2020-2021学年北师大版数学七年级下册单元期末复习课件 第四章　三角形（共81张ppt）

(共81张PPT)
第四章　三角形
章末复习
第四章　三角形
章末复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
知识框架
分类
三角形
全等
三角形
应用
判定
尺规作图
性质
有关线段
概念
性质
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
中线、角平分线、高线
分类
按角分类：锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形
按边分类：等腰三角形、
不等边三角形
三角形三个内角的和等于180°
三角形任意两边之和大于第三
边,
任意两边之差小于第三边
三角形具有稳定性
性质
对应边相等
对应角相等
周长、面积相等
性质
对应中线相等
对应高线相等
对应角平分线相等
全等
三角形
SSS
ASA或AAS
判定
SAS
应用
三角形稳定性的应用
用三角形全等测距离
【要点指导】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任
意两边之差小于第三边.利用三角形三边关系可以解决以下问题：
(1)判断三条线段能否构成三角形；
(2)求三角形第三边长的取值范围；
(3)确定三角形第三边的长,
并进一步求该三角形的周长等.
归纳整合
专题一
三角形三边关系的应用
例1
王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的花圃.
已知第一条边长为a米,
由于受地势限制,
第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米.
(1)请用含a的式子表示出第三条边长.
(2)第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由.
(3)能否使围成的花圃是等腰三角形？若能,
说明你的围法；若不能,请说明理由．
分析
本题以三角形三边关系为载体,
主要考查了整式计算与三角形的有关边的知识的理解与运用,
在探究等腰三角形的形状时要注意分类讨论,构建方程分析与解决实际问题.
解：
(1)第一条边长为a米,
由题意得第二条边长为(2a+2)米,
所以第三条边长为30-a-(2a+2)＝(28-3a)米．
(2)不可以为8米．
理由：因为a=8时,
2a+2=18,
28-3a=4,
又因为8+4<18,
不满足三角形三边之间的关系,
所以不能构成三角形．
(3)能围成等腰三角形．因为a>0,
所以当a=2a+2时,
此方程无解,
不能围成等腰三角形；当a＝28-3a时,
解得a＝7,
2a+2=16,
因为7+7<16,
不满足三角形三边之间的关系,
所以不能围成等腰三角形；当2a+2＝28-3a时,解得
,因为
,此时满足三角形三边之间的关系,
所以存在三边长为
米,
米,
米的等腰三角形.
相关题1-1
已知△ABC的三边长都是整数,
且AB=2,
BC=6,
则△ABC的周长可能是(
).
A．14
B．16
C．18
D．20
A
[解析]
根据“三角形任意两边之和大于第三边”可知AC＜8；根据“三角形任意两边之差小于第三边”可知AC＞4，因此可以确定AC的取值范围，从而可以确定△ABC的周长的范围．
相关题1-2
已知等腰三角形ABC的两边长分别为2和3,
则等腰三角形ABC的周长为(
).
A．7
B．8
C．6或8
D．7或8
D
[解析]
2和3都可能是底边长，应分别考虑并判断是否可以组成三角形．
相关题1-3
设a,
b,
c是△ABC的三边长,
化简：|a-b-c|+|b-c-a|+
|c+a-b|.
解：
根据三角形的三边关系，得a所以a－b－c<0，b－c－a<0，c＋a－b>0，
所以|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝a－b＋3c.
【要点指导】三角形中的角度计算,
主要是指运用三角形三个内
角的和等于180°,
直角三角形的两个锐角互余,
以及三角形的角平分线、高线等知识进行有关角的度数的计算等．
专题二
与三角形有关的角度计算
例2
下列条件中,
不能判定△ABC为直角三角形的是(
).
A．∠A=2∠B=3∠C
　　　
B．2∠A=2∠B=∠C
C．∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1　
D．∠A=
∠B=
∠C
A
分析
相关题2-1
如图4-Z-1,
△ABC的角平分线CD,
BE相交于点F,
∠A=90°,
EG∥BC,
且CG⊥EG于点G,
下列结论：①∠CEG
=2∠DCB；②∠DFB=
∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG.
其中正确结论的个数是(
).
图4-Z-1
C
③因为∠A＝90°，所以∠ADC＋∠ACD＝90°.
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠BCD，所以∠ADC＋∠BCD＝90°.
因为EG∥BC，且CG⊥EG，
所以∠GCB＝90°，即∠GCD＋∠BCD＝90°，
所以∠ADC＝∠GCD，故正确．
④无法证明CA平分∠BCG，故错误．
所以正确的为①②③.
相关题2-2
如图4-Z-2所示,
点A,
B,C,
D,
E,
F是平面上的六个点,
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是(
).
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
图4-Z-2
B
[解析]
如图，因为∠PGH＝∠AGB＝180°－∠A－∠B，
∠GHP＝∠CHD＝180°－∠C－∠D，
∠GPH＝∠EPF＝180°－∠E－∠F，
且∠PGH＋∠GHP＋∠GPH＝180°，
所以540°－∠A－∠B－∠C－∠D－∠E－∠F＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－180°＝360°.
【要点指导】对于三角形中重要线段的问题,
应掌握重要线段所表示的含义,
例如与角有关的有三角形的角平分线和高线,
与此同时会涉及余角的相关知识,
同时还要注意三角形中平行线性质的运用等.
专题三
三角形中重要线段的应用
例3
如图4-Z-3,
在△ABC中,
E是BC边上一点,EC=2BE,
D是AC的中点,
设△ABC,
△ADF,
△BEF的面积分别为S
△ABC
,
S
△ADF
,
S
△BEF
,
且S
△ABC
=12,
则S
△ADF-S
△BEF=　　　.
图4-Z-3
2
分析
由D是AC的中点且S
△ABC
=12,
可得S
△ABD
=
S
△ABC
=
×12=6；
同理由EC=2BE得BE=
BC,
可得S
△ABE
=
×12=4.
又S
△ABE-S△ABF
=S
△BEF
,
S
△ABD-S△ABF
=S
△ADF
,
等量代换可知S
△ADF-S△BEF
=2.
相关题3
如图4-Z-4,
AD为△ABC的中线,
BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,
∠BAD=35°,
求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高；
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,
则点E到BC边的距离为多少？
图4-Z-4
解：
(1)因为∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，
所以∠BEA＝180°－15°－35°＝130°，
所以∠BED＝180°－130°＝50°.
(2)如图所示，EF是△BED中BD边上的高．
例4
如图4-Z-5,
BO,
CO分别平分∠ABC和∠ACB.
(1)若∠A=60°,
求∠O的度数；
(2)若∠A=100°或∠A=120°,
求∠O的度数；
(3)由(1)(2)你发现了什么规律？
写出你的结论,
并说明理由.
图4-Z-5
解：
如图4-Z-5,
因为BO,
CO分别平分∠ABC和∠ACB,
所以∠1=∠2,
∠3=∠4.
(1)因为∠A=60°,
所以∠1+∠2+∠3+∠4=120°,
所以∠1+∠4=60°,
所以∠O=120°．
(2)若∠A=100°,
则∠1+∠2+∠3+∠4=80°,
所以∠1+∠4=40°,
所以∠O=140°.
若∠A=120°,
则∠1+∠2+∠3+∠4=60°,
所以∠1+∠4=30°,
所以∠O
=150°.
图4-Z-5
(3)∠O=90°+
∠A.
理由：因为∠1+∠4=
∠ABC+
∠ACB=
(180°-∠A)
=90°-
∠A,
所以∠O=180°-(∠1+∠4)
=180°-
(
90°-
∠A)
=90°+
∠A.
图4-Z-5
相关题4
在△ABC中,
∠ACB＞∠ABC,
AD平分∠BAC．
(1)如图4-Z-6①,
过点B作BE⊥射线AD于点E,则∠ABE与
(∠ACB+∠ABC)之间有何数量关系？请说明理由；
图4-Z-6
相关题4
在△ABC中,
∠ACB＞∠ABC,
AD平分∠BAC．
(2)如图②,
过点C作CF⊥A
D
于
点
F
,
则
∠
D
C
F
,∠ACB,
ABC
之间又有怎样的数量关系？写出你的结论(不需说明理由)；
图4-Z-6
相关题4
在△ABC中,
∠ACB＞∠ABC,
AD平分∠BAC．
(3)
如图③,
过点A作AE⊥BC于点E,
则∠DAE与∠ACB,
∠ABC之间又有怎样的数量关系？写出你的结论(不需说明理由).
图4-Z-6
【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据.
三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.
在具体问题中,
一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出),
其余条件常隐含于条件或图形中,
因此找出这些隐含条件是解答问题的关键.
专题四
全等三角形的判定与性质的运用
例5
[衡阳中考]如图4-Z-7,
已知线段AC,
BD相交于点E,
AE=DE,
BE=CE．
(1)试说明：△ABE≌△DCE；
(2)当AB=5时,
求DC的长．
图4-Z-7
解：
(1)在△ABE和△DCE中,
因为AE=DE,
∠AEB=∠DEC,
BE=CE,
所以△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)因为△ABE≌△DCE,
所以AB=DC.
因为AB=5,
所以DC=5．
相关题5
[武汉中考]如图4-Z-8,点C,
F,
E,
B在一条直线上,∠CFD=
∠BEA,CE=BF,
DF=AE,
写出CD与AB之间的关系,
并说明理由．
图4-Z-8
[解析]由已知推出CF＝BE，
根据“SAS”判定△AEB≌△DFC，
从而得出CD＝AB，∠C＝∠B，
根据平行线的判定得出CD∥AB.
解：CD∥AB，CD＝AB，
理由：因为CE＝BF，
所以CE－EF＝BF－EF，即CF＝BE.
在△DFC和△AEB中，
因为CF＝BE，∠CFD＝∠BEA，DF＝AE，
所以△DFC≌△AEB(SAS)，
所以CD＝AB，∠C＝∠B，
所以CD∥AB.
【要点指导】本类题以探究题、开放题为主,
通过“一题多变”与“一题多解”考查同学们的发散思维能力.
这种命题的方式是近年中考命题的一大亮点,
主要考查学生探索三角形全等的条件.
添加条件判定全等的题目,
首先要找到已具备的条件,
这些条件有些是题目明确给出的,
有些是题目隐含的,
然后依据三角形全等的判定方法找出还缺少的条件后进行添加.
但需注意添加条件时,
不能构成“SSA”的形式.
专题五
全等三角形开放探究型问题
例6
如图4-Z-9,
已知点B,
F,
C,
E在同一条直线上,
FB=CE,
AC=
DF.
能否由上面的已知条件说明AB∥DE？如果能,
请写出解答过程；如果不能,
请从下列三个条件中选择一个合适的条件,
添加到已知条件中,
使AB∥DE成立,
并给出理由.
供选择的三个条件(请从其中选择一个)：①AB=DE；
②BC=EF；③∠ACB=∠DFE.
图4-Z-9
分析
解：
由上面的已知条件不能说明AB∥DE.
因为缺少说明△ABC和△DEF全等的条件.
有两种添加方法：
(1)添加
①AB=DE.
理由：因为FB=CE,
所以BC=EF.
又因为AC=DF,
AB=DE,所以△ABC≌△DEF,
所以∠B=∠E,
所以AB∥DE.
(2)添加
③∠ACB=∠DFE.
理由：因为FB=CE,
所以BC=EF.
又因为∠ACB=∠DFE
,
AC=DF,
所以△ABC≌△DEF,
所以∠B=∠E,
所以AB∥DE.
相关题6
如图4-Z-10,
△ABC的两条高AD,BE相交于点F,
请添加一个条件,
使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),
你添加的条件是　　　
　
.
答案不唯一，如AC＝BC
图4-Z-10
[解析]
答案不唯一，如添加条件：AC＝BC.
因为AD，BE是△ABC的两条高，
所以∠ADC＝∠BEC＝90°.
在△ADC和△BEC中，
因为∠ADC＝∠BEC，∠C＝∠C，AC＝BC，
所以△ADC≌△BEC.
【要点指导】三角形作为初中阶段最基础、最重要的内容,
经常作为呈现知识、能力和数学思想的载体.在等腰三角形中常常涉及分类讨论思想.
素养提升
专题一
分类讨论思想
例1
已知等腰三角形的周长是24
cm.
(1)若腰长是底边长的2倍,
求腰长；
(2)已知其中一边长为6
cm,
求其他两边长.
分析
(1)可以通过设未知数来进行计算,
列出方程,
通过求方程的解得到答案,
其中体现了方程思想.
(2)要注意分两种情况考虑,
因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,
所以应该分成两种情况考虑：一种是6
cm长的边为腰,
另一种是6
cm长的边为底,
体现了数学中的分类讨论思想.
注意计算结果还要验证是否符合两边之和都大于第三边.
解：
(1)设底边长为x
cm,
则腰长为2x
cm,
根据题意,
得x+2x+2x=24,
解得x=4.8,
所以2x=2×4.8=9.6,
即腰长为9.6
cm.
(2)因为长为6
cm的边可能是腰,
也可能是底,
所以要分两种情况讨论.
当长为6
cm的边为腰时,
则底边长为24-6×2=12(cm).
因为6+6=12,
两边之和等于第三边,
所以长为6
cm的边为腰时不能组成三角形,
舍去；
当长为6
cm的边为底边时,
则腰长为(24-6)÷2=9(cm).
因为6+9>9,
所以可以组成三角形,
所以三角形的其他两边长均为9
cm
相关题1
已知a,
b,
c为△ABC的三边长,
b,
c满足(b-2)2
+|c-3|=0,
且a为方程|x-4|=2的解,
求△ABC的周长,
并判断△ABC的形状．
解：由(b－2)2＋|c－3|＝0可得b＝2，c＝3.
由|x－4|＝2解得x＝2或x＝6，故a＝2或a＝6.
当a＝6时，2＋3<6，无法组成三角形，故舍去；
当a＝2时，2＋2>3，可以组成三角形，即△ABC的三边长分别为2，2，3，它的周长为7，它的形状是等腰三角形．
【要点指导】转化思想就是把复杂的问题转化为简单的问题,
把未知的问题转化为已知的问题来处理的一种思想,
这种思想是我们在解决问题时很重要的一种思想.
本章中最为常见的是把证明线段、角相等转化为证明三角形全等,
把测量长度、选址等实际问题转化为数学问题来解决.
专题二
转化思想的应用
例2
如图4-Z-11所示,
小强在河的岸边,
要测量河面上的一只船B与对岸码头A之间的距离,
他的做法如下：①在岸边确定一点C,
使点C与点A,
B在同一直线上；②在与AC垂直的方向作线段CD,取其中点O；
③作DF⊥CD,
使点F,
O,
A
在同一直线上；④在线段DF上找到一点
E,
使点E与点O,
B共线.
他说测出线段EF
的长就得到了船B与对岸码头A之间的距离.
他这样做有道理吗？为什么？
图4-Z-11
分析
解：小强的做法有道理.
理由：
因为AC⊥CD,
DF⊥CD,
所以∠C=∠D=90°.
又因为OC=OD,
∠AOC=∠FOD(对顶角相等),
所以△ACO≌△FDO(ASA),
所以OA=OF,
∠A=∠F(全等三角形的对应边相等,
对应角相等).
又因为∠AOB=∠FOE(对顶角相等),
所以△AOB≌△FOE(ASA),
所以EF=AB(全等三角形的对应边相等),
所以线段EF的长就是船B与对岸码头A之间的距离.
相关题2
如图4-Z-12所示,
要测量池宽AB,
可以从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,
再从点C观测,在BA的延长线上找到一点B′,
使∠ACB′=∠ACB.这时量得的AB′的长度就是AB的长度.
请你说明其中的道理.
图4-Z-12
解：
在△ACB和△ACB′中，
因为∠CAB＝∠CAB′＝90°，AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，
所以△ACB≌△ACB′(ASA)，
所以AB＝AB′.
中考链接
母题1
(教材P86习题4.2第1题,
第2题)
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度,
用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆,
验证你的结论.
(1)3
cm,
4
cm,
5
cm；
(2)8
cm,
7
cm,
15
cm；
(3)13
cm,
12
cm,
20
cm；
(4)5
cm,
5
cm,
11
cm.
2．等腰三角形一边长9
cm,
另一边长4
cm,
它的第三边是多少？为什么？
考点：三角形的三边关系.
考情：主要考查三条线段能否构成三角形或求第三边长的取值.
策略：根据三角形任意两边之和大于第三边,
任意两边之差小于第三边,
确定未知边长的取值范围,
然后进一步求边长或周长.
链接1
[金华中考]下列各组数中,
不可能成为一个三角形三边长的是(　　).
A．2,
3,
4
B．5,
7,
7
C．5,
6,
12
D．6,
8,
10
C
分析
因为5+6<12,
所以5,
6,
12不可能成为一个三角形的三边长.
故选C.
链接2
[自贡中考]已知三角形的两边长分别为1和4,
第三边长为整数,
则该三角形的周长为(　　).
A．7　　
B．8　　
C．9　　
D．10
C
分析
设第三边长为x.
根据三角形的三边关系,
得4-1＜x＜4+1,即3＜x＜5.
因为x为整数,
所以x的值为4,
故三角形的周长为1+4+4=9.
故选C.
母题2
(教材P84随堂练习第2题)
一个三角形两个内角的度数分别如下,
这个三角形是什么三角形？
(1)30°和60°；
(2)40°和70°；
(3)50°和20°.
考点：三角形的内角和.
考情：主要考查三角形中角度的计算,
判断三角形的形状.
策略：根据“三角形三个内角的和等于180°”计算角的度数,
判断三角形的形状主要看三角形中最大角的度数,
最大角为钝角时是钝角三角形,最大角为直角时是直角三角形,
最大角为锐角时是锐角三角形.
链接3
[襄阳中考]如图4-Z-13,
AD是∠EAC的
平
分
线
,
A
D
∥
B
C
,∠B=30°,
则∠C的度数为(　　).
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
C
图4-Z-13
分析
链接4
[绍兴中考]如图4-Z-14,
墙上钉着三根木条a,
b,c,
量得∠1
=70°,
∠2=100°,
那么木条a,
b所在直线所夹的锐角是(　　).
A．5°
B．10°
C．30°
D．70°
B
图4-Z-14
分析
如图4-Z-15,
由对顶角相等可知∠3=∠2=100°,
所以木条a,
b所在直线所夹的锐角=180°-100°-70°=10°,
故选B.
图4-Z-15
链接5
[滨州中考]在△ABC中,
若∠A=30°,∠B=50°,
则∠C=　　
　
.
100°
分析
因为在△ABC中,
∠A=30°,
∠B=50°,
所以∠C=180°-30°-50°=100°．
母题3
(教材P104习题4.8第1题)
如图4-Z-16,
点E在AB上,
AC=AD,
∠CAB=∠DAB,
△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请说明理由.
图4-Z-16
考点：全等三角形的判定.
考情：主要考查利用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定三角形全等,
或说明线段相等、角相等.
策略：先根据已知条件或要说明的结论,
确定需要说明全等的三角形,
再根据三角形全等的判定方法,
确定所缺条件,
最后根据已知找所缺条件.
链接6
[成都中考]如图4-Z-17,
已知∠ABC=∠DCB,添
加
以
下
条
件
,
不
能
判
定△ABC≌△DCB的是(　　).
A．∠A=∠D
B．∠ACB=∠DBC
C．AC=DB
D．AB=DC
C
图4-Z-17
分析
A项,
∠A=∠D,
∠ABC=∠DCB,BC=CB,
符合“AAS”,
即能推出△ABC≌△DCB,故本选项不符合题意；B项,
∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∠ACB=∠DBC,
符合“ASA”,
即能推出△ABC≌△DCB,
故本选项不符合题意；C项,∠ABC=∠DCB,
AC=BD,
BC=CB,
不符合三角形全等的判定条件,
即不能推出△ABC≌△DCB,
故本选项符合题意；D项,
AB=DC,
∠ABC=∠DCB,BC=CB,
符合“SAS”,
即能推出△ABC≌△DCB,故本选项不符合题意．
链接7
[广州中考]如图4-Z-18,
AB与CD相交于点E,
AE=CE,
DE=BE．试说明：∠A=∠C．
图4-Z-18
解：
在△AED和△CEB中,
因为AE=CE,
∠AED=∠CEB,
DE=BE,
所以△AED≌△CEB(SAS),
所以∠A=∠C(全等三角形对应角相等)．
谢
谢
观
看！