2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》单元综合课后提升训练（word版，含答案）

2021年人教版版 八年级数学下册第18章平行四边形单元综合课后提升训练（附答案）
1．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（　　）
A．28或32 B．28或36 C．32或36 D．28或32或36
6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B． C．1 D．2
7．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，）
8．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
10．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BC，且AB＝10，AD＝6，则OB的长度为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．4
11．已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
12．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线长为（　　）
A．4 B．5 C．3或5 D．4或5
13．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．不能确定
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
17．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH＝45°；②GF∥DE；③2OH+DH＝BD；④BG＝DG．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
20．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．9
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
23．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，下列判断中不正确的是（　　）
A．若AB＝BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是菱形
C．若AC平分∠BAD，则?ABCD是菱形
D．若AC＝BD，则?ABCD是菱形
24．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，
则PE+PF的值是　 　cm．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝　 　．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
27．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
28．如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．
（1）求证：△ADE≌△BDC；
（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；
（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
29．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
30．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）①当∠ACB等于多少度时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB等于多少度时，四边形ABDF为菱形．
31．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
32．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
33．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
34．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
35．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
36．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
37．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．
（1）求证：四边形CEGF是菱形；
（2）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长．
39．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形直尺的宽度相等，
∴DE＝DF，
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，
∴这个四边形一定是轴对称图形，
故选：C．
2．解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．
故选：B．
4．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
5．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
若以AC，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AC+BC）＝2×（6+8）＝28，
若以AC，AB为边，则平行四边形的周长＝2（AC+AB）＝2×（6+10）＝32，
若以AB，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+8）＝36，
故选：D．
6．解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠AEC，
∴BE＝BC＝5，
∵AB＝3，
∴AE＝BE﹣AB＝2，
故选：D．
7．解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：D．
8．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝20°，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，
∴∠ABD＝∠OHB＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OA＝OC，
∵AC⊥BC，AB＝10，
∴＝＝8，
∴AO＝CO＝AC＝4，
∴OB＝＝＝2；
故选：A．
11．
解：如图 ①AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边；
③∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边；
④∵BC∥AD，∴∠B+∠A＝180°，
∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边；
故选：B．
12．解：当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时，
由勾股定理得，斜边＝＝10，
则斜边上的中线＝×10＝5，
当8是斜边时，斜边上的中线是4，
故选：D．
13．解：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形，
故选：C．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO，
∵BO＝DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE，
∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，
∴BD＝13，
设DE＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴BE＝DE＝，
在Rt△BEO中，OE＝，
∴EF＝2EO＝，
∴菱形BEDF的面积＝，
故选：A．
15．解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，
∴DG＝AG＝CG＝EG，
在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
16．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
17．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故错误；
故选：B．
18．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°．
∵△BEC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE＝CE＝CD，∠ABE＝∠DCE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴∠DEF＝30°，
∴∠CEF＝45°．故①正确；
②∵∠EDC＝75°，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠DEF＝∠EDG．∠EGD＝75°．
∵∠ADC＝90°，∠DAF＝15°，
∴∠EFD＝75°，
∴∠EFD＝∠EGD．
在△DEF和△EDG中，
，
∴△DEF≌△EDG（AAS），
∴DF＝EG．
∵EC＝DC，
∴EC﹣EG＝DC﹣DF，
∴CG＝CF，
∴∠CGF＝∠CFG＝75°，
∴∠CED＝∠CGF，
∴GF∥ED．故②正确；
③由图可知2（OH+HD）＝2OD＝BD，所以2OH+DH＝BD此结论不正确；
④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，
∴∠BMC＝∠DNC＝90°，
设AB＝BC＝CD＝AD＝x，
∴BM＝x，DN＝x．
∵，
∴＝，
∴BG＝DG．故④错误；
故选：C．
20．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，
过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE＝CG，BE＝BE′，
∴E′G′＝AB＝3，
∵GG′＝AD＝6，
∴E′G＝＝＝3，
∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝6．
故选：C．
21．解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，
∵四边形AOCB为矩形，
∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝12，OC＝AB＝，
由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB＝，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝，AE＝，
∴ED＝，
∵DF∥y轴，
∴∠EDF＝∠EAO＝30°，
∴EF＝，DF＝3，
∴OF＝OE+EF＝，
∴D点坐标为（，﹣3），
故选：B．
22．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝AD，
∵AD＝6，
∴BD＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝BD＝3．
故选：A．
23．解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断?ABCD是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断?ABCD是菱形；
C、由AC平分∠BAD，可得四边相等，即可判断?ABCD是菱形；
D、由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断?ABCD是矩形．
故选：D．
24．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
25．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
故答案为：8．
26．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
27．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS））
∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴
∴四边形ADCF是菱形
28．（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠BDC，
在△ADE和△BDC中，，
∴△ADE≌△BDC（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△BDC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AEB＝36°，
∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠EDC＝180°﹣2×72°＝36°；
（3）证明：∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠DAE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DAE，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠OBE，
∴∠ADB＝∠DAE，
∴OA＝OD，
∴AE＝BD，
∵AD＝BD，
∴AE＝AD，
∵△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
29．（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中，，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
30．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
31．解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△AOD和△COB中，，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，
∴．
32．（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．
33．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
34．解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝2cm．
答：EF的长为2cm，
35．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
36．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．
37．（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN＝．
38．（1）证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，
∴平行四边形CEGF菱形；
（2）解：∵Rt△ACF≌Rt△AGF，
∴AG＝AC＝6，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2AC＝2×6＝12，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣6＝6，
∴CE＝FG＝2．
39．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，如图：
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．