2020-2021学年上海市金山中学九年级（下）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市金山中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C．π D．
2．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．a﹣1＝﹣a C．（﹣a）2＝﹣a2 D．a＝
3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
二、填空题（共12小题）.
7．计算：|﹣2|+2＝　 　．
8．方程＝2的解是　 　．
9．如果分式有意义，那么x的取值范围是　 　．
10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　．
11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是　 　℉．
12．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　 　．
13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是　 　．
14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是　 　岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 5 5 16 15 12
15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，＝，＝，那么向量用向量，表示为　 　．
16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝　 　度．
17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于　 　．（只需写出一个符合要求的数）
18．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于　 　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：﹣﹣+||．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y＝的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．求：
（1）这个反比例函数的解析式；
（2）直线AB的表达式．
22．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）
23．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD?CE＝CD?DE．
24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC＝时，求∠PAD的正弦值．
25．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C．π D．
解：A、，故不符合题意．
B、是无理数，故不符合题意．
C、π是无理数，故不符合题意．
D、是有理数，故符合题意．
故选：D．
2．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（　　）
A．a0＝1 B．a﹣1＝﹣a C．（﹣a）2＝﹣a2 D．a＝
解：A、a0＝1（a＞0），正确；
B、a﹣1＝，故此选项错误；
C、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；
D、a＝（a＞0），故此选项错误．
故选：A．
3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；
B、y是x的反比例函数，故B选项错误；
C、y是x的正比例函数，故C选项正确；
D、y是x的一次函数，故D选项错误；
故选：C．
4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：这个多边形的边数是360÷72＝5，
故选：B．
5．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率
解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选：C．
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD＝DB，
当DO＝CD，
则AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，
故四边形OACB为菱形．
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：|﹣2|+2＝　4　．
解：原式＝2+2
＝4．
故答案为4．
8．方程＝2的解是　x＝2　．
解：∵＝2，
∴3x﹣2＝4，
∴x＝2，
当x＝2时，
左边＝，
右边＝2，
∵左边＝右边，
∴方程＝2的解是：x＝2．
故答案为：x＝2．
9．如果分式有意义，那么x的取值范围是　x≠﹣3　．
解：由题意得，x+3≠0，
即x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m＜﹣4　．
解：∵一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝16﹣4（﹣m）＜0，
∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是　77　℉．
解：当x＝25°时，
y＝×25+32
＝77，
故答案为：77．
12．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　y＝x2+2x+3　．
解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3＝﹣1+b，
解得b＝4，
则该函数解析式为y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是　　．
解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，
∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．
故答案为：．
14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是　14　岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 5 5 16 15 12
解：该校学生“科技创新社团”的人数为5+5+16+15+12＝53（人），
将这53人的年龄从小到大排列后，处在中间位置的一个数为14岁，因此中位数是14岁，
故答案为：14．
15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，＝，＝，那么向量用向量，表示为　﹣　．
解：∵＝，＝，
∴＝﹣＝﹣，
∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，
∴＝＝（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝　22.5　度．
解：如图，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠FAD＝22.5°．
故答案为：22.5．
17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于　14（答案不唯一）　．（只需写出一个符合要求的数）
解：∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，
∴AC＝BD＝13，
∵点A在⊙B上，
∴⊙B的半径为5，
∵如果⊙D与⊙B相交，
∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，
∵点B在⊙D内，
∴R＞13，
∴13＜R＜18，
∴14符合要求，
故答案为：14（答案不唯一）．
18．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于　4﹣4　．
解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB＝AC＝8，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠E，
∴∠E＝75°﹣30°＝45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，
在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝4，
∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．
故答案为4﹣4．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：﹣﹣+||．
解：原式＝2﹣﹣2+2﹣
＝．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y＝的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．求：
（1）这个反比例函数的解析式；
（2）直线AB的表达式．
解：∵正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，
∴点A的坐标为（3，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴m＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝6，
∴点B的坐标为：（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6．
22．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）
解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH＝＝＝36（米）；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH＝AH?cot30°＝15（米）．
在Rt△CDQ中，DQ＝＝＝78（米）．
则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣15≈114﹣15×1.7＝88.5≈89（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．
23．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD?CE＝CD?DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，
∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵OB＝OE，
∴∠DBE＝∠OEB，
∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠DEC，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD?CE＝CD?DE．
24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC＝时，求∠PAD的正弦值．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标是（0，﹣4），
∴OB＝4，
∵AB＝2，
∴OA＝＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4得：0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
则抛物线的解析式是：y＝x2﹣4；
（2）方法一：
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，m2﹣4），
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴OE＝m，PE＝m2﹣4，
∴AE＝2+m，
∵＝，
∴＝，
∴CO＝2m﹣4；
方法二：
∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），
设PA的直线方程为：y＝kx+b，
∴?，
∴lPA：y＝（m﹣2）x+2m﹣4，
∴CO＝2m﹣4；
（3）方法一：
∵tan∠ODC＝，
∴＝，
∴OD＝OC＝×（2m﹣4）＝，
∵△ODB∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴m1＝﹣1（舍去），m2＝3，
∴OC＝2×3﹣4＝2，
∵OA＝2，
∴OA＝OC，
∴∠PAD＝45°，
∴sin∠PAD＝sin45°＝．
方法二：
∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），
∴lPB：y＝mx﹣4，
∴D（，0），
tan∠ODC＝?，OC＝2m﹣4，
∴OD＝，
∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，
∴OC＝2m﹣4（m＞2），
∴，
经整理：m2﹣2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣1（舍去），m2＝3，
∴P（3，5），
∴lPA：y＝x+2，
∴∠PAD＝45°，
∴sin∠PAD＝．
25．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝AB?cosB＝4，
∴AH＝3，CH＝4，
∴AC＝＝5，
∴此时CP＝r＝5；
（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE＝CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM＝CM＝，
由（1）知，AB＝AC，则∠ACB＝∠B，
∴CP＝CE＝＝，
∴EF＝2＝；
（3）如图3：连接AC，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，
∵＝cosB，AB＝5，
∴BQ＝4，AN＝QC＝BC﹣BQ＝4．
∵cosB＝，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B＝∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∵∠AEG＝∠BCG≥∠ACB＝∠B＝∠GAE，
∴当∠AEG＝∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE＝∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝3，EN＝AN﹣AE＝1，
∴CE＝＝＝．