第十章 进阶突破
1．如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的三点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点．已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，AB间距离为L，静电力常量为k，则( )
A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差为
B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小
C．OB间的距离为
D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能
2．水平线上的O点放置一点电荷，图中画出了电荷周围对称分布的几条电场线，如图所示．以水平线上的某点O′为圆心，画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，则下列说法正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
C．a点电势高于c点电势
D．电子在d点的电势能大于在b点的电势能
3．如图所示，在匀强电场中有一长方形ABCD，边长AB＝12
cm、BC＝16
cm，匀强电场方向与长方形ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝15
V，φB＝－3
V，φC＝－35
V，则匀强电场的电场强度大小和方向为( )
A．300
V/m，沿AB方向
B．250
V/m，沿AC方向
C．200
V/m，沿AD方向
D．150
V/m，沿BD方向
4．(多选)某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图像如图所示，φ－x图像关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等．将一电荷从x轴上的a点由静止释放后粒子沿x轴运动到b点，运动过程中粒子只受电场力作用，则下列说法正确的是( )
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为零
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b电场力对电荷先做正功，后做负功
5．如图所示，半径为R的圆形框架竖立在水平面上，所在空间还有一匀强电场，方向与竖直平面平行．将一带电小球从A点(与圆心等高)沿各个方向以大小相等的速度v0抛出，发现它碰到框架B点时的速度最大，B点与圆心O的连线与水平方向成45°，则( )
A．v0水平时，小球将做平抛运动
B．无论v0沿什么方向，小球都做加速运动
C．小球到达B点时的速度为(式中g为重力加速度)
D．若撤去电场，再将小球水平抛出，只要调整v0大小就可以垂直击中框架(边缘)
6．(多选)空间存在匀强电场，在电场中建立Oxyz空间坐标系如图所示，a、b、c三点分别在三个坐标轴上，距离原点O的距离ra＝rc＝2
cm，rb＝2
cm，d点在yOz平面上，且db⊥Ob．将带电荷量为q＝＋2.5×10－16
C的试探电荷从d点移到b点电场力做功为零，从a点移动到b点电场力做功W＝－1.2×10－14
J，b、O间电势差UbO＝24
V，由此可判断( )
A．空间电场强度的方向沿x轴正方向
B．空间电场强度的大小为8×102
V/m
C．c、O间电势差UcO＝24
V
D．电场中的等势面垂直于xOy平面
7．如图所示，两块平行、正对的金属板水平放置，分别带有等量的异种电荷，使两板间形成匀强电场，两板间的距离为d．有一带电粒子以某速度v0紧贴着A板左端沿水平方向射入匀强电场，带电粒子恰好落在B板的右边缘．带电粒子所受的重力忽略不计．现使该粒子仍从原位置以同样的方向射入电场，若使该粒子落在B板的中点，下列措施可行的是( )
A．仅使粒子的初速度变为2v0
B．仅使粒子的初速度变为
C．仅使B板向上平移
D．仅使B板向下平移d
8．有一种电荷控制式喷墨打印机，它的打印头的结构简图如图所示．其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室带上电后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经过偏转电场后打到纸上，显示出字符，不考虑墨汁的重力，为使打在纸上的字迹缩小(偏转距离减小)，下列措施可行的是( )
A．减小墨汁微粒的质量
B．减小偏转电场两极板间的距离
C．减小偏转电场的电压
D．减小墨汁微粒的喷出速度
9．(多选)如图，匀强电场中等腰直角三角形ABC，＝＝2
cm，D为AB边中点，电场方向与△ABC所在平面平行，规定B点的电势为0．将电荷量q＝－6×10－6
C的点电荷从A点移到B点，电场力做了－2.4×10－5
J的功，再将电荷从B点移到C点，电场力又做了1.2×10－5
J的功，则( )
A．点电荷q在D点具有的电势能为－1.0×10－5
J
B．A点的电势为4
V
C．该匀强电场的场强大小为100
V/m，方向垂直于CD连线指向B点
D．将△ABC绕B点顺时针旋转，无论转过多大的角度，A、C两点电势都不会相等
10．(多选)在水平向左的匀强电场中，一带电颗粒以速度v从a点水平向右抛出，不计空气阻力，颗粒运动到b点时速度大小仍为v，方向竖直向下．已知颗粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，则颗粒从a运动到b的过程中( )
A．做匀变速运动
B．速率先增大后减小
C．电势能增加了mv2
D．a点的电势比b点低
11．(多选)如图所示，地面上方分布着竖直向上的匀强电场．一带正电的小球从油中A处由静止释放后竖直下落，已知小球在AB段做加速运动，在BC段做匀速运动，M和N是小球下落过程中经过的两个位置．在此过程中，小球( )
A．在AB段的加速度大小逐渐增大
B．在N点的机械能比M点的小
C．机械能和电势能的总量保持不变
D．机械能的变化量大于电势能的变化量
12．在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50
N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2
m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场．质量m＝0.1
kg、带电荷量q＝＋1×10－2
C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入第
Ⅰ
象限后，从x轴上的A点进入第
Ⅳ
象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)，(0.4,0)，取重力加速度g＝10
m/s2．求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小．
13．在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问：
(1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？
(2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？
PAGE第十章 进阶突破
1．如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的三点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点．已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，AB间距离为L，静电力常量为k，则( )
A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差为
B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小
C．OB间的距离为
D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能
【答案】C
【解析】滑块从A到B过程，由动能定理得－qUAB－μmgL＝mv－0，得A、B两点间的电势差UAB＝－，故A错误；小金属块由A点向C点运动的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减小，故B错误；由题意知，A到B过程，金属块做加速运动，B到C过程做减速运动，在B点金属块所受的滑动摩擦力与库仑力平衡，则有μmg＝k，得r＝，故C正确；从B到C的过程中，小金属块的动能和电势能转化为内能，故D错误．
2．水平线上的O点放置一点电荷，图中画出了电荷周围对称分布的几条电场线，如图所示．以水平线上的某点O′为圆心，画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，则下列说法正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
C．a点电势高于c点电势
D．电子在d点的电势能大于在b点的电势能
【答案】B
【解析】由图看出，b、e两点电场强度的大小相等，但方向不同，电场强度是矢量，所以b、e两点的电场强度不同，故A错误；根据对称性可知，b、c两点间电势差与e、d两点间电势差相等，故B正确；根据顺着电场线电势逐渐降低可知，离点电荷O越远，电势越低，故a点电势低于c点的电势，故C错误；d点的电势高于b点的电势，由Ep＝qφ＝－eφ，则知电子在d点的电势能小于在b点的电势能，故D错误．
3．如图所示，在匀强电场中有一长方形ABCD，边长AB＝12
cm、BC＝16
cm，匀强电场方向与长方形ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝15
V，φB＝－3
V，φC＝－35
V，则匀强电场的电场强度大小和方向为( )
A．300
V/m，沿AB方向
B．250
V/m，沿AC方向
C．200
V/m，沿AD方向
D．150
V/m，沿BD方向
【答案】B
【解析】由几何关系知，AC＝20
cm，过B点作AC边上的高BO，BO＝0.8AB＝9.6
cm，AO＝0.6AB＝7.2
cm，AC之间的电势差UAC＝φA－φC＝50
V，在匀强电场中，电势降落与距离成正比，＝，所以UAO＝·UAC＝×50
V＝18
V，则φO＝－3
V，由此判断B、O两点等势，BO是等势线，电场强度方向与BO垂直，沿着AC方向，E＝＝
V/m＝250
V/m，故B正确．
4．(多选)某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图像如图所示，φ－x图像关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等．将一电荷从x轴上的a点由静止释放后粒子沿x轴运动到b点，运动过程中粒子只受电场力作用，则下列说法正确的是( )
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为零
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b电场力对电荷先做正功，后做负功
【答案】BD
【解析】此φ－x图像可视为在x轴上关于坐标原点对称的两个等量正点电荷，在它们连线上电势随x坐标变化的图像．由于a、b两点等电势，该电荷一定带正电，由动能定理可知，将一电荷从x轴上的a点由静止释放后沿x轴运动到b点，电荷到b点时动能为零，故A错误，B正确；电荷从O到b，电势升高，电荷的电势能增大，故C错误；电荷从a到b，电势能先减小后增大，电场力对电荷先做正功，后做负功，故D正确．
5．如图所示，半径为R的圆形框架竖立在水平面上，所在空间还有一匀强电场，方向与竖直平面平行．将一带电小球从A点(与圆心等高)沿各个方向以大小相等的速度v0抛出，发现它碰到框架B点时的速度最大，B点与圆心O的连线与水平方向成45°，则( )
A．v0水平时，小球将做平抛运动
B．无论v0沿什么方向，小球都做加速运动
C．小球到达B点时的速度为(式中g为重力加速度)
D．若撤去电场，再将小球水平抛出，只要调整v0大小就可以垂直击中框架(边缘)
【答案】C
【解析】由题意知抛出粒子碰到框架B点时的速度最大，B点与圆心O的连线与水平方向成45°，即B点为圆的等效最低点，则电场力水平向右，大小与重力相等．v0水平时因还受到水平方向的电场力作用，故不会做平抛运动，故A错误；当v0的方向斜向上大于45°，即与合力方向夹角大于90°时，小球会做减速运动，故B错误；小球从A点到B点，根据动能定理，再由几何关系有mgR＋mg＝mv－mv，解得vB＝，故C正确；若撤去电场，再将小球水平抛出，小球做平抛运动，根据平抛运动的推论知平抛运动中过初位置将初速度顺向延长、过末位置将末速反向延长，两线交点在水平位移的处，末速反向延长必定不过圆心，即末速不沿半径方向，末速度与框架不垂直，故D错误．
6．(多选)空间存在匀强电场，在电场中建立Oxyz空间坐标系如图所示，a、b、c三点分别在三个坐标轴上，距离原点O的距离ra＝rc＝2
cm，rb＝2
cm，d点在yOz平面上，且db⊥Ob．将带电荷量为q＝＋2.5×10－16
C的试探电荷从d点移到b点电场力做功为零，从a点移动到b点电场力做功W＝－1.2×10－14
J，b、O间电势差UbO＝24
V，由此可判断( )
A．空间电场强度的方向沿x轴正方向
B．空间电场强度的大小为8×102
V/m
C．c、O间电势差UcO＝24
V
D．电场中的等势面垂直于xOy平面
【答案】BD
【解析】试探电荷从d点移到b点电场力做功为零，说明匀强电场垂直于db，且db在等势面上，故电场中的等势面垂直于xOy平面，则电场平行xOy平面，故D正确；在xOy平面上的直角三角形aOb如图所示，a、b间电势差Uab＝＝－48
V，b、O间电势差UbO＝24
V，则原点O与ab中点电势相等，故过原点O作ab中点的连线Oe为等势线，三角形中a点电势最低，因此作Oe的垂线指向a即为xOy平面上的一条电场线，所以场强方向与x轴正方向成30°角，场强大小E＝
V/m＝8×102
V/m，故B正确、A错误；cO平行于db，故c、O间电势差为0，故C错误．
7．如图所示，两块平行、正对的金属板水平放置，分别带有等量的异种电荷，使两板间形成匀强电场，两板间的距离为d．有一带电粒子以某速度v0紧贴着A板左端沿水平方向射入匀强电场，带电粒子恰好落在B板的右边缘．带电粒子所受的重力忽略不计．现使该粒子仍从原位置以同样的方向射入电场，若使该粒子落在B板的中点，下列措施可行的是( )
A．仅使粒子的初速度变为2v0
B．仅使粒子的初速度变为
C．仅使B板向上平移
D．仅使B板向下平移d
【答案】B
【解析】带电粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，有x＝v0t，在沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，有d＝at2＝·t2，联立可得x2＝，现在要使x变为原来的一半，即x2为原来的四分之一，所以需要将粒子的初速度变为，A错误，B正确；仅使B板向上平移，则根据C＝可得电容增大为原来的两倍，根据U＝可得电压变为原来的，x2变为原来的，C错误；仅使B板向下平移d，同理可得电容变为原来的，电压变为原来的2倍，x2变为原来的2倍，D错误．
8．有一种电荷控制式喷墨打印机，它的打印头的结构简图如图所示．其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室带上电后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经过偏转电场后打到纸上，显示出字符，不考虑墨汁的重力，为使打在纸上的字迹缩小(偏转距离减小)，下列措施可行的是( )
A．减小墨汁微粒的质量
B．减小偏转电场两极板间的距离
C．减小偏转电场的电压
D．减小墨汁微粒的喷出速度
【答案】C
【解析】微粒以一定的初速度垂直射入偏转电场后做类平抛运动，则在水平方向上有L＝v0t，在竖直方向上有y＝at2，加速度为a＝，联立解得y＝＝，要缩小字迹，就要减小微粒在竖直方向上的偏转量y，由上式分析可知，可采用的方法：增大墨汁微粒的质量、增大偏转电场两极板间的距离、增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能Ek0(增大墨汁微粒的喷出速度)、减小偏转电场的电压U等，故A、B、D错误，C正确．
9．(多选)如图，匀强电场中等腰直角三角形ABC，＝＝2
cm，D为AB边中点，电场方向与△ABC所在平面平行，规定B点的电势为0．将电荷量q＝－6×10－6
C的点电荷从A点移到B点，电场力做了－2.4×10－5
J的功，再将电荷从B点移到C点，电场力又做了1.2×10－5
J的功，则( )
A．点电荷q在D点具有的电势能为－1.0×10－5
J
B．A点的电势为4
V
C．该匀强电场的场强大小为100
V/m，方向垂直于CD连线指向B点
D．将△ABC绕B点顺时针旋转，无论转过多大的角度，A、C两点电势都不会相等
【答案】BC
【解析】根据公式U＝则有UAB＝＝
V＝4
V，UBC＝＝
V＝－2
V，规定B点的电势为0，则φA＝UAB＝4
V，在匀强电场中沿着同一方向距离相等的任何两点间电势差相等，可得φD＝＝2
V，故点电荷q在D点具有的电势能为EpD＝φDq＝2×(－6×10－6)
J＝－1.2×10－5J，故A错误，B正确；规定B点的电势为0，则φC＝－UBC＝2
V，故连接CD则为一条等势面，过B作CD垂线则为一条电场线，如图所示，由几何关系得sin∠BCD＝＝，则E＝＝100
V/m，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向为垂直于CD连线指向B点，故C正确；将△ABC绕B点顺时针旋转，当转到AC与电场线垂直时则AC两点电势会相等，故D错误．
10．(多选)在水平向左的匀强电场中，一带电颗粒以速度v从a点水平向右抛出，不计空气阻力，颗粒运动到b点时速度大小仍为v，方向竖直向下．已知颗粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，则颗粒从a运动到b的过程中( )
A．做匀变速运动
B．速率先增大后减小
C．电势能增加了mv2
D．a点的电势比b点低
【答案】AC
【解析】颗粒受到的重力和电场力是恒力，所以颗粒做的是匀变速运动，故A正确；颗粒所受重力与电场力的合力斜向左下方，则颗粒的速率先减小后增大，故B错误；在沿电场方向，颗粒的动能减小量为ΔEk＝mv2，减小的动能转化为了颗粒的电势能，所以颗粒电势能增加了mv2，故C正确；在沿电场方向有qUab＝0－mv2，解得Uab＝－，所以a点的电势比b点低，故D错误．
11．(多选)如图所示，地面上方分布着竖直向上的匀强电场．一带正电的小球从油中A处由静止释放后竖直下落，已知小球在AB段做加速运动，在BC段做匀速运动，M和N是小球下落过程中经过的两个位置．在此过程中，小球( )
A．在AB段的加速度大小逐渐增大
B．在N点的机械能比M点的小
C．机械能和电势能的总量保持不变
D．机械能的变化量大于电势能的变化量
【答案】BD
【解析】小球在AB段做加速运动，在BC段做匀速运动，故AB段合力大于0，而BC段合力等于0，所以在AB段合力必然在减小，即在AB段的加速度大小逐渐减小，A错误；由于下落过程中，电场力和阻力始终做负功，导致小球的机械能减小，故B正确；下落过程中，阻力也会做功，导致部分机械能转化为内能，使机械能和电势能的总量减少，故C错误；下落过程中，小球的机械能不断减小，转化为电势能和内能，故机械能的减少量大于电势能的增加量，故D正确．
12．在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50
N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2
m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场．质量m＝0.1
kg、带电荷量q＝＋1×10－2
C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入第
Ⅰ
象限后，从x轴上的A点进入第
Ⅳ
象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)，(0.4,0)，取重力加速度g＝10
m/s2．求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小．
【答案】(1)1
m/s (2)5
V (3)
m/s
【解析】(1)小球进入竖直方向的匀强电场后做类平抛运动，小球带正电，受到的电场力方向竖直向上，根据牛顿第二定律，加速度a＝
解得a＝5
m/s2
根据平抛运动规律，小球沿水平方向做匀速运动，有xA＝v0t
竖直方向有yP＝at2
联立得v0＝xA
代入数据，解得v0＝1
m/s．
(2)设水平电场的电场强度大小为E，因未进入水平电场前，带电小球做类平抛运动，所以进入电场时竖直方向的速度vy＝
因为小球在水平电场区域恰好做直线运动，所以合外力的方向与速度方向在一条直线上，即速度方向与合外力的方向相同，有＝
解得E＝50
N/C
设小球在水平电场中运动的水平距离为l
＝
根据电势差与电场强度的关系有UAB＝El
解得UAB＝5
V．
(3)设小球在B点的速度大小为v，对小球运动的全过程，由动能定理，有
mv2－mv＝mg(yP＋d)＋qUAB－qE0yP
解得v＝
m/s．
13．在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问：
(1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？
(2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？
【答案】(1) (2)v0T (3)＋k·(k＝0,1,2，…) T
【解析】(1)由动能定理得e·＝mv2－mv
解得v＝．
(2)t＝0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向正极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子继续在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电场方向上的速度减到零，此时实际速度等于初速度v0，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；
要使电子恰能平行于极板飞出，则电子在OO′方向上至少运动一个周期，故极板长至少为L＝v0T．
(3)若要使电子从OO′平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，反向加速、再减速，每阶段时间相同，一个周期后恰好回到OO′上，可见应在t＝＋k·(k＝0,1,2，…)时射入
极板间距离要满足电子在加速、减速阶段不打到极板上，由牛顿第二定律有
a＝
加速阶段运动的距离s＝··2≤
解得d≥T
故两极板间距至少为T．
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