2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章4.3探索三角形全等的条件 同步训练试题（word解析版）

北师大版2020-2021学年七年级下册数学第四章4.3探索三角形全等的条件
同步训练试题
一、单选题
1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
2．小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　）
A．
B．
C．
D．选择哪块都行
3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（
）
A．AB=DE
B．AC=DF
C．∠A=∠D
D．BF=EC
4．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是
（
）
A．AB＝AC
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．∠BDA＝∠CDA
5．如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（　　）
A．仅①
B．仅①③
C．仅①③④
D．仅①②③④
6．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　
　）
A．PO
B．PQ
C．MO
D．MQ
8．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．△ACE≌△BCD
B．△BGC≌△AFC
C．△DCG≌△ECF
D．△ADB≌△CEA
9．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是[来（
）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
10．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F，若PF＝3，则BP＝(　
　)
A．6
B．5
C．4
D．3
11．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．15
B．12.5
C．14.5
D．17
12．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
二、填空题
13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_________
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．
15．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且，，，矩形的周长为16，则AE的长是______
．
16．如图，若D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是
_______．
17．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块。
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．
三、解答题
19．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
20．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
21．如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
22．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
23．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
参考答案
1．B
【详解】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
详解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选B．
2．C
【详解】
A块和B块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
C块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．则应带C去．
故选C．
3．C
【详解】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
4．B
【解析】
试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选B．
5．D
【详解】
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，①成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠D，又∠DEC+∠D=90°，
∴∠DEC+∠ABE=90°，即∠AED=90°，
∴AE⊥DE，②成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB=EC，BE=CD，又BC=BE+EC，
∴BC=AB+CD，③成立；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，④成立，
故选D．
6．D
【解析】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.
因为BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.
因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.
因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.
故选D.
7．B
【解析】
解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选B．
8．D
【详解】
试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形
BC=AC，CE=CD，
即
在△BCD和△ACE中
△BCD≌△ACE
故A项成立；
在△BGC和△AFC中
△BGC≌△AFC
B项成立；
△BCD≌△ACE
，
在△DCG和△ECF中
△DCG≌△ECF
C项成立
D项不成立.
9．D
【详解】
试题解析：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选D．
10．A
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选A．
11．B
【详解】
如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．
12．C
【详解】
解：在BC上截取，连接，如图，
∵是的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△PBQ和中，
∴△△PBQ≌（SAS），
∴，
∴，
∴当A、P、三点共线且时，的值最小，
过点A作AF⊥BC于点F，则的最小值即为AF的长，
∵，
∴，
即的最小值为.
故选C.
13．135°
【详解】
∵AC=BE，BC=DE，∠ACB=∠BED=90°，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠1=∠DBE，
∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=×90°=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案是：135°．
14．45
【详解】
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为45．
15．3
【详解】
设，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
矩形的周长为，
，
，
即.
故答案为：.
.
16．AB=AC
【详解】
添加AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
故答案为：AB=AC．
17．4
∵第1、2、3块不具备全等三角形的判定条件，
∴不能带它们去
∵第4块具有完整的两角及夹边，符合ASA，
∴带第4块去能配一块与原来一样大小的三角形
故填：4.
18．①②④
【详解】
解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为①②④．
19．（1）证明见解析；（2）37°
【解析】
分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
解析：（1）∵AC=AD+DC，
DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
20．（1）证明见解析；（2）3.
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
【点睛】
21．
分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题；
（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题.
详（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF与△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
22．（1）证明见解析；（2）112.5°．
【详解】
证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
23．（1）90°；（2）①α+β=180°；②α=β．
解：（1）
90
度.
∠DAE=∠BAC
,所以∠BAD=∠EAC,AB=AC,AD=AE,所以ABDACE,所以∠ECA=∠DBA，所以∠ECA=90°.
（2）①
．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴．∵，
∴．
（3）补充图形如下，
．
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