2.21《椭圆及其标准方程》（新人教A版选修2-1）

(共22张PPT)
(第一课时)
在生活中，还有另外一种曲线比较常见，例如
运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线
引 言
数 学 实 验
通过图片已经知道了椭圆的形状，能否动手画一个椭圆呢？
先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.
如果把这一个定点分裂成两个定点，会画出什么图形呢？
数 学 实 验
1.取一条定长的细绳；
2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
移动，看看能画出什么图形？
请同学们按照下列操作，动手画一画：
根据刚才的实验请同学们回答下面
几个问题：
1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
数 学 观 察
思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？
数 学 归 纳
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
两焦点之间的距离叫做焦距.
数 学 推 理
根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？　　
先来回忆：求曲线的方程的基本步骤
（1）建系设点;
（2）写出点集；
（3）列出方程；
（4）化简方程；
（5）检验
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
数 学 推 理
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
数 学 推 理
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a (2a>2c>0)
请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
x
F1
F2
M
0
y
由椭圆的定义得：
因为
数 学 推 理
方案一
整理得
两边再平方，得
移项，再平方
数 学 推 理
数 学 推 理
它表示焦点在y轴上的椭圆
它表示焦点在x轴上的椭圆
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
数 学 归 纳
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
椭圆的标准方程的特征：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式
的平方和，右边是1;
（3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;
数 学 归 纳
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
由椭圆的定义知
例 题 演 练
例 题 演 练
又因为 ,所以
因此, 所求椭圆的标准方程为
所以
思考？能用其他方法求它的方程么？
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
①
②
联立①②,
因此, 所求椭圆的标准方程为:
又∵焦点的坐标为
例 题 演 练
1.已知F1、F2是椭圆 的两个焦点，
过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形
MNF2的周长为 .
课 堂 练 习
20
2.已知椭圆的两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点，求椭圆的方程 .
y
o
F1
F2
M
x
N
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
最后回忆一下本节课的主要内容
课后作业：
1.在椭圆的定义中，若a=c能得到什么图形？若a2.查查资料，看看椭圆还有其他的定义方法么？
3.P42 练习1、4