2020-2021学年八年级数学人教版下册第18章平行四边形章末综合能力提升训练（附答案）

2021年度人教版八年级数学下册第18章平行四边形章末综合能力提升训练（附答案）
1．?ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠B的度数（　　）
A．120°
B．60°
C．30°
D．150°
2．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．5
3．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（　　）
A．5
B．2.5
C．3.5
D．4.5
4．如图，在?ABCD中，AD＝4，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（　　）
A．40m
B．80m
C．160m
D．不能确定
6．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD∥BC
B．AB∥DC，∠A＝∠B
C．AB∥DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AB＝DC
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．16.5
B．18
C．23
D．26
9．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（　　）
A．AO＝OC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．BD平分∠ABC
11．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为（　　）
A．6cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AO＝BO
B．AC＝AD
C．AB＝BC
D．OD＝AC
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10
B．12
C．16
D．18
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是（　　）
A．（﹣1，）
B．（﹣，1）
C．（1﹣，）
D．（1，）
15．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（　　）
A．（9，4）
B．（6，4）
C．（4，9）
D．（8，4）
16．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是　
　（只需添加一个即可）
17．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是　
　cm．
18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是　
　．
19．如图，在△MBN中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是　
　．
20．在?ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10cm，AD＝8cm，则OB＝　
　cm．
21．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是　
　．
22．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为　
　cm．
23．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC＝　
　°．
24．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝35°，则∠HOB的度数为　
　．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0），若点C在x正半轴上，则点B的坐标为　
　．
26．如图，?ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
27．如图，在?ABCD中AB＝6，BC＝8，AC＝10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．
28．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
29．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．
30．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，它们相交于点E．求证：四边形OBEC是正方形．
31．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．
32．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
33．如图，四边形ABCD是平行四边形．AE⊥BC．AF⊥CD．垂足分别为E，F．且BE＝DF．
求证：四边形ABCD是菱形．
34．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
35．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点．BE与CF相交于点P．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）判断PA与AB的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∠A，∠B的度数之比为2：1，
∴∠A＝120°，∠B＝60°，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，
∴AB＝5．
故选：D．
3．解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，
所以＝2.5，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×4＝2．
故选：A．
5．解：∵M、N分别是AC、BC中点，
∴NM是△ACB的中位线，
∴AB＝2MN＝80m，
故选：B．
6．解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
7．解：A、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、AB∥DC，∠A＝∠B不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB∥DC，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、AB∥DC，AB＝DC能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选：D．
8．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，DC＝，
∵BC＝10，
∴DC＝5，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝EC＝＝6.5，
∴△CDE的周长为：DC+EC+DE＝13+5＝18，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝∠ABO＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝AB＝2．
∴AC＝2A0＝4，
故选：B．
10．解：添加的条件是AC＝BD，
理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝6cm，OB＝OD，
∵OE∥DC，
∴BE：CE＝BO：DO，
∴BE＝CE，
即OE是△BCD的中位线，
∴OE＝CD＝3cm．
故选：C．
12．解：A、AO＝BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
B、AC＝AD，不能判断?ABCD是菱形，错误；
C、根据菱形的定义可得，当AB＝BC时?ABCD是菱形，正确；
D、OD＝AC，不能判断?ABCD是菱形，错误；
故选：C．
13．解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，
∴OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16；
故选：C．
14．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵C点坐标为（，1），
∴OE＝，CE＝1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠AOD+∠COE＝90°
∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OD＝CE＝1，AD＝OE＝，
∴点A（﹣1，）；
故选：A．
15．解：在?ABCO中，O（0，0），A（6，0），
∴OA＝BC＝6，
又∵BC∥AO，C（3，4），
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴B（3+6，4），
即（9，4）；
故选：A．
16．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
17．解：∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），
∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是24cm2，
∴正方形AFCE的面积是24cm2，
∴AE＝EC＝＝2（cm），
根据勾股定理得：AC＝＝4，
故答案为：4．
18．解：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A＝90°时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为∠A＝90°．（填∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°也可以）
19．解：∵A，C，D分别是各边中点，
∴AB＝BM＝×6＝3；
BC＝BN＝×7＝；
AD＝BN＝×7＝；
CD＝BM＝×6＝3．
四边形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD＝+3++3＝13．
故答案为13．
20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝＝6（cm），
∴OC＝AC＝3cm，
∴OB＝＝＝（cm）；
故答案为：．
21．解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝3，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故答案为24．
22．解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB?OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故答案为：4．
23．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°．
又CF＝CF，
∴△DCF≌△BCF（SAS）．
∴∠CDF＝∠CBF．
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝60°．
又AB＝AD，
∴AD＝AE，且∠DAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ADE＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
∴∠CDF＝90°﹣15°＝75°＝∠CBF．
∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
故答案为60．
24．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
∴∠HOB＝180°﹣2∠OBH，
∵∠OAB＝∠CAD＝35°，
∴∠ABO＝90°﹣35°＝55°，
∴∠HOB＝180°﹣2×55°＝70°．
故答案为：70°．
25．解：∵菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0），
∴OA＝4，OD＝3，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝5，
∴B（5，4）；
故答案为：（5，4）．
26．证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO
BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即
EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形．
27．（1）证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝10．
28．证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
29．（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝DO，
在△AOD与△COB中，，
∴△AOD≌△COB，
∴AO＝OC，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝BD＝，
∴OC＝＝2，
∴AC＝4，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝4．
30．解：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形，
∵OC＝OB，
∴四边形OBEC是正方形．
31．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，
∴a2＝122+（18﹣a）2，
∴a＝13，
∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，
∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．
32．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
33．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
34．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
35．证明：（1）∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
∴EC＝DF．
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF．
∴∠CBE＝∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP＝90°，
∴∠CBE+∠BCP＝90°，
∴BE⊥FC．
（2）延长CF、BA交于点M．
∵FC⊥EB，
∴∠BPM＝90°．
∵在△CDF和△AMF中，，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD＝AM．
∵CD＝AB，
∴AB＝AM．
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP＝MB．
∴AP＝AB．