2020-2021学年 苏科版八年级数学下册第九章 中心对称图形—平行四边形 压轴题提优复习（word版含答案）

八年级数学苏科版下册
《中心对称图形—平行四边形》
压轴题提优复习（三）
1．已知：如图，点E、F分别为?ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．
2．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是　
　．（直接写出答案即可）
3．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是菱形．
4．在?ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
6．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足　
　时，四边形ADCE是正方形．
9．如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
【思路分析】
①读题标注；
②梳理思路；
要证四边形ABCD是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：　
　．
【过程书写】
11．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝　
　．
12．如图1，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝8，点E、F是BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长．
（3）如图2，在（2）的条件下，取AB、CD的中点G、H，连接DG、BH，DG分别交AE、CF于点M、Q，BH分别交AE、CF于点N、P，求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；
（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．
参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，
在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴DF＝5，CF＝3，
∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，
∵BF＝DF＝5，
∴EH＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝6cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝2.5cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，
∵AE＝7.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7.5；
②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝5cm，AD＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），
∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：5．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
6．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
7．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝＝3，
∴OE＝OA＝3．
8．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，
∴AD＝2，
∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；
（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
9．（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝20，AD＝BC，
∵AP＝10，AB＝20，
∴BP＝10＝AP，
∴△PAD≌△PBC（SAS），
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴，，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形；理由如下：
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝20﹣x，
由勾股定理得：DP2+CP2＝DC2，
即64+x2+64+（20﹣x）2＝202，
解得：x＝4或x＝16．
∴当AP＝4或AP＝16时，四边形PMEN是矩形．
10．解：是菱形，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵两纸条宽度相同，所以纸条宽度AE＝AF．
又∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，
∴CD＝BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
故答案为：四条边相等的四边形即为菱形．
11．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD＝AB＝2，
∵四边形CFDE是正方形，
∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵AB⊥BF，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BC＝，
故答案为：．
12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE＝DF，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AF∥EC，AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：设菱形AECF的边长为x，
∵四边形AECF为菱形，AB＝4，BC＝8，
∴AE＝EC＝x，BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2即x2＝42+（8﹣x）2
解得：x＝5，
∴菱形AECF的边长为5；
（3）四边形MNPQ面积为20﹣2×＝．
13．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF＝BD，且CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，
∴四边形CDBF是菱形，
（3）如图，作EM⊥DB于点M，
在Rt△EMB中，EM＝BE?sin∠ABC＝2，
∴BM＝2
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DM＝ME＝2，
∴BD＝2+2
∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4
14．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．
15．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）EF＝．