2020-2021学年 人教版八年级数学下册第18章 平行四边形 常考题专题训练（二）（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年 人教版八年级数学下册第18章 平行四边形 常考题专题训练（二）（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 229.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-05 19:38:38 | ||
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文档简介
八年级数学人教版下册第18章《平行四边形》
经典常考题专题训练（二）
1．在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB＝EC．
（1）如图1，若EB＝BC，求∠EBD的度数；
（2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE＝a，试探究线段FC与BE之间的数量关系，并说明理由．
2．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCD中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？
3．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．
4．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝6．求出平行四边形ABCD的边BC上的高h的值．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．
（1）求证：△AOH≌△BOE；
（2）求∠AGO的度数；
（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．
7．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D同时出发，分别沿边AD、BC、CB、DA移动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其它各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ＝xcm（x≠0），AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
8．在正方形ABCD中，F是BC边的中点，ED⊥AF于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：CE＝CD；
（2）如图2，连接BE、BD，请直接写出图2中所有与∠BEF度数相等的角．
9．如图1，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）如图2所示，点P是平行四边形ABCD的边BC所在直线上一点，若BE＝CE，且AE＝3，DE＝4，求△APD的面积．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
11．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
13．如图，长方形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD，AD＝4cm，点P从点D出发（不含点D）以2cm/s的速度沿D→A→B的方向运动到点B停止，点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，当点P到达点B时，点Q恰好到达点D．
（1）当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，求CD的长；
（2）在（1）的条件下，设点P运动时间为t（s），运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），请用含t（s）的式子表示面积S（cm2），并直接写出t的取值范围．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
参考答案
1．解：（1）如图1，∵EB＝BC＝EC，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠EBD＝∠EBC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°；
（2）线段FC与BE之间的等量关系是：FC?BE＝2a，理由是：
如图2，连接AF交BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABE＝∠DCE，
∴∠ABE+∠BAF＝∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE＝S△ABE+S△BEF，
＝，
＝，
＝，
∵S四边形ABFE＝a，
∴＝a，
∴FC?BE＝2a．
2．解：（1）EG＝BE+DG．
如图1，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵∠CDF＝180﹣∠ADC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，
∵∠ECG＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°，
∴∠ECG＝∠FCG，
∵GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG＝GF，
∵GF＝GD+DF＝GD+BE，
∴EG＝GD+BE．
（2）如图2，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于D．
∵AG∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∵∠CDA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵AB＝BC＝12，
∴CD＝AD＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
设EG＝x，由（1）知EG＝BE+GD，
∴GD＝x﹣4，
∴AG＝AD﹣GD＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x，
在Rt△AEG中：GE2＝AG2+AE2，
∴x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴EG＝10．
3．解：（1）∵四边形ABCD的正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，
∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝AB＝1．
4．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，
∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10，
∴BE＝＝＝6，
∴BC＝16，
∴AC＝＝＝8，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝4．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO
∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OF＝OE，且AO＝CO
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵∠DAC＝60°
∴，
∴h＝×AC＝3．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠OBE，
在△AOH和△BOE中，，
∴△AOH≌△BOE（ASA）；
（2）∠AGO＝45°；
（3）S△OGC＝OG?CG＝×6＝3．
7．当x为2或﹣3+时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
8．（1）证明：作CH⊥DE交DE于点H，交AD于点N，
∵ED⊥AF，CH⊥DE，
∴AF∥CN，又AN∥CF，
∴四边形AFCN为平行四边形，
∴AN＝CF，
∵F是BC边的中点，AD＝BC，
∴N是AD边的中点，
∵NH∥AE，DN＝NA，
∴DH＝HE，又CH⊥DE，
∴CE＝CD；
（2）解：作BG⊥AF于点G，
设正方形的边长为4a，则BF＝2a，
由勾股定理得，AF＝＝＝2a，
×AB×BF＝×AF×BG，即×4a×2a＝×2a×BG，
解得，BG＝a，
∵∠ABF＝90°，BG⊥AF，
∴BF2＝FG?FA，即（2a）2＝FG?2a，
解得，FG＝a，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
在△BAG和△ADE中，
∴△BAG≌△ADE（AAS）
∴AE＝BG＝a，
∴EG＝AF﹣AE﹣FG＝a，
∴BG＝EG，
∴∠BEF＝45°，
则图2中所有与∠BEF度数相等的角有∠ABD、∠CBD、∠ADB、∠CDB．
9．（1）证明：∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE；
（2）解：∵CD＝CE，BE＝CE，
∴BE＝CD＝AB，
∴△ABE为等腰三角形，
∴设∠BAE＝∠BEA＝α，∠CED＝∠CDE＝β，
∴∠ABE＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2β，
又∵∠ABE+∠DCE＝180°，
∴180°﹣2α+180°﹣2β＝180°，
∴α+β＝90°，
∴∠AED＝90°，
即△AED为直角三角形，
∴AD＝＝＝5，
过点E作EK⊥AD，
∴EK＝＝，
△APD的面积＝AD?EK＝×5×＝6．
10．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
11．（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
∴DE＝BF＝8，
∵FN＝6，
∴．
12．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝2．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
13．解：（1）设点P运动时间为t（s），根据题意，得
点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，
当点P到达点B时，点Q恰好到达点D．
∴2（t﹣2）＝a（t﹣1），
当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，
即a×1×4＝3，
∴a＝．
即2（t﹣2）＝（t﹣1），
解得t＝5，
所以CD＝a（t﹣1）＝6．
答：CD的长为6；
（2）根据题意，得
BC＝AD＝4，CD＝6
DP＝2t，CQ＝1.5（t﹣1），
①点P的运动时间为t，0﹣1秒时点Q还在点C，
△BPQ面积不变为＝12；
即S＝12（0＜t≤1）
②当1＜t≤2时，
DQ＝6﹣1.5（t﹣1）＝7.5﹣1.5t，
S＝S梯形DPBC﹣S△DPQ﹣S△BQC
＝（2t+4）×6﹣×2t×（7.5﹣1.5t）﹣×1.5（t﹣1）×4
＝1.5t2﹣4.5t+15；
③当2＜t≤5时，
BP＝10﹣2t，
S＝BP?BC
＝（10﹣2t）×4
＝20﹣4t．
综上所述：
运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），
用含t（s）的式子表示面积S（cm2）为：
S＝12
（0＜t≤1）
或S＝1.5t2﹣4.5t+15（1＜t≤2）
或S＝20﹣4t（2＜t≤5）．
14．解：（1）证明：
∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
D是BC的中点
∴AD＝CD＝BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，
AF＝BD＝CD，
∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD?h
＝BC?h
＝S△ABC
＝AB?AC
＝．
法二、
连接DF
∵AF＝DB，
AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF＝AB＝8
∴S菱形ADCF＝AC?DF
＝．
法三、
∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，
∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24．
答：菱形ADCF的面积为24．
15．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝6，
∴CE＝2
答：CE的长为2；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形
经典常考题专题训练（二）
1．在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB＝EC．
（1）如图1，若EB＝BC，求∠EBD的度数；
（2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE＝a，试探究线段FC与BE之间的数量关系，并说明理由．
2．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCD中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？
3．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．
4．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝6．求出平行四边形ABCD的边BC上的高h的值．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．
（1）求证：△AOH≌△BOE；
（2）求∠AGO的度数；
（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．
7．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D同时出发，分别沿边AD、BC、CB、DA移动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其它各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ＝xcm（x≠0），AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
8．在正方形ABCD中，F是BC边的中点，ED⊥AF于点E，连接CE．
（1）如图1，求证：CE＝CD；
（2）如图2，连接BE、BD，请直接写出图2中所有与∠BEF度数相等的角．
9．如图1，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）如图2所示，点P是平行四边形ABCD的边BC所在直线上一点，若BE＝CE，且AE＝3，DE＝4，求△APD的面积．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
11．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）求BC的长．
13．如图，长方形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD，AD＝4cm，点P从点D出发（不含点D）以2cm/s的速度沿D→A→B的方向运动到点B停止，点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，当点P到达点B时，点Q恰好到达点D．
（1）当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，求CD的长；
（2）在（1）的条件下，设点P运动时间为t（s），运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），请用含t（s）的式子表示面积S（cm2），并直接写出t的取值范围．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
参考答案
1．解：（1）如图1，∵EB＝BC＝EC，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠EBD＝∠EBC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°；
（2）线段FC与BE之间的等量关系是：FC?BE＝2a，理由是：
如图2，连接AF交BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABE＝∠DCE，
∴∠ABE+∠BAF＝∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE＝S△ABE+S△BEF，
＝，
＝，
＝，
∵S四边形ABFE＝a，
∴＝a，
∴FC?BE＝2a．
2．解：（1）EG＝BE+DG．
如图1，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵∠CDF＝180﹣∠ADC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，
∵∠ECG＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°，
∴∠ECG＝∠FCG，
∵GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG＝GF，
∵GF＝GD+DF＝GD+BE，
∴EG＝GD+BE．
（2）如图2，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于D．
∵AG∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∵∠CDA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵AB＝BC＝12，
∴CD＝AD＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
设EG＝x，由（1）知EG＝BE+GD，
∴GD＝x﹣4，
∴AG＝AD﹣GD＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x，
在Rt△AEG中：GE2＝AG2+AE2，
∴x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴EG＝10．
3．解：（1）∵四边形ABCD的正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，
∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝AB＝1．
4．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，
∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10，
∴BE＝＝＝6，
∴BC＝16，
∴AC＝＝＝8，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝4．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO
∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OF＝OE，且AO＝CO
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵∠DAC＝60°
∴，
∴h＝×AC＝3．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°，
∴∠GAE＝∠OBE，
在△AOH和△BOE中，，
∴△AOH≌△BOE（ASA）；
（2）∠AGO＝45°；
（3）S△OGC＝OG?CG＝×6＝3．
7．当x为2或﹣3+时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
8．（1）证明：作CH⊥DE交DE于点H，交AD于点N，
∵ED⊥AF，CH⊥DE，
∴AF∥CN，又AN∥CF，
∴四边形AFCN为平行四边形，
∴AN＝CF，
∵F是BC边的中点，AD＝BC，
∴N是AD边的中点，
∵NH∥AE，DN＝NA，
∴DH＝HE，又CH⊥DE，
∴CE＝CD；
（2）解：作BG⊥AF于点G，
设正方形的边长为4a，则BF＝2a，
由勾股定理得，AF＝＝＝2a，
×AB×BF＝×AF×BG，即×4a×2a＝×2a×BG，
解得，BG＝a，
∵∠ABF＝90°，BG⊥AF，
∴BF2＝FG?FA，即（2a）2＝FG?2a，
解得，FG＝a，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
在△BAG和△ADE中，
∴△BAG≌△ADE（AAS）
∴AE＝BG＝a，
∴EG＝AF﹣AE﹣FG＝a，
∴BG＝EG，
∴∠BEF＝45°，
则图2中所有与∠BEF度数相等的角有∠ABD、∠CBD、∠ADB、∠CDB．
9．（1）证明：∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE；
（2）解：∵CD＝CE，BE＝CE，
∴BE＝CD＝AB，
∴△ABE为等腰三角形，
∴设∠BAE＝∠BEA＝α，∠CED＝∠CDE＝β，
∴∠ABE＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2β，
又∵∠ABE+∠DCE＝180°，
∴180°﹣2α+180°﹣2β＝180°，
∴α+β＝90°，
∴∠AED＝90°，
即△AED为直角三角形，
∴AD＝＝＝5，
过点E作EK⊥AD，
∴EK＝＝，
△APD的面积＝AD?EK＝×5×＝6．
10．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
11．（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
∴DE＝BF＝8，
∵FN＝6，
∴．
12．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝2．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
13．解：（1）设点P运动时间为t（s），根据题意，得
点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，
当点P到达点B时，点Q恰好到达点D．
∴2（t﹣2）＝a（t﹣1），
当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，
即a×1×4＝3，
∴a＝．
即2（t﹣2）＝（t﹣1），
解得t＝5，
所以CD＝a（t﹣1）＝6．
答：CD的长为6；
（2）根据题意，得
BC＝AD＝4，CD＝6
DP＝2t，CQ＝1.5（t﹣1），
①点P的运动时间为t，0﹣1秒时点Q还在点C，
△BPQ面积不变为＝12；
即S＝12（0＜t≤1）
②当1＜t≤2时，
DQ＝6﹣1.5（t﹣1）＝7.5﹣1.5t，
S＝S梯形DPBC﹣S△DPQ﹣S△BQC
＝（2t+4）×6﹣×2t×（7.5﹣1.5t）﹣×1.5（t﹣1）×4
＝1.5t2﹣4.5t+15；
③当2＜t≤5时，
BP＝10﹣2t，
S＝BP?BC
＝（10﹣2t）×4
＝20﹣4t．
综上所述：
运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），
用含t（s）的式子表示面积S（cm2）为：
S＝12
（0＜t≤1）
或S＝1.5t2﹣4.5t+15（1＜t≤2）
或S＝20﹣4t（2＜t≤5）．
14．解：（1）证明：
∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
D是BC的中点
∴AD＝CD＝BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，
AF＝BD＝CD，
∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD?h
＝BC?h
＝S△ABC
＝AB?AC
＝．
法二、
连接DF
∵AF＝DB，
AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF＝AB＝8
∴S菱形ADCF＝AC?DF
＝．
法三、
∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，
∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24．
答：菱形ADCF的面积为24．
15．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝6，
∴CE＝2
答：CE的长为2；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形