第1讲
一次函数的概念与图像
知识精要
一、一次函数的概念
1、概念：一般地，解析式形如（、是常数，且）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数
一般的，我们把函数叫做常值函数。
二、一次函数的图像
1、画法：列表、描点、连线
2、直线的截矩：一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距。
3、一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到：
当时，向上平移个单位；当时，向下平移单位。
4、已知两直线和
1）两直线相交
2）两直线平行
3）重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系：
由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）。在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集。
名师精讲
例1、直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，且与交于点C，已知点C点纵坐标为1，且S△ABC＝9，求k与b的值。
解：
k=-1时,b=4
或者k=3时，b=-8
例2、一次函数的自变量的取值范围是－3
≤x
≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
解：分两种情况，一次函数分别过点（-3，-5）（6，-2）
或者过点（-3，-2）（6，-5）解得
一次函数的解析式为
例3、
已知：一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB＝DC。求：以直线CD为图象的函数解析式
解：由题意，得点D的坐标（0，），点C的坐标是（，0）
解得：
点D与点A不重合，（舍去）
直线CD的函数解析式
例4、如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点
C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。
解：（1）A（4,0）
B（0,2）
（2）S=8-2t
（0≤t＜4）
（3）当t=2时,M
(2,0)；当t=6时，M(-2,0)
巩固练习
1、下列函数中，是一次函数的有（
B
）个
①y=x;
②;③;④;⑤.
A.1
B.2
C.3
D.4
2、下列哪个点在一次函数上（
C
）
A.(2,3)
B.(-1,-1)
C.(0,-4)
D.(-4,0)
3、一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（
D
）
A.一、二、三
B.二、三、四
C.一、三、四
D.一、二、四
4、如图所示，表示直线y=-x-2的是(
B
)
5、点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y
＝－4x
+
3
图象上的两个点，且
x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（
A
）
A．y1＞y2
B．y1＞y2
＞0
C．y1＜y2
D．y1＝y2
6、一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、三、四象限，则（
B
）
A.k＞0,b＞0
B.k＞0,b＜0
C.k＜0,b＜0
D.k＜0,b＞0
7、已知正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，则一次函数y=kx-k的图像可能是图中的（
D
）
8、一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为图4中的（
B
）
9、一次函数y=kx+b的图像经过点（，1）和（-1，）（m≠0），则k、b应满足的条件是（
D
）
A.k＞0,b＞0
B.k＞0,b＜0
C.k＜0,b＜0
D.k＜0,b＞0
10、小红骑自行车到离家为2千米书店买书，行驶了5分钟后，遇到一个同学因说话停留10分钟,继续骑了5分钟到书店.图5中的哪一个图象能大致描述她去书店过程中离书店的距离(千米)与所用时间（分）之间的关系(
D
)
11、已知与成正比例，
判断与成什么函数关系；
（2）如果当时，=5;当=5时，=11,
求与的函数关系式。
解：（1）解
设，
即
所以y与x成一次函数关系
（2）因为当时，y=5;当x=5时，y=11,
所以
解得所以函数解析式为
12、已知一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值y的取值范围是，求此函数的关系式。
解：（1）当k>0时，
解得
所以函数解析式为
（
2）当k<0时，
解得
所以函数解析式为
13、已知直线过点A(0,2)及C(1,1)直线过点B（0，-2）及点C
求直线和直线的函数解析式；
（2）当x为何值时，？？？
（3）当x为何值时，不等式组成
解：（1）直线
；直线；
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当时，不等式组成立
14、已知直线与直线，（1）求两直线与轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；（3）求的面积。
解：（1）A（0，3）；B（0，-1）
（2）C（-1，1）
（3）2
15、在直角坐标系中，为原点．点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点．
（1）求点的坐标；
（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式．
解：（1）由题意，设点的坐标为，．
点在反比例函数的图象上，得，
解得，，
经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去．
点的坐标为．
（2）由题意，设点的坐标为．
，．
解得，经检验是原方程的根，点的坐标为．
设一次函数的解析式为，
由于这个一次函数图象过点，，得．
所求一次函数的解析式为．
热身练习
1、函数的截距是
9
，它与轴的交点坐标为
（3,0）
2、一次函数的图像经过点（1，5），交y轴于点(0,3),则k=
2
，b=
3
3、若点（2m,m+3）在函数的图像上，则m=
4、直线与坐标轴围成的三角形的面积为
6
5、若直线y＝＋n与y＝mx－1相交于点（1，－2），则（
C
）．
A.
m＝，n＝－
B.
m＝，n＝－1
C.
m＝－1，n＝－
D.
m＝－3，n＝－
6、已知一次函数的图像经过点（-1，3）和点（2，-3），
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点（-2，5）是否在该函数的图像上。
解：
（1）一次函数解析式为；
（2）点（-2，5）在该函数的图像上；
7、已知函数，求
（1）当为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴下方？
（2）为何值时，函数图像经过原点？
解：（1）当时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；
（2）当时，函数图像经过原点；
自我测试
1、直线经过点
（2，0）
与点
（0，4）
2、函数，当时，
7
；当时，
2
。
3、在同一坐标系中，直线与直线的位置关系是
平行
。
4、将直线向下平移3个单位，得到直线
。
5、在同一直角坐标系中，直线和直线都经过点
（0，3）
。
6、将直线向上平移7个单位，得到直线
。
7、已知函数是正比例函数，则
，
0
。
8、一次函数的图像经过点，且与直线平行，则此一次函数的解析式为
。
9、已知与成正比例，且时，，则与的函数关系式是
10、已知与成正比例，且时，，（1）求与之间的函数关系式，并指出它是什么函数。（2）当时，求函数的取值范围。
解：（1），，一次函数
（2）
11、已知正比例函数的图像与一次函数的图像交于点P（3，-6），
（1）求的值；（2）如果一次函数的图像与轴交于点A，求AOP的面积。
解：（1）；
（2）面积为27
12、已知A(8,0)及在第一象限的动点P（x,y)，且x+y=10,设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式；
S=40-4x
（2）求x的取值范围；
0＜x＜10
（3）求S=12时P点坐标。
P（7,3）第1讲
一次函数的概念与图像
知识精要
一、一次函数的概念
1、概念：一般地，解析式形如（、是常数，且）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
3、常值函数
一般的，我们把函数叫做常值函数。
二、一次函数的图像
1、画法：列表、描点、连线
2、直线的截矩：一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距。
3、一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到：
当时，向上平移个单位；当时，向下平移单位。
4、已知两直线和
1）两直线相交
2）两直线平行
3）重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系：
由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）。在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集。
精解名题
例1、直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，且与交于点C，已知点C点纵坐标为1，且S△ABC＝9，求k与b的值。
例2、一次函数的自变量的取值范围是－3
≤x
≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
例3、
已知：一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB＝DC。求：以直线CD为图象的函数解析式
例4、如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点
C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。
巩固练习
1、下列函数中，是一次函数的有（
）个
①y=x;
②;③;④;⑤.
A.1
B.2
C.3
D.4
2、下列哪个点在一次函数上（
）
A.(2,3)
B.(-1,-1)
C.(0,-4)
D.(-4,0)
3、一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（
）
A.一、二、三
B.二、三、四
C.一、三、四
D.一、二、四
4、如图所示，表示直线y=-x-2的是(
)
5、点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y
＝－4x
+
3
图象上的两个点，且
x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（
）
A．y1＞y2
B．y1＞y2
＞0
C．y1＜y2
D．y1＝y2
6、一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、三、四象限，则（
）
A.k＞0,b＞0
B.k＞0,b＜0
C.k＜0,b＜0
D.k＜0,b＞0
7、已知正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，则一次函数y=kx-k的图像可能是图中的（
）
8、一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为图4中的（
）
9、一次函数y=kx+b的图像经过点（，1）和（-1，）（m≠0），则k、b应满足的条件是（
）
A.k＞0,b＞0
B.k＞0,b＜0
C.k＜0,b＜0
D.k＜0,b＞0
10、小红骑自行车到离家为2千米书店买书，行驶了5分钟后，遇到一个同学因说话停留10分钟,继续骑了5分钟到书店.图5中的哪一个图象能大致描述她去书店过程中离书店的距离(千米)与所用时间（分）之间的关系(
)
11、已知与成正比例，
判断与成什么函数关系；
（2）如果当时，=5;当=5时，=11,
求与的函数关系式。
12、已知一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值y的取值范围是，求此函数的关系式。
13、已知直线过点A(0,2)及C(1,1)直线过点B（0，-2）及点C
求直线和直线的函数解析式；
（2）当x为何值时，？？？
（3）当x为何值时，不等式组成
14、已知直线与直线，（1）求两直线与轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；（3）求的面积。
15、在直角坐标系中，为原点．点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点．
（1）求点的坐标；
（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式．
热身练习
1、函数的截距是
，它与轴的交点坐标为
2、一次函数的图像经过点（1，5），交y轴于点(0,3),则k=
，b=
3、若点（2m,m+3）在函数的图像上，则m=
4、直线与坐标轴围成的三角形的面积为
5、若直线y＝＋n与y＝mx－1相交于点（1，－2），则（
）．
A.
m＝，n＝－
B.
m＝，n＝－1
C.
m＝－1，n＝－
D.
m＝－3，n＝－
6、已知一次函数的图像经过点（-1，3）和点（2，-3），
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点（-2，5）是否在该函数的图像上。
7、已知函数，求
（1）当为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴下方？
（2）为何值时，函数图像经过原点？
自我测试
1、直线经过点
与点
2、函数，当时，
；当时，
。
3、在同一坐标系中，直线与直线的位置关系是
。
4、将直线向下平移3个单位，得到直线
。
5、在同一直角坐标系中，直线和直线都经过点
。
6、将直线向上平移7个单位，得到直线
。
7、已知函数是正比例函数，则
，
。
8、一次函数的图像经过点，且与直线平行，则此一次函数的解析式为
。
9、已知与成正比例，且时，，则与的函数关系式是
10、已知与成正比例，且时，，（1）求与之间的函数关系式，并指出它是什么函数。（2）当时，求函数的取值范围。
11、已知正比例函数的图像与一次函数的图像交于点P（3，-6），
（1）求的值；（2）如果一次函数的图像与轴交于点A，求AOP的面积。
12、已知A(8,0)及在第一象限的动点P（x,y)，且,设△OPA的面积为S.
（1）求S关于的函数解析式；
（2）求的取值范围；
（3）求S=12时P点坐标。
