广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期3月份考试数学试题 Word版含答案

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名称 广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期3月份考试数学试题 Word版含答案
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文件大小 199.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2021-04-04 12:10:06

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文档简介

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广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学3月份考试卷
一.选择题
1.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,过点C做直线l,使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o,则这样的直线l(  )
A.不存在 B.2条 C.4条 D.无数条
2.已知直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,且a?α,b,c?β,有下列说法:①a⊥β;②α⊥β;③b∥c.则正确的说法有(  )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
3.在正四面体P﹣ABC中,D,E,F侧棱AB,BC,CA的中点,下列说法不正确的是(  )
A.BC∥面PDF B.面PDE⊥面ABC
C.面PDF⊥面PAE D.DF⊥面PAE
4.如图,在三棱锥P﹣ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(  )
A.BC⊥平面APC B.BC⊥PC,AP⊥PC
C.AP⊥PB,AP⊥PC D.AP⊥PC,平面APC⊥平面BPC
5.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,若所得交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为(  )
A.平行或交于同一点 B.相交于同一点
C.相交但交于不同的点 D.平行
6.若α,β是两个不同的平面,m,n,l是三条不同的直线,则下列命题错误的是(  )
A.若m?α,l∩α=A,且A?m,则l与m不共面
B.若m,l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α
C.若l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β
D.若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m
7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1,中,P在线段BC1上运动,则下列结论中正确的个数有(  )
(1)三棱锥P﹣AA1D1的体积为定值;
(2)DB1⊥A1P;
(3)DP与AD1所成的角的范围为[,].
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知两条不同的直线l,m和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的是(  )
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β B.若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n
C.若l∥α,l⊥β,则α⊥β D.若α∩β=m,l∥α,则l∥m
9.已知m,n是不重合直线,α,β,γ是不重合平面,则下列说法:
①若α⊥γ、β⊥γ,则α∥β;②m⊥α、n⊥α,则m∥n;③若α∥β、γ∥β,则γ∥α;④若α⊥β、m⊥β,则m∥α.
正确的是(  )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
10.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B和AC所成的角等于(  )
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.a、b、c是三条不重合的直线,下列说法正确的是(  )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a⊥b,a⊥c,则b⊥c
C.若直线l1,l2没有交点,则l1,l2异面
D.若a⊥b,a⊥c,则b∥c
12.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和AC1所成角的余弦值是(  )
A. B. C. D.
二.填空题
13.已知四棱锥P﹣ABCD的底面是ABCD是矩形,平面PCD⊥底面ABCD,且AB=4,BC=2,PC=PD=2,则直线PB与AC所成角的余弦值为   .
14.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将△ABD沿BD向上折起到△A1BD的位置,得到四面体A1BCD.当四面体A1BCD的体积最大时,异面直线A1B与CD所成角的余弦值为   .
15.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2,则异面直线AB与A1C所成角的余弦值为   .
16.在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中,D为棱AC的中点,AB=AA′,则直线B′C和BD所成的角的余弦值为   .
三.解答题
17.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:直线BD1∥平面PAC;
(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小.
18.如图,△ABC是边长为2的正三角形,△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形,已知CD=2.
(1)求证:平面ABC⊥平面ABD;
(2)求直线AC与平面BCD所成角的正弦值.
19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D为棱BC的中点,AB⊥BC,BC⊥BB1,AB=A1B=1,BB1=.
(1)证明:A1B∥平面AC1D;
(2)证明:A1B⊥平面ABC.
20.如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2的正方形,ACC1A1是菱形,∠CAA1=60°,且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1,M为A1C1中点.
(1)求证:平面MBC⊥平面A1B1C1;
(2)求点C1到平面MB1C的距离.
21.如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,BC=3.
(1)求证:AF⊥BD;
(2)线段BD上是否存在点N,使得直线CE∥平面AFN?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.C8.C9.B10.C11.A12.C
二.填空题
13..14..15..16..
三.解答题
17.(1)证明:设AC和BD交于点O,则O为BD的中点.
连结PO,又因为P是DD1的中点,所以PO∥BD1.
又因为PO?平面PAC,BD1?平面PAC
所以直线BD1∥平面PAC.
(2)解:由(1)知,PO∥BD1,所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角.
因为,且PO⊥AO,
所以.
又∠APO∈(0°,90°],所以∠APO=30°
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°.
18.(1)证明:取AB中点O,连OC、OD,
则OC⊥AB,OD⊥AB,
所以∠COD是二面角C﹣AB﹣D的平面角.
在△OCD中,
因为,OD=1,CD=2,
所以∠COD=90°.
所以,平面ABC⊥平面ABD.
(2)解:建立空间直角坐标系(O﹣CBD).
则,,.
设是平面BCD的法向量,
则,取.
则==,
所以直线AC与平面BCD所成角的正弦值.
19.证明:(1)连接A1C交AC1,与点E,连接DE,在△A1BC中,D、E分别为BC、A1C的中点,
所以DE∥A1B,
又A1B?平面AC1D.DE?平面AC1D.
所以A1B∥平面AC1D.
(2)因为AB⊥BC,BC⊥BB1,AB∩BB1=B,AB、BB1?平面ABB1.
所以BC⊥平面ABB1,
又AB1?平面ABB1.
所以AB1⊥BC;
又因为,得,
所以A1B⊥AB.
又AB,BC?平面ABCAB∩BC=B,
所以A1B⊥平面ABC.
20.(1)证明:∵正方形BB1C1C,∴B1C1⊥CC1,
∵面BB1C1C⊥面ACC1A1,面BB1C1C∩面ACC1A1=CC1,B1C1?面BB1C1C,
∴B1C1⊥面ACC1A1,
又CM?面ACC1A1,∴B1C1⊥CM,
∵ACC1A1是菱形,,
∴△CC1A1为等边三角形,
∵M为A1C1中点,∴CM⊥A1C1,
又A1C1∩B1C1=C1,且A1C1,B1C1?面A1B1C1,
∴CM⊥面A1B1C1,
又CM?面MBC,
∴平面MBC⊥平面A1B1C1.
(2)解:由(1)可知,B1C1⊥面ACC1A1,
∴B1到平面MCC1的距离为B1C1=2,
由(1)知,CM⊥面A1B1C1,
∵MB1?面A1B1C1,∴CM⊥MB1,
在△MCC1中,CM=CC1?sin60°=,
在△MB1C中,MB1===,
∴=CM?MB1=,=CM?MC1=,
设点C1到平面MB1C的距离为h,
∵,
∴?h=?B1C1,
∴,
故点C1到平面MB1C的距离为.
21.证明:(1)因为ADEF为正方形,所以AF⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以AF⊥平面ABCD,
所以AF⊥BD.
(2)取BC的三等分点H,使得BH=2CH,连接FH,
由AD∥FE,AD∥CH,可得EF∥CH,且EF=CH,
则四边形EFHC为平行四边形,
所以EC∥FH,又CE?平面AFH,FH?平面AFH,
所以EC∥平面AFH,
连接AH交BD于N,则CE∥平面AFN,
此时==2,
所以线段BD上存在点N,使得直线CE∥平面AFN,且=.
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