单元素养评价(一)
(第1章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
( )
A.从x0到x1的平均变化率
B.在x=x1处的变化率
C.在x=x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
【解析】选A.=表示函数从x0到x1的平均变化率.
2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为
( )
A.2(x2-a2)
B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)
D.3(x2+a2)
【解析】选C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).
3.曲线y=x2-2x在点处的切线的倾斜角为
( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
【解析】选D.y′=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此倾斜角为135°.
4.已知函数f(x)=x·cos
x,则f′=
( )
A.0
B.-1
C.-
D.
【解析】选D.f′(x)=cos
x-xsin
x,
所以f′=cos
π-π·sin
π=π.
5.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+π在R上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是
( )
A.a<-1
B.a>2
C.-1
D.a<-1或a>2
【解析】选D.f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的实数解,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,得a<-1或a>2.
6.已知f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,g(x)为f(x)的导函数,则g(x)的单调增区间是
( )
A.(-∞,-1)
B.
C.
D.(-∞,-1),
【解析】选D.g(x)=f′(x)=8x3+9x2-6x-6,
g′(x)=24x2+18x-6,
令g′(x)=0得x=-1或x=,
令g′(x)>0得x<-1或x>,
则g(x)的单调增区间为(-∞,-1),.
【补偿训练】
若f(x)=x2-2x-4ln
x,则f(x)的单调递增区间为____________.?
【解析】f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2.
答案:(2,+∞)
7.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是
( )
A.(-1,0)
B.[-1,0)
C.(-1,0]
D.[-1,0]
【解析】选C.f′(x)=,
令f′(x)>0,得-1即函数f(x)的单调增区间为(-1,1).
又f(x)在(m,2m+1)上单调递增,
所以解得-18.已知函数f(x)=xcos
x-sin
x,若存在实数x∈[0,2π],使得f(x)( )
A.(-∞,-π)
B.(-π,+∞)
C.(0,π)
D.(π,2π)
【解析】选B.因为存在实数x∈[0,2π],使得f(x)所以t>,f′(x)=cos
x+x(-sin
x)-cos
x=-x·sin
x,
令f′(x)=0得x=0或x=π或x=2π.
列表
x
0
(0,π)
π
(π,2π)
2π
f′(x)
0
-
0
+
0
f(x)
0
↘
极小值
↗
2π
当x=π时,f(x)有极小值也是f(x)的最小值,
所以f(x)min=f(π)=-π.故t>-π.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列求导运算正确的是
( )
A.(cos
x)′=-sin
x
B.′=
cos
C.′=-
D.(e2x)′=e2x
【解析】选AC.A中,(cos
x)′=-sin
x,B中′=0,C中′=-,D中
(e2x)′=2e2x.
【补偿训练】
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:
①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;
③f(x)·g′(x)>
f
′(x)·g(x),
若+=,则logax>1成立的x的取值范围是__________________.
【解题指南】根据题目中所给的条件判断a的取值范围,求出a的值,最后解不等式.
【解析】由①②,
=ax,
由③,′=<0,即axln
a<0,
所以0又+=,
即a+=,a=或a=2(舍),
从而logax>1=logaa,0答案:
10.使函数y=xsin
x+cos
x是增函数的区间可能是
( )?
A.
B.
C.
D.
【解析】选AD.y′=sin
x+xcos
x-sin
x=xcos
x,当y′>0时为增函数,结合选项知0【补偿训练】
已知函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是____________.?
【解析】f′(x)=ax2+ax-2a=a(x-1)(x+2),
由f(x)的图象经过四个象限知,若a>0,
则此时无解;
若a<0,则
所以-答案:
11.设函数f(x)=x-ln
x(x>0),则y=f(x)
( )
A.在区间内有零点
B.在区间(1,e)内有零点
C.在区间内无零点
D.在区间(1,e)内无零点
【解析】选BC.因为f(x)=x-lnx(x>0),所以f(e)=e-1<0,f(1)=>0,
f=+1>0,所以f(x)在(1,e)内有零点,在内无零点.
12.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是
( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
【解析】选BD.由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
请把正确答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)=x2+2cos
x,则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为_______________.?
【解析】f′(x)=2x-2sin
x,
则f′(π)=2π-0=2π,
又f(π)=π2-2,
所以切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),
即y=2πx-π2-2.
答案:y=2πx-π2-2
【补偿训练】
已知函数f(x)=x3-x2+x(a>0),则f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率最大时的切线方程是____________.?
【解析】f′(x)=x2-x+1,故f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=2-,显然当a=1时,a+最小,k最大为0,又f(1)=,所以切线方程为y=.
答案:y=
14.周长为20
cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为____________.?
【解析】设矩形的长为x,则宽为10-x(0所以V′(x)=20πx-3πx2.
由V′(x)=0得x=0(舍去),x=,
且当x∈时,V′(x)>0,
当x∈时,V′(x)<0,
所以当x=时,V(x)取得最大值为π
cm3.
答案:π
cm3
15.(2019·北京高考)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=____________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是____________.?
【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,
所以f(0)=0,得a=-1.
②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=ex-ae-x=≥0恒成立,即g(x)
=(ex)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].
答案:-1 (-∞,0]
16.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln
x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____________.?
【解析】设点A(x0,y0),则y0=ln
x0.又y′=,
当x=x0时,y′=,
曲线y=ln
x在点A处的切线为y-y0=(x-x0),
即y-ln
x0=-1,
代入点(-e,-1),得-1-ln
x0=-1,
即x0ln
x0=e,
考查函数H(x)=xln
x,当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,
且H′(x)=ln
x+1,当x>1时,H′(x)>0,H(x)单调递增,
注意到H(e)=e,故x0ln
x0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,
故点A的坐标为A(e,1).
答案:(e,1)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取极小值,x=时取极大值.
(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程.
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分别对应函数取得极小值、极大值,
所以-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根.
所以a=-1+,-=(-1)×.
于是a=-,b=2,则f(x)=-x3-x2+2x.
当x=-2时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上.
又切线斜率k=f′(-2)=-8,
所求切线方程为y-2=-8(x+2),
即为8x+y+14=0.
(2)列表如下:
x
-2
(-2,-1)
-1
1
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
2
↘
-
↗
↘
则f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-.
18.(12分)已知函数f(x)=ln
x+,a为常数.
(1)若a=,求函数f(x)在[1,e]上的值域.(e为自然对数的底数,e≈2.72)
(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调减函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意f′(x)=-,
当a=时,
f′(x)=-=.
因为x∈[1,e],所以f(x)在[1,2)上为减函数,[2,e]上为增函数,
又f(2)=ln
2+,f(1)=,f(e)=1+,比较可得f(1)>f(e),
所以f(x)的值域为.
(2)由题意得g′(x)=-+1≤0在x∈[1,2]上恒成立,
所以a≥+(x+1)2=x2+3x++3恒成立,
设h(x)=x2+3x++3(1≤x≤2),所以当1≤x≤2时,h′(x)=2x+3->0恒成立,
所以h(x)max=h(2)=,所以a≥,
即实数a的取值范围是.
19.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.
【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,所以d=-d,
所以d=0(或由f(0)=0得d=0).
所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,
又当x=1时,f(x)取得极值-2,
所以
即
解得
所以f(x)=x3-3x.
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f′(x)=0,得x=±1,
当-1当x<-1或x>1时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;
所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);单调减区间为(-1,1).
因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.
20.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f=ex+x2-x,
f′=ex+2x-1,
由于f″=ex+2>0,
故f′单调递增,注意到f′=0,
故当x∈时,f′<0,f单调递减,
当x∈时,f′>0,f单调递增.
(2)由f≥x3+1得,
ex+ax2-x≥x3+1,其中x≥0,
①当x=0时,不等式为:1≥1,显然成立,符合题意;
②当x>0时,分离参数a得,
a≥-,
记g=-,
g′=-,
令h=ex-x2-x-1,
则h′=ex-x-1,h″=ex-1≥0,
故h′单调递增,h′≥h′=0,
故函数h单调递增,h≥h=0,
由h≥0可得:ex-x2-x-1≥0恒成立,
故当x∈时,g′>0,g单调递增;
当x∈时,g′<0,g单调递减,
因此,=g=,
综上可得,实数a的取值范围是.
21.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10
cm,设∠BAO=θ,0<θ<,圆锥的侧面积为S
cm2.
(1)求S关于θ的函数关系式.
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.
【解析】
(1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,
在△AOE中,AE=10cos
θ,AB=2AE=20cos
θ,
在△ABD中,BD=AB·sin
θ=20cos
θ·sin
θ,
所以S=·2π·20sin
θcos
θ·20cos
θ=
400πsin
θcos2θ.
(2)要使侧面积最大,由(1)得:
S=400πsin
θcos2θ=400π(sin
θ-sin3θ),
设f(x)=x-x3(0则f′(x)=1-3x2,由f′(x)=1-3x2=0得:x=,
当x∈时,f′(x)>0,
当x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以f(x)在x=时取得极大值,也是最大值;
所以当sin
θ=时,侧面积S取得最大值,
此时等腰三角形的腰长
AB=20cos
θ=20=20=.
答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为
cm.
22.(12分)(2019·江苏高考)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值.
(3)若a=0,0【解析】(1)因为a=b=c,
所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.
因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.
(2)因为b=c,
所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,
从而f′(x)=3(x-b).
令f′(x)=0,得x=b或x=.
因为a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,
所以=1,a=3,b=-3.
此时f(x)=(x-3)(x+3)2,
f′(x)=3(x+3)(x-1).
令f′(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.
(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,
f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.
因为00,
则f′(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1由f′(x)=0,得x1=,
x2=.
列表如下:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值M=f(x1).
因为0当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.
令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),
则g′(x)=3(x-1).
令g′(x)=0,得x=.列表如下:
x
g′(x)
+
0
-
g(x)
↗
极大值
↘
所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,
故g(x)max=g=.
所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤,因此M≤.
PAGE单元素养评价(一)
(第1章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
( )
A.从x0到x1的平均变化率
B.在x=x1处的变化率
C.在x=x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为
( )
A.2(x2-a2)
B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)
D.3(x2+a2)
3.曲线y=x2-2x在点处的切线的倾斜角为
( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
4.已知函数f(x)=x·cos
x,则f′=
( )
A.0
B.-1
C.-
D.
5.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+π在R上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是
( )
A.a<-1
B.a>2
C.-1D.a<-1或a>2
6.已知f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,g(x)为f(x)的导函数,则g(x)的单调增区间是
( )
A.(-∞,-1)
B.
C.
D.(-∞,-1),
【补偿训练】
若f(x)=x2-2x-4ln
x,则f(x)的单调递增区间为____________.?
7.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是
( )
A.(-1,0)
B.[-1,0)
C.(-1,0]
D.[-1,0]
8.已知函数f(x)=xcos
x-sin
x,若存在实数x∈[0,2π],使得f(x)( )
A.(-∞,-π)
B.(-π,+∞)
C.(0,π)
D.(π,2π)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列求导运算正确的是
( )
A.(cos
x)′=-sin
x
B.′=
cos
C.′=-
D.(e2x)′=e2x
【补偿训练】
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:
①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;
③f(x)·g′(x)>
f
′(x)·g(x),
若+=,则logax>1成立的x的取值范围是__________________.
10.使函数y=xsin
x+cos
x是增函数的区间可能是
( )?
A.
B.
C.
D.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是____________.?
11.设函数f(x)=x-ln
x(x>0),则y=f(x)
( )
A.在区间内有零点
B.在区间(1,e)内有零点
C.在区间内无零点
D.在区间(1,e)内无零点
12.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是
( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
请把正确答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)=x2+2cos
x,则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为_______________.?
【补偿训练】
已知函数f(x)=x3-x2+x(a>0),则f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率最大时的切线方程是____________.?
14.周长为20
cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为____________.?
15.(2019·北京高考)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=____________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是____________.?
16.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln
x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____________.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取极小值,x=时取极大值.
(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程.
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
18.(12分)已知函数f(x)=ln
x+,a为常数.
(1)若a=,求函数f(x)在[1,e]上的值域.(e为自然对数的底数,e≈2.72)
(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调减函数,求实数a的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.
20.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
21.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10
cm,设∠BAO=θ,0<θ<,圆锥的侧面积为S
cm2.
(1)求S关于θ的函数关系式.
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.
22.(12分)(2019·江苏高考)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值.
(3)若a=0,0PAGE