2020-2021学年 苏科版八年级数学下册第九章 中心对称图形—平行四边形 压轴题提优复习（word版含答案）

八年级数学苏科版下册
《中心对称图形—平行四边形》
压轴题提优复习（二）
1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．
（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为　
　，点C的坐标为　
　；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是　
　；
（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．
（提示：连接MN：＝+1，＝﹣1）
2．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF的周长为　
　．
3．四边形OABC为正方形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1，已知四边形OABC周长为32．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）一条与y轴重合的直线m，从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度向右平移，平移至与直线BC重合时停止平移，设移动时间为t秒，在平移过程中，设直线m与线段OC交于点D，与线段AB交于点E，当长方形DOAE的面积等于长方形BCDE面积的3倍时，（如图2），求t值；
（3）在（2）的条件下，设M是直线m上一点，连接AM、BM．若AM⊥BM，求∠OAM+∠CBM的度数．
4．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．
5．已知，如图，在?ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使得BE＝DF，连接EF，分别交BC，AD于点M，N，连接AM，CN．
（1）求证：△BEM≌△DFN；
（2）求证：四边形AMCN是平行四边形．
6．如图，在Rt△ABM和Rt△ADN中，∠AMB＝∠AND＝90°，斜边AB和AD为正方形ABCD的边，其中AM＝AN．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT＝AD，求tan∠ABM的值．
7．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF．现计划在四边形DEBF区域内种植花草，求四边形DEBF与长方形ABCD的面积之比．
8．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由：
（2）若正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，求BE的长．
9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．
（Ⅰ）求证：AF＝GB；
（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）在?ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
10．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．
11．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过B、C做射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）我们知道S△ABD＝S△ACD，若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD、△ACD面积相等的所有三角形．
12．如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．求证：四边形AECF是平行四边形．
13．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．
（1）求证：四边形CEGF是菱形；
（2）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长．
参考答案
1．解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵点B（﹣1，0），A（0，1），
∴D（1，0），C（0，﹣1）；
过N作NH⊥BD于h，
∴∠NHB＝90°，
∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠NBH＝60°，BM＝BN，
∴NH＝BN＝t，
∵0＜t≤2，
∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；
故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；
（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，
由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴MN＝BM，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝BA，∠ABE＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN，
∴△ABM≌△EBN（SAS），
∴AM＝EN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，
又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，
∴∠EBH＝30°，
∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，
∴BH＝＝＝，
∴CH＝2+，
∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；
∴AM+BM+CM的最小值为+．
2．解：（1）∵四边形ABCD正方形，
∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE．
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，
即DF⊥ON；
（3）如图所示，过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，
∴∠BAO＝∠CBG，
又∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝AO＝＝12，CG＝BO＝5，
同理可得△CDH≌△BCG，
∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，
∴HG＝5+12＝17，
∴DF＝HG＝17，GF＝DH＝5，
∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，
∴△BEF的周长＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，
故答案为：24．
3．解：（1）∵正方形OABC的周长为32，
∴OA＝AB＝BC＝CO＝8，
∴A（0，8），B（8，8），C（8，0）；
（2）∵S四边形DOAE＝OD?AO＝8t，S四边形BCDE＝8（8﹣t），S四边形DOAE＝3S四边形BCDE，
∴8t＝3×8（8﹣t），
解得t＝6；
（3）①当点M在线段DE上时，如图1
∵OA∥DE，
∴∠OAM＝∠AME，
∵BC∥DE，
∴∠CBM＝∠BME，
∵AM⊥BM，
∴∠AMB＝90°，
∴∠AME+∠BME＝90°，
∴∠OAM+∠CBM＝90°；
②当点M在DE的延长线上时，如图2，
∵OA∥DE，
∴∠OAM+∠AME＝180°，
∵BC∥DM，
∴∠CBM+∠BMD＝180°，
∴∠OAM+∠AMD+∠CBM+∠BMD＝360°，
∴∠OAM+∠AMB+∠CBM＝360°，
∵AM⊥BM，
∴∠AMB＝90°，
∴∠OAM+∠CBM＝270°．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵点O是对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵OB＝OD＝BD＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴EF＝2OE＝6，
∴菱形DEBF的面积＝BD×EF＝×8×6＝24．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，
∴∠ADF＝∠EBC，
在△DFN和△BEM中
∴△DFN≌△BEM（ASA）；
（2）四边形ANCM是平行四边形，
理由是：∵由（1）知△DFN≌△BEM，
∴DN＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴AD﹣DN＝BC﹣BM，
∴AN＝CM，AN∥CM，
∴四边形ANCM是平行四边形．
6．证明：（1）在Rt△ABM和Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（HL）；
（2）1/3
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝∠BCF．
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，AE＝CF，
又∵BF∥DE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝x，
∴AC＝＝＝x，
∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC＝AD?CD＝AC?DE，
∴DE＝＝＝x，
在△ADE中，AE＝＝x，
CF＝x，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝x，
∴S四边形DEBF＝EF?DE＝x?x＝x2，
∵S矩形ABCD＝x?x＝x2，
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3．
8．解：（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中
∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，
∵正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，
∴BD＝2，GE＝4，
设BE＝x，则BG＝x﹣2，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得
x2+（x﹣2）2＝42，
∴x＝+
∴BE的长为+．
9．（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．
∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF
∴AD＝AG，BF＝BC．
∴AF＝BG；
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：我们只要保证添加的条件使得EF＝EG就可以了．
我们可以添加∠GFE＝∠FGD，
四边形ABCD为矩形，DG＝CF等等．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE＝AO＝，
∴EF＝2OE＝2，
∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
11．（1）证明：∵D是BC中点，
∴BD＝CD
∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴ED＝FD，
∵BD＝CD，
∴四边形BFEC是平行四边形；
（2）与△ABD和△ACD面积相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．
理由：∵四边形BECF是平行四边形，
∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF，
∵AF＝DF，
∴S△ABF＝S△BDF，S△ACF＝S△CDF
∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF＝S△ABF＝S△ACF，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△CEF＝S△BEF＝S△BEC＝S△BFC．
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
13．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
14．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝．
15．（1）证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，
∴平行四边形CEGF菱形；
（2）CE＝2．