线.
A
B
C
切线判定定理
应用格式
O
知识要点
利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.
O.
O
O
(1)
(2)
(3)
(1)
不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
练一练
“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.
定义法：直线和圆只有一个公共点
时，我们说这条直线是圆的切线.
2.
数量关系法：圆心到这条直线的距
离等于半径
(即
d
=
r)
时，直线与
圆相切.
3.
判定定理：经过半径外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
知识要点
例3
如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.
证明：∵AB
=AC，∠ABC
=45°，
∴∠ACB
=∠ABC
=45°.
∴∠BAC
=180°-∠ABC-ACB
=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴
AC是☉O的切线.
A
O
C
B
例4
已知：直线
AB
经过
☉O
上的点
C，并且OA=OB，CA
=
CB.
求证：直线AB是☉O的切线.
O
B
A
C
提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明OC⊥AB即可.
证明：连接OC，如图.
∵
OA＝OB，CA＝CB，
∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB.
∵
OC是⊙O的半径,
∴
AB是⊙O的切线.
例5
如图，△ABC
中，AB
＝AC
，O
是
BC
的中点，
⊙O
与
AB
相切于
E.求证：AC
是⊙O
的切线．
B
O
C
E
A
提示：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE
，OA，过O
作OF
⊥AC，如图.
∵
⊙O
与AB
相切于E，∴OE
⊥
AB.
又∵△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC
的中点．
∴AO
平分∠BAC.
F
B
O
C
E
A
∴
OE
＝OF.
∴
AC
是⊙O
的切线．
又∵
OE
⊥AB
，OF⊥AC.
∵OE为⊙O
半径，
∴OF为⊙O
半径.
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8，
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
通过对比，你能得出什么结论？
作垂直
连接
方法归纳
(1)
有交点，连半径，证垂直
(如：例4)；
(2)
无交点，作垂直，证半径
(如：例5).
?证切线时辅助线的添加方法
?有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直
(如：例1).
要点归纳
当堂练习
1.
判断下列命题是否正确.
(1)
经过半径外端的直线是圆的切线.
（
）
(2)
垂直于半径的直线是圆的切线.
（
）
(3)
过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线.
（
）
(4)
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（
）
(5)
过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（
）
×
×
√
√
√
3.
如图，在☉O
的内接四边形
ABCD
中，AB
是直径，
∠BCD
=120°，过
D
点的切线
PD
与直线AB
交于
点P，则
∠ADP
的度数为
（
）
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
2.
如图，A
是☉O上一点，且
AO
=
5，PO
=
13，
AP
=
12，则
PA
与☉O
的位置关系是
.
A
P
O
第2题图
相切
C
P
O
第3题图
D
A
B
C
4.
如图，☉O切PB于点B，PB=4，PA=2，则☉O的半径
多少？
O
P
B
A
解：连接OB，如图.则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则
OA=OB=r，OP=OA+PA=r
+2.
在Rt△OBP中，
OB2
+
PB2=PO2，
即r2
+
42=
(2+r)2.
解得
r=3，
即⊙O的半径为3.
O
A
B
C
E
P
5.
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证：PE是⊙O的切线.
证明：连接OP，如图.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
6.
如图，O
为正方形
ABCD
对角线
AC
上一点，以
O
为
圆心，OA
长为半径的
⊙O
与
BC
相切于点
M.
求证：CD
与⊙O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，如图.
∵
⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD
对角线
AC
上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
7.
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
(1)
如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添
加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；②
_____________
.
(2)
如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF
是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：如图，连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.
∴
∠D
+
∠DAC=90
°，
∵
=
，
∴
∠D=
∠B.
又∵
∠CAE=
∠B，
∴
∠D=
∠CAE，
∴
∠CAE+
∠DAC=90°，
即AD⊥EF，
∴
EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.(共32张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.7
弧长与扇形面积
第1课时
弧长与扇形面积
第24章
圆
学习目标
1.
理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）
2.
会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
（重点）
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
导入新课
情境引入
图片来源：新浪体育
讲授新课
与弧长相关的计算
一
问题1
半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2
下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
观察与思考
(1)
圆心角是180°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算
已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为
知识要点
弧长公式
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的度数为n°，则
解得
n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
例1
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径
R
=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度？（假设绳索与
滑轮之间没有滑动，
取3.14）
典例精析
例2
古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法.
如图，点
S
和点
A
分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5
000希腊里(1
希腊里≈158.5
m).
当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
由此估算出了地球的周长，你能
进行计算吗？
O
α
A
S
）
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C，则
答：地球的周长约为39625km.
=250000
(希腊里)
≈39625
(km).
∴
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l
=2×700+1570
=2970
(mm).
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100
°
A
C
B
D
O
练一练
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
二
概念学习
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
合作探究
问题1
半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
___大小不变时，对应的扇形面积与
__
有关，
___
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的
不变时，扇形面积与
有关，
越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
问题
扇形的面积与哪些因素有关？
问题
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想
扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例3
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
1.
已知半径为2cm的扇形，其弧长为
，则这个扇形的面积S扇=
．
2.
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=
.
练一练
例4
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OC，如图．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°．
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，
在Rt△OCD中，
例5
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm2）
(1)
O
.
B
A
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
O.
B
A
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2)
水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.
过点O作OD垂直于AB并延长交圆O于C.
(3)
要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积
=
扇形AOB的面积
-
△OAB
的面积
C
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵
OC＝0.6，DC＝0.3，
∴
OD＝OC-
DC＝0.3，
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，
∴
AD是线段OC的垂直平分线，
∴
AC＝AO＝OC.
从而
∠AOD＝60?，∠AOB=120?.
O.
B
A
C
D
(3)
有水部分的面积：
S
=S扇形AOB
-
SΔOAB
O
B
A
C
D
(3)
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
知识要点
弓形的面积公式
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
当堂练习
C
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,
∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B按顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为
（
）
B．
C.
D.
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为
.
3.如图，☉A、☉B、
☉C、
☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
A
B
C
D
解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为
，圆心角为90°的扇形弧长之和，即
4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝
，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
5.
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
(精确到0.01cm2）
O
A
B
D
C
E
解：
6.
如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'
=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'
的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA'
所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂小结
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
公式(共21张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.3
圆周角
第24章
圆
第2课时
圆内接四边形
学习目标
1.
复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.
理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
1.
什么是圆周角？
导入新课
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
O
A
B
C
复习引入
2.
什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆内接四边形及其性质
一
观察图中的四边形，它有什么特点？
新课讲授
观察与思考
O
A
C
B
D
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
O
A
C
B
D
如图，四边形
ABCD为⊙O
的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
∠A
与∠C，∠B
与∠D之间
有什么关系？
问题1
猜想：
∠A
+
∠C
=180?，
∠B
+
∠D
=180?.
如何证明你的猜想？
证明：
由于弧BAD和弧BCD所对的圆心角之和是周角为360°，则
∠A＋∠C＝180°.
同理，得∠B＋∠D＝180°.
O
A
C
B
D
如图，延长DC
到E，∠A
与∠BCE有什么关系？
问题2
O
A
C
B
D
E
解：∠A
=∠BCE，理由如下：
∵∠A＋∠BCD
=180°，
∠BCD＋∠BCE＝180°.
∴∠A
=∠BCE.
归纳总结
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
O
A
C
B
D
E
如图，四边形ABCD是
的内接四边形，∠A
=110°，∠B
=
80°，则∠C
=
，∠D
=
，∠DCE
=
.
70°
100°
练一练
A
E
C
D
B
110°
⊙O
O
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x，3x，6x.
例1
在圆内接四边形ABCD中，
∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.
求这个四边形各角的度数.
∵
四边形ABCD内接于圆，
∴
∠A+
∠C=∠B+∠D=180°，
∵
2x+6x=180°，
∴
x
=
22.5°.
∴
∠A
=
45°，
∠B
=
67.5°，
∠C
=135°，
∠D
=180°-67.5°=112.5°.
典例精析
例2
如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC
为平行四边形，则∠OAD
＋∠OCD＝________度．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.
∴∠ADC＝180°÷3＝60°.
连接
OD，可得
AO＝OD，CO＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
60
如图，在⊙O的内接四边形
ABCD
中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是
( )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°.
故选A.
练一练
A
例3
如图，已知
A，B，C，D
是
⊙O
上的四点，延长
DC，AB
相交于点E.
若BC＝BE.
求证：△ADE是等腰
三角形．
证明：∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
当堂练习
1.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，
则∠D的度数是
(
)
A.
110°
B.
90°
C.
70°
D.
50°
A
A
C
D
B
O
2.
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立
(
)
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝
1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝
2∶1∶3∶4
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝
3∶2∶1∶4
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝
4∶3∶2∶1
B
3.
如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，
则∠APB
=
.
120°
A
B
C
P
4.
若⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C
=
1∶2∶3
，则∠D
=
.
90°
O
5.
在
⊙O中，∠CBD
=30°，∠BDC
=20°，求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°，
∴∠C=180°－∠CBD－∠BDC=130°，
∴∠A=180°－∠C=50°.
6.
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，
AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
7.
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分
别交于点E，F．
(1)
若∠E+∠F=α，求∠A的度数
(用含α的式子表示)
；
∵∠E+∠F=α，
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∴∠A+∠E
=∠EBF=180°－∠BCF－∠F，
=180°－∠A－∠F，
即
2∠A=180°－(∠E+∠F).
∴
(2)
若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
解：当α
=60°时，
课堂小结
一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
圆内接四边形
定义
定理(共22张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.4
直线与圆的位置关系
第3课时
切线长定理
第24章
圆
学习目标
1.
掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.
初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
（难点）
导入新课
情境引入
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
讲授新课
切线长定理及应用
问题1
我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线.
那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
O.
P
A
B
合作探究
你可以作几条？
作法：1.
连接OP.
2.
以OP为直径作圆，设此圆
交⊙O于点A，B.
3.
连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
?切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
知识要点
O.
P
A
B
?过圆外一点能够作圆的两条切线.
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
?切线长与切线的区别
O，A，B，P四点共圆哦！
问题2
沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？
O
P
A
B
解：PA
=
PB，
∠APO
=∠BPO.
试着自己证明.
证明：连接OA，OB，如图.∵
PA切☉O于点A，
∴
OA⊥PA.
同理可得
OB⊥PB.
∵
OA
=
OB，OP
=
OP，
∴
Rt△OAP
≌
Rt△OBP，
∴
PA
=
PB，∠APO
=∠BPO.
切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵
PA、PB分别切☉O于A、B，
∴
PA
=
PB，
∠OPA=∠OPB.
几何语言：
O
P
A
B
知识要点
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
1.
若连接两切点A、B，AB交OP于点M.
你又能得出什
么新的结论?
请给出证明.
解：OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，
PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
M
想一想：
O
P
A
B
2.
若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么
新的结论?
请给出证明.
证明：∵
PA，PB是⊙O的切线，点
A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
又∵
PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB，
∴CA=CB.
解：CA=CB.
C
O
P
A
B
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
(1)
写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
(3)
写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
(4)
写出图中所有的等腰三角形.
△ABP，△AOB.
(2)
写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
例1
已知：如图，四边形
ABCD
的边
AB、BC、CD、
DA
与
⊙O
分别相切于点
E、F、G、H.
求证：AB+CD=DA+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O相切，E、F、G、H是切点，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴
AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即AB+CD=AD+BC.
典例精析
例2
如图，PA、PB
分别与
⊙O
相切于点
A、B，⊙O
的切线
EF
分别交
PA、PB
于点
E、F，切点
C
在弧
AB上.若PA长为2，则△PEF的周长是________．
解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点
A、B，所以PA＝PB.因为
⊙O
的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA
＝
EC，CF
＝
BF，所以△PEF
的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.
4
例3
如图，PA、PB
是
⊙O
的切线，切点分别为
A、B，点
C
在⊙O上，如果
∠ACB＝70°，那么
∠OPA
的度数是________度．
解析：如图，连接OA、OB.
∠AOB＝2∠ACB＝140°.
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴O，A，P，B四点共圆，OP平分∠APB，
∴∠APB＝180°－∠AOB
＝180°－140°
＝40°＝2∠OPA.
∴∠OPA＝20°.
故答案为
20.
20
如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB
于点D、E.
已知△PDE的周长为14，∠P=40°.
则
(2)
∠DOE=
.
(1)
PA=
；
7
O
P
A
B
C
E
D
70°
练一练
例4
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
O
5cm
5cm
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
Q
解：设铁环的圆心为
O，连接OP、OA,过
O
作
OQ⊥AB
于
Q.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
∴
O
B
C
1.
如图，PA、PB是☉O
的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4，∠APB=
40
°，则∠APO
=
，PB
=
.
B
P
O
A
当堂练习
20
°
4
2.
如图，从☉O
外一点P引☉O的两条切线PA、PB，切
点分别为A、B，如果∠APB=
60°，PA=8，则弦
AB
=
.
B
P
O
A
8
第1题图
第2题图
3.
如图，AB、AC、BD是☉O的切线，P、C、D为切点，
如果AB=
5，AC=3，则BD
=
.
B
P
O
A
C
D
2
4.
如图，四边形
ABCD
的四条边分别与
⊙O
相切，且
AB
=16，CD=10，则四边形的周长为
.
·
A
B
C
D
O
第3题图
第4题图
52
5.
如图，△ABC三边都与⊙O
相切，求证：AB
+
CF
=
AC
+
BF.
证明：∵△ABC三边都与⊙O
相切，
∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，
∴①+②+③得，
AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF.
F
E
D
C
B
A
O
6.
如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是
AB上一点，
以O为圆心，OB
为半径的圆与
AB
交于E，与AC相切
于点D.
求证：DE∥OC.
证明：方法①：连接OD，如图.
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴
∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD=OB
，OC=OC，
∴
Rt△ODC
≌
Rt△OBC（HL），
∴
∠DOC=∠BOC.
∵
OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
方法②：连接BD，如图.
∵BC⊥AB，
∴BC切⊙O于点B，
又∵AC切⊙O于点D，
∴DC=BC，CO平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.(共25张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.4
直线与圆的位置关系
第1课时
直线与圆的位置关系
第24章
圆
学习目标
1.
理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.
能根据圆心到直线的距离
d
和圆的半径
r
之间的数
量关系，判断出直线与圆的位置关系.
(重点)
点和圆的位置关系有几种？
复习引入
点P在⊙O内
r
P
d
d
＜
r
P
r
d
点P在⊙O上
d
r
=
P
r
d
点P在⊙O外
d
＞
r
导入新课
O
O
O
用定义判断直线与圆的位置关系
一
在纸上画一条直线l，把瓶盖的边缘看作圆，在纸上移动瓶盖，直线和圆的公共点的个数是否发生变化？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
观察与思考
讲授新课
直线与圆的
位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
根据你的发现填表：
割线
知识要点
(2)
如果直线与圆只有一个公共点，
这时直线与圆的位置关系叫做相
切，这条直线叫做圆的切线，这
个公共点叫做切点.
(1)
如果直线与圆有两个公共点，这
时直线与圆的位置关系叫做相交，
这条直线叫做圆的割线.
(3)
如果直线与圆没有公共点，这时
直线与圆的位置关系叫做相离.
O
O
O
1.
直线与圆最多有两个公共点.
2.
若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
3.
若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
4.
若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交
或相离.
5.
直线a
和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
判断：
√
×
×
×
×
练一练
圆与直线从相交到相离的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还有什么量在改变？
用数量关系判断直线与圆的位置关系
二
观察与思考
它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
O
O
O
l
l
l
怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线l与⊙O的位置关系呢？
O
d
思考：
l
合作探究
直线和圆相交
d<
r
直线和圆相切
d=
r
直线和圆相离
d>
r
r
d
r
d
r
d
位置关系
数量关系
用圆心
O
到直线l的距离
d
与圆的半径
r
的关系来判断直线与圆的位置关系：
o
o
o
知识要点
l
l
l
1.
已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d
：
(3)
若d=8cm，则直线与圆______，直线与圆有____个
公共点.
(2)
若d
=6cm，则直线与圆______，直线与圆有____个
公共点；
(1)
若d
=4cm，则直线与圆 ，直线与圆有____个
公共点；
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
(3)
若AB和⊙O相交，则
.
2.
已知⊙O的半径为5cm，圆心O与直线AB的距离为d，
根据条件填写d的取值范围：
(1)
若AB和⊙O相离，则
；
(2)
若AB和⊙O相切，则
；
d
>
5cm
d
=
5cm
0
cm
≤
d
<
5
cm
例1
如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°.
(1)
以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
A
C
B
解：
过点C作边AB上的高CD.
D
∵∠A=30°，AB=10cm，
在Rt△BCD中，有
当半径为
时，AB与☉C相切.
典例精析
∴∠B=60°，
(2)
以点C为圆心、半径
r
分别为
4cm
和
5cm
作两个圆，
这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
A
C
B
D
当r
=4cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r
=5cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
解：由
(1)
可知圆心
C
到
AB
的距离
B
C
A
4
3
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以
C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？
(1)
r
=2cm；(2)
r
=2.4cm；(3)
r
=3cm．
D
练一练
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB
=
5.
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心
C
到
AB
的距离
d
=
2.4
cm.
∴
(1)
当r
=2cm时，
有d
>r，
因此，⊙C和AB相离.
(2)
当r
=2.4cm时，有d
=
r，
因此，⊙C和AB相切.
(3)
当r=3cm时，有d
<
r，
因此，⊙C和AB相交.
A
B
C
A
D
4
5
3
2.
Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为
圆心画圆.
(1)
当半径r为何值时，⊙C与线段AB有一个公共点？
(2)
当半径r为何值时，⊙C与线段AB有两个公共点？
(3)
当半径r为何值时，⊙C与线段AB没有公共点？
(3)
当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时，⊙C与
线段AB没有公共点.
解：(1)
当r
=
2.4cm或
3cm
≤
r＜4cm时，
⊙C与线段AB有一个公共点.
(2)
当2.4cm＜r≤3cm
时，⊙C与线段AB有两个公共点.
例2
如图，在平面直角坐标系中，⊙A
与
y
轴相切于原点
O，平行于
x
轴的直线交
⊙A
于
M、N
两点．若点
M的坐标是
(－4，－2)，则点
N
的坐标为
( )
A．(－1，－2)
B．(1，2)
C．(－1.5，－2)
D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于点Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理得r2＝4＋(4－r)2，解得r＝2.5，可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.
A
当堂练习
.O
.O
.O
.O
.O
1.
看图判断直线l与☉O的位置关系？
相离
相交
相切
相交
?
相交
l
l
l
l
l
2.
直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离
为5，则有
（
）
A.
r
<
5
B.
r
>
5
C.
r
=
5
D.
r
≥
5
3.
☉O的半径为5，直线l上的一点P到圆心O的距离是5，
则直线
l
与☉O的位置关系是
（
）
A.
相交或相切
B.
相交或相离
C.
相切或相离
D.
上三种情况都有可能
B
A
解析：分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选A.
5.
☉O的最大弦长为
8，若圆心
O
到直线l的距离为d
=
5，则直线l与☉O
.
相离
4.
已知圆的半径等于
5，直线
l
与圆没有交点，则圆心
到直线
l
的距离
d
的取值范围是________．
d
＞5
6.
如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为
圆心，
OB长为半径作
⊙O，要使射线BA与⊙O相
切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转
( )
A．40°或80°
B．50°或100°
C．50°或110°
D．60°或120°
C
7.
如图，M是OB上的一点，且OM
=
5
cm，以M为圆心，
半径
r
=
2.5cm
作⊙M.
试问：过
O
的射线
OA
与
OB
（OA
在
OB的上方）所夹的锐角α取什么值时射线OA
与⊙M
(1)相离；(2)相切；(3)相交.
O
B
A
M
5
α
解：(1)30°＜∠α＜90°.
(2)∠α
=
30°.
(3)∠α＜30°.
8.
已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d
是方程
x2－2x＋a＝0
的两根，当直线m与⊙O相切时，
求a的值．
解：∵直线
m
与⊙O相切，
∴d
＝R，即方程
x2－2x＋a＝0
有两个相等的根，
∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.
课堂小结
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d与r的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：若图中没有d要先作出该垂线段
相离:0个
相切：1个
相交：2个
相离:d>r
相切:d=r
相交:d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离
d=r:相切
d导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.1
旋转
第1课时
旋转的概念和性质
第24章
圆
学习目标
1.
掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点）
2.
能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单
作图.（难点）
导入新课
这些运动有什么共同的特点？
情境引入
讲授新课
旋转的概念
一
B
O
A
45
°
问题
观察下面的现象，它有什么特点？
观察与思考
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对
应
点
旋转的定义
这个定点叫做旋转中心.
转动的角称为旋转角.
图中的点
P
旋转后成为点
P'，这两个点叫做对应点.
知识要点
若叶片
A
绕
O
顺时针旋转到叶片
B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____，其中的对应点有_______、
_______、
_______、
_______、
_______、
_______
.
O
∠AOB
60°
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
填一填：
A
C
D
E
F
B
O
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
注意：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、
旋转方向、旋转角度”称为旋转的三要素；
②旋转变换同样属于全等变换.
归纳：
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
例1
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为
(
)
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C.
C
C
D
A
B
O
典例精析
旋转的性质
二
A
B
B′
A′
C
．
M′
M
．
．
．
．
45°
绕点C逆时针旋转45°.
△ABC如何运动到△A′B′C的位置？
合作探究
N'
N
旋转中心是点__________；
图中对应点有
；
图中对应线段有_____________________________________.
每对对应线段的长度有怎样的关系？
图中旋转角等于________.
C
点A与点A′，点B与点B′，点M与点M′，点N与点N′
线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′
45°
相等
根据上图填空.
B'
A'
C'
A
B
C
O
线段：
AO=A'O
，BO=B'O
，CO
=C'O
角：∠AOA'=∠BOB'
=∠COC'
观察下图，你能找到相等的角和线段吗？
D
E
A
B
F
C
O
1.
对应点到旋转中心的距离相等；
2.
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，
都等于旋转角；
3.
旋转中心是唯一不动的点.
旋转的性质
知识要点
A
B
O
例2
下图为
4×4
的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，将
△OAB
绕点
O
逆时针旋转
90°，你能画出
△OAB
旋转后的图形
△O′A′B′
吗？
A′
B′
例3
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′.
由旋转性质知BE=BE′，∠EBE′=90°，
∴∠BE'E=45°，
EE′
在△EE′C中，E′C=1，CE=3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C
=
90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C
=
135°.
135
D
A
B
C
E
E′
例4
如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
（1）求证：△BA1D≌△BCF；
（2）当∠C=α°时，判定四边形A1BCE的形状，并说
明理由．
A
C
B
A1
C1
E
D
F
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C.
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBF，
在△BA1D与△BCF中，
△BA1D≌△BCF.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
(2)解：四边形A1BCE是菱形，理由如下：
∵∠FBC=∠C=α°，∠C=∠C1=α°，
∴∠FBC=∠C1，A1C1∥BC，
∴∠C1EC=∠C.
又∵△ABC，△A1BC1为等腰三角形，
∴∠A1=∠C1=∠C，∠A1=∠C1EC，
∴A1B∥CE，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
又∵
A1B=BC，
∴□A1BCE是菱形.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
旋转对称图形
三
活动
如图，在硬纸板上剪下两张如下图形，然后将它们叠放在一起，在其中心钉上一枚图钉，然后旋转上面的硬纸板，旋转一定角度后，它能与下面的硬纸板重合吗？
合作探究
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
θ
(0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.
知识要点
做一做
下图中不是旋转对称图形的是
(
)
B
例5
如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是
(
)
A．60°
B．72°
C．90°
D．144°
解析：如图，点O是五角星的中心，
则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=
∠AOE，
∵它们都是旋转角，且它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，
才能使正五角星旋转后与自身重合．故选B．
B
O
A
B
D
E
C
一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
(
)
A．360°
B．270°
C．180°
D．90°
解析：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．
C
练一练
1.
下列事件中，属于旋转运动的是
(
)
A．小明向北走了4米
B．小朋友们在荡秋千时做的运动
C．电梯从1楼上升到12楼
D．一物体从高空坠下
B
当堂练习
2.
下列图形中，旋转对称图形的个数为
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
3.
要使下图中的图形旋转后与自身重合，至少应将它
绕中心按逆时针方向旋转的度数为
(
)
A．30°
B．60°
C．120°
D．180°
解析：图形可看作是正六边形被平分成六部分，故每部分被分成的角是60°，故旋转60°的整数倍就可以与自身重合．故选B.
B
4.
△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.
已知∠AOB
=20
°，∠
A′OB
=24°，AB=3，OA=5，
则A′B′
=
，OA
′
=
，旋转角为
°.
3
5
44
5.
如图，正方形A′B′C′D′是由正方形ABCD按顺时针方向
旋转45°而成的.
（1）若AB=4，则S正方形A′B′C′D′
=
；
（2）
∠BAB′=
，∠B′AD=
.
（3）若连接BB′，则∠ABB′=
.
16
45°
45°
67.5°
A
B
C
D
E
6.
如图，将
Rt△ABC
绕点
A
按顺时针方向旋转一定
角度得
Rt△ADE，点
B
的对应点
D
恰好落在
BC
边上.若
AC
=
，∠B
=
60
°，则
CD
的长为
.
1
解析：∵Rt△ABC
中，
AC
=
，∠B
=
60
°，
∴
AB=1，BC=2.
由旋转得，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=1，
∴CD=BC－BD=2－1=1.
7.
在图中，将大写字母
A
绕它上侧的顶点按逆时针方
向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母
A
向左平移
5
个单位的图案．
A
C
B
E
D
C1
B1
D1
E1
A2
C2
B2
E2
D2
能力提升：
8.
K
是正方形
ABCD
内一点，以
AK
为一边作正方形
AKLM，使
L、M
在
AK
的同旁，连接
BK
和
DM，
试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系和位
置关系.
解：BK=DM，BK
⊥DM.
简要思路：由题意知，△ABK绕点
A逆时针旋转
90°得到△ADM，由旋转性质可知
BK=DM，BK
⊥DM.
A
B
C
D
K
L
M
课堂小结
定义
三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度
性质
①对应点到旋转中心的距离相等；
②两组对应点分别与旋转中心的连线所成
的角相等，都等于旋转角；
③旋转中心是唯一不动的点.
旋转对称图形
旋转的概念和性质(共26张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.5
三角形的内切圆
第24章
圆
学习目标
1.
了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
2.
掌握三角形内心的性质并能加以应用.
(重点)
3.
学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思
想.
(难点)
导入新课
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
情境引入
讲授新课
三角形内切圆的相关概念
一
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
观察与思考
最大的圆与三角形三边都相切
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内
心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
知识要点
三角形内切圆的作法及内心的性质
二
观察与思考
问题1
如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心O在∠ABC的平分线上.
N
C
O
M
A
B
C
O
A
B
问题2
如图，如果⊙O与
△ABC的内角∠ABC
的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心O在∠ABC与∠ACB这两个角的平分线的交点上.
线段AO，BO
，CO
分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线.
F
E
D
线段线段OD，OE，
OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径.
作法：
1.
作∠ABC，∠ACB的平分线BE，
CF，设它们交于点O.
2.
过点O作OD⊥BC于点D.
3.
以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
问题3
现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
C
O
A
B
F
E
D
三角形内心的性质：
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
知识要点
C
O
A
B
F
E
D
例1
如图，△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB=61
°，点
I
是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点
I
是△ABC的内心，
∴
BI，CI
分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
在△IBC中，
典例精析
例2
如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.
圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为如下所示的几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：
如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD，如图.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的平分线，
△ABC是等边三角形,
∴
∠OAB=∠OBA=30°.
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD=
AB=1.5(cm).
∴OD=AD·
tan30°=
(cm)
答:圆柱底面圆的半径为
cm.
例3
△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由
BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴
AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得
x=4.
A
C
E
D
F
O
B
比一比
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.点O到三边的距离相等
2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
C
A
B
O
D
1.求边长为6
cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
∠ABC=60°，OD⊥BC，BO平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,
△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
练一练
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.
sin∠OBD
=
sin30°=
C
A
B
R
r
O
D
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2.设△ABC的面积为S，周长为L，
△ABC内切圆
的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：如图，过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BE=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以
b
a
（3）若∠BIC=100
°，则∠A
=
度.
当堂练习
（2）若∠A=80
°，则∠BIC
=
度.
130
20
1.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索：
∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____步．
6
解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式
求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度.
O
3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心
B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形
D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是△ABC的内心.故选Ａ.
Ａ
4.如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
拓展提升：
直角三角形的两直角边分别是3cm
，4cm，试问：
（1）它的外接圆半径是
cm；内切圆半径是
cm.
（2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.
2.5
1
解：如图，设☉O与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
课堂小结
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
有关概念
内心概念及性质
应用(共28张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.2
圆的基本性质
第2课时
垂径分弦
第24章
圆
1.
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
视频引入
导入新课
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道
如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理及其推论
一
合作探究
问题1
在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
讲授新课
问题2
已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB，
（或
）.
·
O
A
B
D
E
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，
所以⊙O关于直线CD对称.
当把圆沿
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
合，
与
重合，
与
重合.
因此
AE=EB，
，
.
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，
⌒
⌒
AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
(1)
CD⊥AB吗？为什么？
(2)
·
O
A
B
C
D
E
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
解：(1)CD⊥AB，理由如下：
连接AO，BO，如图，则AO=BO.
又∵AE=BE，OE=OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
·
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
一
垂径定理及其推论的计算
二
典例精析
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，
OE=6cm，则AB
=
cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，如图.
∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=2×8=16（cm）.
16
一
∴
例2
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC
=
2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
.
设
OC
=
x
cm，则OD
=
(x
－
2)cm，根据勾股定理，得
解得
x=5.
即半径OC的长为5cm.
x2
=
42
+
(
x－2)2
，
例3
已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径
MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴AM－CM＝BM－DM，
∴AC＝BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
三
由垂径定理，得
AD
=
1/2
AB
=
18.7
m，
设⊙O的半径为R，
在Rt△AOD中，AO=R，
OD=R-7.2，AD=18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
解得
R
≈
27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
∴R2
=
(R-7.2)2
+18.72.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
1/2a
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.已知⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°,
则弦AC=
.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
14cm或2cm
当堂练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴
AE=AD，
∴
四边形ADOE为正方形.
∴
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE，
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接
OC，如图.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为
R
m，
则OF
=
(R-90)
m.
∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=300(m).
根据勾股定理，得
∴R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
∴
拓展提升：
7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
课堂小结(共27张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
24.6
正多边形与圆
第2课时
正多边形的性质
第24章
圆
学习目标
1.
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概
念.（重点）
2.
掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）
导入新课
问题1
什么是正多边形？
问题2
如何作出正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
复习引入
讲授新课
正多边形的性质
一
O
A
B
C
D
问题1
以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
∵EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
∵GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
观察与思考
O
A
B
C
D
E
F
G
H
∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC和∠ADC的平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想：
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形
的中心角.正多边形的每个中心角都等于
.
正多边
形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60
°
120
°
120
°
90
°
90
°
90
°
120
°
60
°
60
°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；
③△OBC是
三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
倍.
⑤圆内接正n边形面积公
式：________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
二
探究归纳
S正多边形=周长×边心距/2
例1
有一个亭子,它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的面积
(精确到0.1
m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
典例精析
B
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点O作OM⊥BC于M.易得△OBC为正三角形.
∴BC=OB=4.
例2
求边长为a的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.
F
A
B
C
D
E
O
G
∵
多边形ABCDEF为正六边形，
∴
∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴
l=6BC=6a.
在△BOC中，有
∴
(1)
正n边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
(2)
正n边形的边长a，半径R，边
心距r之间有什么关系？
a
R
r
(3)
边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
想一想：
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是
（
）
A．60°
B．45°
C．
36°
D．
30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
2.
作边心距，构造直角三角形.
1.
连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
B
M
中心角一半
画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
要点归纳
例3
如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
(1)
在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
(2)
两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
(1)
在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.
∴∠GAB=135°-∠HAG=112.5°．
∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．
同理，可得CE∥BF，
∴CE∥AG.
P
N
M
Q
解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=
∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．
即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．
(2)
两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
在Rt△PAH中，
∵∠PAH=45°，AB=2，
P
N
M
Q
故S四边形PQMN
=
2.
若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个
正多边形的边数是
.
当堂练习
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
1.
填表：
2
1
2
8
4
2
2
12
3
4.
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要
cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.
如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看
作为正七边形，则一个内角为
度.（不取近
似值）
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
A
B
C
D
E
F
P
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为
，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
G
拓广探索
7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)图①中∠MON=_______;图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90°
72°
120°
图①
图②
图③
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
