2020-2021学年八年级数学人教版下册第18章平行四边形章末综合课后提升作业（附答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学人教版下册第18章平行四边形章末综合课后提升作业（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 319.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-05 19:45:11 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册第18章平行四边形章末综合课后提升作业（附答案）
1．如图，过?ABCD对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，则下列说法错误的是（ ）
A．EH＝HG
B．AC与EG互相平分
C．EH∥FG
D．AC平分∠DAB
2．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．8
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20
B．16
C．34
D．25
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
7．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．75°
9．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A．AC＝AD
B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4
B．4
C．4
D．28
11．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
13．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5
cm
B．10
cm
C．20
cm
D．40
cm
14．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135°
B．120°
C．112.5°
D．67.5°
15．已知?ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．60°
B．80°
C．100°
D．160°
16．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
17．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等
B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行
D．两条对角线互相垂直
18．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝BC，CD＝DA
B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C
D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
19．能够判定一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等且互相垂直
D．对角线互相垂直
20．在?ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（ ）
A．115°
B．65°
C．25°
D．35°
21．下列结论中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
22．如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC等于（ ）
A．112.5°
B．120°
C．135°
D．145°
23．如图所示，在平行直角坐标系中，?OMNP的顶点P坐标是（3，4），顶点M坐标是（4，0）、则顶点N的坐标是（ ）
A．N（7，4）
B．N（8，4）
C．N（7，3）
D．N（8，3）
24．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E．F分别为AC和AB的中点，则EF＝
．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE大小会发生变化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，BG＝6GF；⑤S四边形BCDG＝．其中正确的结论有
（填序号）．
26．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件
，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
27．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形的面积为
．
28．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是
．
29．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则?ABCD的周长等于
．
30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝
．
31．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为
．
32．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
33．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
34．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
35．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）AF垂直平分线线段BO于点F，AC＝12，求BC的长．
36．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
37．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ＝AP．
38．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
39．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．
40．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．
（1）求平行四边形ABCD的面积S；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCG，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COG中，，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∴AC与EG互相平分，
同理可得OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EH＝GH，EH∥FG．选项A、B、C不符合题意；
当四边形ABD是菱形时，AC平分∠DAB，
没有条件证出四边形ABCD是菱形，选项D符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴tan∠ADB＝＝．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
3．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
4．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
5．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×6＝12．
故选：B．
6．解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
8．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝∠CED＝30°．
故选：C．
9．解：邻边相等的平行四边形为菱形．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA＝BC．
故选：B．
10．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
11．解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选：B．
12．解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
13．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10，
则菱形ABCD的周长为40cm．
故选：D．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵四边形BEFD是菱形，
∴∠EBF＝∠DBC＝22.5°，
∴∠FPC＝∠BCD+∠EBF＝90°+∠22.5°＝112.5°；
故选：C．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝∠C＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故选：B．
16．解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
17．解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：B．
18．解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，
所以只有C能判定．
故选：C．
19．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；
B、对角线互相垂直平分的是菱形，故错误；
C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，
故选：A．
20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝65°，
故选：B．
21．解：A．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
B．∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴B正确；
C．∵一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，
∴C不正确；
D．∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴D正确；
故选：C．
22．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
又∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACF＝45°，
∴∠ACE＝∠DCE+∠ACF＝135°，
∵CE＝CA，
∴∠FAC＝∠E＝（180°﹣135°）＝22.5°
∴∠AFD＝∠FAC+∠ACF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AFC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
故选：A．
23．解：过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE＝3，PE＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE＝MF＝3，
∵4+3＝7，
∴点N的坐标为（7，4）．
故选：A．
24．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵点E．F分别为AC和AB的中点，
∴EF＝BC＝3，
故答案为：3．
25．解：①∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；
②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故本选项错误；
③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），
则△CBM≌△CDN（AAS），
∴CN＝CM，
∵CG＝CG，
∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），
∴∠DGC＝∠BGC，
∴CG平分∠BGD；故本选项正确；
④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），
∵AF＝2FD，
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，
∵AE＝DF，AB＝AD，
∴BE＝2AE，
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，
即BG＝6GF，故本选项正确；
⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，
即∠BGD+∠BCD＝180°，
∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，
∴∠BGC＝∠DGC＝60°，
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），
则△CBM≌△CDN（AAS），
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，
S四边形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，
∴GM＝CG，CM＝CG，
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××CG×CG＝CG2，故本选项错误；
综上所述，正确的结论有①③④，共3个，
故答案为①③④．
26．解：OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
27．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
28．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
29．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AE+DE＝AD＝BC＝6，
∴AE+2＝6，
∴AE＝4，
∴AB＝CD＝4，
∴?ABCD的周长＝4+4+6+6＝20，
故答案为：20．
30．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，
在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4，
∴BC＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴OE?BC＝OB?OC，
∴OE＝＝．
故答案为．
31．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝＝＝3；
故答案为：3．
32．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．
∵AE＝DF，AE∥DF．
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴EO＝FO，AO＝DO，
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD，
∴BO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形．
33．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
34．解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
35．证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO＝DO＝BO，
∴四边形OCED为菱形．
（2）过O作OE⊥BC，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AF垂直平分线线段BO于点F，
∴AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，∠OEB＝90°，
∴BE＝，
∴BC＝6．
36．解：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，
∴EC＝CD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CE＝CD，AC＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝BE，BE＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
37．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAQ＝∠ADP＝90°，AB＝DA，
∵DQ＝CP，
∴AQ＝DP，
在△ABQ和△DAP中，
，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴BQ＝AP．
38．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．
39．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，
∴a2＝122+（18﹣a）2，
∴a＝13，
∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，
∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．
40．（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝8．在?ABCD的面积中，BC＝CD＝8，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴?ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．
1．如图，过?ABCD对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，则下列说法错误的是（ ）
A．EH＝HG
B．AC与EG互相平分
C．EH∥FG
D．AC平分∠DAB
2．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．8
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20
B．16
C．34
D．25
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
7．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．75°
9．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A．AC＝AD
B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4
B．4
C．4
D．28
11．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
13．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5
cm
B．10
cm
C．20
cm
D．40
cm
14．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A．135°
B．120°
C．112.5°
D．67.5°
15．已知?ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．60°
B．80°
C．100°
D．160°
16．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
17．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等
B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行
D．两条对角线互相垂直
18．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝BC，CD＝DA
B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C
D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
19．能够判定一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等且互相垂直
D．对角线互相垂直
20．在?ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（ ）
A．115°
B．65°
C．25°
D．35°
21．下列结论中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
22．如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC等于（ ）
A．112.5°
B．120°
C．135°
D．145°
23．如图所示，在平行直角坐标系中，?OMNP的顶点P坐标是（3，4），顶点M坐标是（4，0）、则顶点N的坐标是（ ）
A．N（7，4）
B．N（8，4）
C．N（7，3）
D．N（8，3）
24．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E．F分别为AC和AB的中点，则EF＝
．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE大小会发生变化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，BG＝6GF；⑤S四边形BCDG＝．其中正确的结论有
（填序号）．
26．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件
，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
27．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形的面积为
．
28．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是
．
29．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则?ABCD的周长等于
．
30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝
．
31．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为
．
32．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．
33．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
34．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．
（1）证明∠ABE＝∠ACF；
（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（3）求MN的长．
35．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）AF垂直平分线线段BO于点F，AC＝12，求BC的长．
36．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
37．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ＝AP．
38．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
39．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．
40．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．
（1）求平行四边形ABCD的面积S；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCG，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COG中，，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∴AC与EG互相平分，
同理可得OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EH＝GH，EH∥FG．选项A、B、C不符合题意；
当四边形ABD是菱形时，AC平分∠DAB，
没有条件证出四边形ABCD是菱形，选项D符合题意；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴tan∠ADB＝＝．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
3．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
4．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
5．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×6＝12．
故选：B．
6．解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
8．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝∠CED＝30°．
故选：C．
9．解：邻边相等的平行四边形为菱形．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA＝BC．
故选：B．
10．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
11．解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选：B．
12．解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
13．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10，
则菱形ABCD的周长为40cm．
故选：D．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵四边形BEFD是菱形，
∴∠EBF＝∠DBC＝22.5°，
∴∠FPC＝∠BCD+∠EBF＝90°+∠22.5°＝112.5°；
故选：C．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝∠C＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故选：B．
16．解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
17．解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：B．
18．解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，
所以只有C能判定．
故选：C．
19．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；
B、对角线互相垂直平分的是菱形，故错误；
C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，
故选：A．
20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝65°，
故选：B．
21．解：A．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
B．∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴B正确；
C．∵一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，
∴C不正确；
D．∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴D正确；
故选：C．
22．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，
又∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACF＝45°，
∴∠ACE＝∠DCE+∠ACF＝135°，
∵CE＝CA，
∴∠FAC＝∠E＝（180°﹣135°）＝22.5°
∴∠AFD＝∠FAC+∠ACF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AFC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
故选：A．
23．解：过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE＝3，PE＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE＝MF＝3，
∵4+3＝7，
∴点N的坐标为（7，4）．
故选：A．
24．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵点E．F分别为AC和AB的中点，
∴EF＝BC＝3，
故答案为：3．
25．解：①∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；
②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故本选项错误；
③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），
则△CBM≌△CDN（AAS），
∴CN＝CM，
∵CG＝CG，
∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），
∴∠DGC＝∠BGC，
∴CG平分∠BGD；故本选项正确；
④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），
∵AF＝2FD，
∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，
∵AE＝DF，AB＝AD，
∴BE＝2AE，
∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，
即BG＝6GF，故本选项正确；
⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，
即∠BGD+∠BCD＝180°，
∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，
∴∠BGC＝∠DGC＝60°，
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），
则△CBM≌△CDN（AAS），
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，
S四边形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，
∴GM＝CG，CM＝CG，
∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××CG×CG＝CG2，故本选项错误；
综上所述，正确的结论有①③④，共3个，
故答案为①③④．
26．解：OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
27．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
28．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故答案为：18．
29．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AE+DE＝AD＝BC＝6，
∴AE+2＝6，
∴AE＝4，
∴AB＝CD＝4，
∴?ABCD的周长＝4+4+6+6＝20，
故答案为：20．
30．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，
在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4，
∴BC＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴OE?BC＝OB?OC，
∴OE＝＝．
故答案为．
31．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝＝＝3；
故答案为：3．
32．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．
∵AE＝DF，AE∥DF．
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴EO＝FO，AO＝DO，
又∵AB＝CD，
∴AO﹣AB＝DO﹣CD，
∴BO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形EBFC是平行四边形．
33．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
34．解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
35．证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO＝DO＝BO，
∴四边形OCED为菱形．
（2）过O作OE⊥BC，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AF垂直平分线线段BO于点F，
∴AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，∠OEB＝90°，
∴BE＝，
∴BC＝6．
36．解：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，
∴EC＝CD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CE＝CD，AC＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝BE，BE＝BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
37．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAQ＝∠ADP＝90°，AB＝DA，
∵DQ＝CP，
∴AQ＝DP，
在△ABQ和△DAP中，
，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴BQ＝AP．
38．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．
39．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，
∴a2＝122+（18﹣a）2，
∴a＝13，
∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，
∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．
40．（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝8．在?ABCD的面积中，BC＝CD＝8，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴?ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．