第5讲
代数方程（二）
知识精要
一、无理方程
1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。
2、求解无理方程的一般步骤：
利用两边平方把无理方程转化为有理方程；
求解有理方程；
检验；
写结论。
二、二元二次方程组
1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
2、解法：代入消元法和因式分解法
【典型例题】
类型一、无理方程概念
1．已知下列关于x的方程：
其中无理方程是____________________(填序号).
【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数.
【答案与解析】（2），（3），（5）
【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
举一反三：
【变式】下列方程哪些是无理方程？
(1)=0； (2)=0； (3).=0；（4）（是常数）．
【答案】（1）（2）（3）是无理方程．
类型二、判断无理方程解的情况
2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？
①；
②；
③.
【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.”
【答案与解析】（1）因为，所以，所以方程无解
（2）因为，所以，所以方程无解
（3）因为，所以x≥5且x≤2，所以方程无解
【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.”
类型三、解无理方程
3．解方程
【答案与解析】
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得：或
检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．
把代入原方程，左边
=
右边，所以是原方程的根．
所以，原方程的解是．
【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
举一反三：
【变式】方程的根是
．
【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，
解得：x=3．
检验：x=3时，左边==2，则左边=右边，
故x=3是方程的解．
故答案是：x=3．
4、
【答案与解析】x=23
原方程变形为
两边平方得
x+2=81-+x-7
整理得
再两边平方得
x-7=16
解得
x=23
检验：把x=23代入原方程得，左边=右边
所以，原方程的根是
x=23
【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.
举一反三：
【变式】（2016春?静安区期末）解方程：.
【答案】解：
经检验是原方程的根，
所以原方程的根为．
类型四、“换元法”解无理方程
5、（杨浦区校级期中）解方程：4x2﹣10x+=17．
【思路点拨】利用换元法解方程：设=t，原方程转化为2t2+t﹣21=0，解此一元二次方程得到t1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解．
【答案与解析】解：方程变形为2（2x2﹣5x+2）﹣﹣21=0
设=t，
则原方程转化为2t2+t﹣21=0，
（t﹣3）（2t+7）=0，
解得t1=3，t2=﹣，
当t=3时，=3，则2x2﹣5x+2=9，
整理得2x2﹣5x﹣7=0，解得x1=，x2=﹣1；
当t=﹣时，=﹣，则方程无解，
经检验原方程的解为x1=，x2=﹣1．
【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
举一反三：
【变式】解方程x2+3x－=1.
【答案】
解：设
换元后，整理得方程是，
解得，，，
所以，
，，
解这两个方程得，，，，，
检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根，
所以，原方程的根是，.
类型五、二元二次方程（组）判断
1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。
【答案与解析】
（1）是，二次项、一次项y，常数项-1.
（2）不是，因为只含一个未知数。
（3）不是，因为不是整式方程.
（4）不是，因为不含二次项.
【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．
举一反三：
【变式】下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
【答案】根据二元二次方程组的定义可得（2）是.
类型六、二元二次方程组的解法
2.（2016?松江区二模）解方程组：
．
【答案与解析】
解：由（2）得：
∴或．
∴原方程组可以化为或，
解这两个方程组，得原方程组的解是，．
【总结升华】本题考查了高次方程的知识，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
举一反三：
【变式】解方程组：
【答案】将（1）代入（2），得
.
整理，得,
解得.
把代入（1），得
把代入（1），得
所以原方程组的解是
3.
解方程组：
【思路点拨】当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
【答案与解析】(用因式分解法)
方程(1)可化为(x-2y)2+(x-2y)-2=0
即(x-2y+2)(x-2y-1)=0
∴x-2y+2=0
或x-2y-1=0
原方程组可化为:
分别解得：和
【总结升华】二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特点,采用特殊解法,则较为简便.
举一反三：
【变式】（2015?徐汇区二模）解方程组：．
【答案】解：原方程组变形为：
，
∴，，
解得：，，，．
类型七、方程组的应用
4.
某块长方形田的面积是864平方米，长与宽的和是60米，则长与宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设该块田的长是x米，宽是y米.由题意得，
，
解得，，
考虑到实际情况，长应该大于宽，所以符合实际.
答：长是36米，宽是24米.
【总结升华】此类题设出未知数以后，顺次按照题目中含有等量关系的语句列方程即可.
5、已知方程组
有两组不相等的实数解，求的取值范围.
【答案与解析】
解：
由②代入①并整理得：，
∵方程组有两组不相等的实数解，
∴
，
即
∴当＜1且≠0时，原方程组有两个不相等的实数解.
【总结升华】通过消元，转化为我们熟悉的一元二次方程来解是解决此类问题的一般方法.
举一反三：
【变式】为何值时，方程组有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解.
【答案】；当时，；当时，.
热身练习
1、解无理方程，可以通过去根号把无理方程转化为
方程来解。
2、方程的解是
3、关于的方程的根为，则
4、当
时，方程无实数根。
5、方程的解是
6、方程的实数解有
个
7、下列方程中，无理方程的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8、下列哪个方程有实数解（
）
A、
B、
C、
D、
9、二元一次方程组
(
)
A.只有一解
B.有两解
C.有无数个解
D.无解
10、解方程：
11、解无理方程
12、解方程组
巩固练习
一、填空题
1、方程的解是
2、方程的增根是
，解无理方程时必须进行
3、若关于x的方程，有两个不相等的实数根，则实数P的取值范围
4、用换元法解无理方程，设，则原方程可化为
5、如果关于的方程有且只一个实数解，那么的值是
6、方程组可转化为方程组
和方程组
，然后用
来解。
7、已知，则
8、方程的解是
二、选择题
1、下列方程中不属于无理方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、已知关于的方程有一个根是，那么方程另一个根是（
）
A．
B．
C．
D．
3、若方程和只有一个公共实数解，那么的值为（
）
A．1
B．—1
C．0或1
D．1或—1
4、若方程组的解满足则的值为
(
)
A.
9
B.0
C.－1
D.－5
三、解答题
1、解无理方程
（1）
（2）；
（3）；
（4）
2、已知有一个增根是，求的值。
3、已知a、b是方程的两个根，求下列各式的值：
（1）；（2）
4、解方程组
（3）
5、（1）方程有几个解？其中、的值互为倒数的解是什么？
（2）方程有几个解？其中、的值互为相反数的解是什么？
6、从方程组中消去，得到关于的二次方程，当这个关于的二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
7、和是方程的两个解，求，的值。
自我测试
方程的根是_
____
___
2、若关于的方程有实数根，则a的取值范围是
.
3、无理方程的根为，则a的值为
.
、
4、下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（
）
A.
B.
C.
D.
5、方程的解是（
）
A.0
B.2
C.0或2
D.
6、关于的方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
7、解方程
（1）；
（2）
（3）
（4）
8、当、取何值时，等式成立？
9、已知，xyz
≠0，求的值？
把z看作是已知数，用z的代数式表示x、y，可求得x∶y∶z＝1∶2∶3．设x＝k，
Y＝2
k，z＝3
k，代入代数式．第5讲
代数方程（二）
知识精要
一、无理方程
1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。
2、求解无理方程的一般步骤：
利用两边平方把无理方程转化为有理方程；
求解有理方程；
检验；
写结论。
二、二元二次方程组
1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
2、解法：代入消元法和因式分解法
【典型例题】
类型一、无理方程概念
1．已知下列关于x的方程：
其中无理方程是____________________(填序号).
【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数.
【答案与解析】（2），（3），（5）
【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
举一反三：
【变式】下列方程哪些是无理方程？
(1)=0； (2)=0； (3).=0；（4）（是常数）．
【答案】（1）（2）（3）是无理方程．
类型二、判断无理方程解的情况
2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？
①；
②；
③.
【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.”
【答案与解析】（1）因为，所以，所以方程无解
（2）因为，所以，所以方程无解
（3）因为，所以x≥5且x≤2，所以方程无解
【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.”
类型三、解无理方程
3．解方程
【答案与解析】
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得：或
检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．
把代入原方程，左边
=
右边，所以是原方程的根．
所以，原方程的解是．
【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
举一反三：
【变式】方程的根是
．
【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，
解得：x=3．
检验：x=3时，左边==2，则左边=右边，
故x=3是方程的解．
故答案是：x=3．
4、
【答案与解析】x=23
原方程变形为
两边平方得
x+2=81-+x-7
整理得
再两边平方得
x-7=16
解得
x=23
检验：把x=23代入原方程得，左边=右边
所以，原方程的根是
x=23
【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.
举一反三：
【变式】（2016春?静安区期末）解方程：.
【答案】解：
经检验是原方程的根，
所以原方程的根为．
类型四、“换元法”解无理方程
5、（杨浦区校级期中）解方程：4x2﹣10x+=17．
【思路点拨】利用换元法解方程：设=t，原方程转化为2t2+t﹣21=0，解此一元二次方程得到t1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解．
【答案与解析】解：方程变形为2（2x2﹣5x+2）﹣﹣21=0
设=t，
则原方程转化为2t2+t﹣21=0，
（t﹣3）（2t+7）=0，
解得t1=3，t2=﹣，
当t=3时，=3，则2x2﹣5x+2=9，
整理得2x2﹣5x﹣7=0，解得x1=，x2=﹣1；
当t=﹣时，=﹣，则方程无解，
经检验原方程的解为x1=，x2=﹣1．
【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
举一反三：
【变式】解方程x2+3x－=1.
【答案】
解：设
换元后，整理得方程是，
解得，，，
所以，
，，
解这两个方程得，，，，，
检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根，
所以，原方程的根是，.
类型五、二元二次方程（组）判断
1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.
【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。
【答案与解析】
（1）是，二次项、一次项y，常数项-1.
（2）不是，因为只含一个未知数。
（3）不是，因为不是整式方程.
（4）不是，因为不含二次项.
【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．
举一反三：
【变式】下列方程组中，哪些是二元二次方程组？
【答案】根据二元二次方程组的定义可得（2）是.
类型六、二元二次方程组的解法
2.（2016?松江区二模）解方程组：
．
【答案与解析】
解：由（2）得：
∴或．
∴原方程组可以化为或，
解这两个方程组，得原方程组的解是，．
【总结升华】本题考查了高次方程的知识，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
举一反三：
【变式】解方程组：
【答案】将（1）代入（2），得
.
整理，得,
解得.
把代入（1），得
把代入（1），得
所以原方程组的解是
3.
解方程组：
【思路点拨】当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
【答案与解析】(用因式分解法)
方程(1)可化为(x-2y)2+(x-2y)-2=0
即(x-2y+2)(x-2y-1)=0
∴x-2y+2=0
或x-2y-1=0
原方程组可化为:
分别解得：和
【总结升华】二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特点,采用特殊解法,则较为简便.
举一反三：
【变式】（2015?徐汇区二模）解方程组：．
【答案】解：原方程组变形为：
，
∴，，
解得：，，，．
类型七、方程组的应用
4.
某块长方形田的面积是864平方米，长与宽的和是60米，则长与宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设该块田的长是x米，宽是y米.由题意得，
，
解得，，
考虑到实际情况，长应该大于宽，所以符合实际.
答：长是36米，宽是24米.
【总结升华】此类题设出未知数以后，顺次按照题目中含有等量关系的语句列方程即可.
5、已知方程组
有两组不相等的实数解，求的取值范围.
【答案与解析】
解：
由②代入①并整理得：，
∵方程组有两组不相等的实数解，
∴
，
即
∴当＜1且≠0时，原方程组有两个不相等的实数解.
【总结升华】通过消元，转化为我们熟悉的一元二次方程来解是解决此类问题的一般方法.
举一反三：
【变式】为何值时，方程组有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解.
【答案】；当时，；当时，.
热身练习
1、解无理方程，可以通过去根号把无理方程转化为
有理
方程来解。
2、方程的解是
3、关于的方程的根为，则
6
4、当
时，方程无实数根。
5、方程的解是
6、方程的实数解有
0
个
7、下列方程中，无理方程的个数是（
C
）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8、下列哪个方程有实数解（
D
）
A、
B、
C、
D、
9、二元一次方程组
(
C
)
A.只有一解
B.有两解
C.有无数个解
D.无解
10、解方程：
（答案：=6）
11、解无理方程（，）
12、解方程组
答案：
巩固练习
一、填空题
1、方程的解是
2、方程的增根是
，解无理方程时必须进行
检验
3、若关于x的方程，有两个不相等的实数根，则实数P的取值范围
4、用换元法解无理方程，设，则原方程可化为
5、如果关于的方程有且只一个实数解，那么的值是
0
6、方程组可转化为方程组
和方程组
，然后用
代入消元法
来解。
7、已知，则
或3
8、方程的解是
二、选择题
1、下列方程中不属于无理方程的是（
D
）
A．
B．
C．
D．
2、已知关于的方程有一个根是，那么方程另一个根是（
D
）
A．
B．
C．
D．
3、若方程和只有一个公共实数解，那么的值为（
D
）
A．1
B．—1
C．0或1
D．1或—1
4、若方程组的解满足则的值为
(
A
)
A.
9
B.0
C.－1
D.－5
三、解答题
1、解无理方程
（1）
（2）；
解：原方程变形
解：
解方程得：
经检验得=4是方程的增根
（3）；
（4）
解：设，
解：
则原方程可化为，
当
时，
解得（舍）
当时，无实数解
当时，
经检验：是增根，所以方程的解为
经检验是方程的根
2、已知有一个增根是，求的值。
解：，经检验，不符题意，舍去，所以
3、已知a、b是方程的两个根，求下列各式的值：
（1）；（2）
答案：由已知得：
4、解方程组
答案：
解：（2）
（3）
解得：
5、（1）方程有几个解？其中、的值互为倒数的解是什么？
（2）方程有几个解？其中、的值互为相反数的解是什么？
解：（1）无数个解；将代入方程，解得
（2）无数个解；将代入方程，解得；
6、从方程组中消去，得到关于的二次方程，当这个关于的二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
解：
7、和x=2,y=4是方程的两个解，求，的值。
解：
自我测试
方程的根是________
2、若关于的方程有实数根，则a的取值范围是
a≥
—2
.
3、无理方程的根为，则a的值为
.
4、下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（
B
）
A.
B.
C.
D.
5、方程的解是（B
）
A.0
B.2
C.0或2
D.
6、关于的方程的根是（
B
）
A．
B．
C．
D．
7、解方程
（1）；
（2）
解：
.
解：
（都为增根，方程无解）
经检验知：=44是增根
（3）
（4）
解：
解：
解：
经检验：
为方程的根
8、当、取何值时，等式成立？
解：
9、已知，xyz
≠0，求的值？
把z看作是已知数，用z的代数式表示x、y，可求得x∶y∶z＝1∶2∶3．设x＝k，
Y＝2
k，z＝3
k，代入代数式．
答案：
