广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期3月份考试数学试题 Word版含答案

____________________________________________________________________________________________
广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学3月份考试卷
一．选择题
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o，则这样的直线l（　　）
A．不存在 B．2条 C．4条 D．无数条
2．已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a?α，b，c?β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F侧棱AB，BC，CA的中点，下列说法不正确的是（　　）
A．BC∥面PDF B．面PDE⊥面ABC
C．面PDF⊥面PAE D．DF⊥面PAE
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）
A．BC⊥平面APC B．BC⊥PC，AP⊥PC
C．AP⊥PB，AP⊥PC D．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC
5．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（　　）
A．平行或交于同一点 B．相交于同一点
C．相交但交于不同的点 D．平行
6．若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是（　　）
A．若m?α，l∩α＝A，且A?m，则l与m不共面
B．若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α
C．若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β
D．若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，P在线段BC1上运动，则下列结论中正确的个数有（　　）
（1）三棱锥P﹣AA1D1的体积为定值；
（2）DB1⊥A1P；
（3）DP与AD1所成的角的范围为[，]．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m∥α，则m⊥β B．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
C．若l∥α，l⊥β，则α⊥β D．若α∩β＝m，l∥α，则l∥m
9．已知m，n是不重合直线，α，β，γ是不重合平面，则下列说法：
①若α⊥γ、β⊥γ，则α∥β；②m⊥α、n⊥α，则m∥n；③若α∥β、γ∥β，则γ∥α；④若α⊥β、m⊥β，则m∥α．
正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B和AC所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（　　）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若直线l1，l2没有交点，则l1，l2异面
D．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和AC1所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
13．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是ABCD是矩形，平面PCD⊥底面ABCD，且AB＝4，BC＝2，PC＝PD＝2，则直线PB与AC所成角的余弦值为　 　．
14．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿BD向上折起到△A1BD的位置，得到四面体A1BCD．当四面体A1BCD的体积最大时，异面直线A1B与CD所成角的余弦值为　 　．
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2，则异面直线AB与A1C所成角的余弦值为　 　．
16．在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝AA′，则直线B′C和BD所成的角的余弦值为　 　．
三．解答题
17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．
18．如图，△ABC是边长为2的正三角形，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，已知CD＝2．
（1）求证：平面ABC⊥平面ABD；
（2）求直线AC与平面BCD所成角的正弦值．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱BC的中点，AB⊥BC，BC⊥BB1，AB＝A1B＝1，BB1＝．
（1）证明：A1B∥平面AC1D；
（2）证明：A1B⊥平面ABC．
20．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的正方形，ACC1A1是菱形，∠CAA1＝60°，且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1，M为A1C1中点．
（1）求证：平面MBC⊥平面A1B1C1；
（2）求点C1到平面MB1C的距离．
21．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，△ABD是边长为1的等边三角形，BC＝3．
（1）求证：AF⊥BD；
（2）线段BD上是否存在点N，使得直线CE∥平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．C2．D3．B4．B5．A6．D7．C8．C9．B10．C11．A12．C
二．填空题
13．．14．．15．．16．．
三．解答题
17．（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．
连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO∥BD1．
又因为PO?平面PAC，BD1?平面PAC
所以直线BD1∥平面PAC．
（2）解：由（1）知，PO∥BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．
因为，且PO⊥AO，
所以．
又∠APO∈（0°，90°]，所以∠APO＝30°
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°．
18．（1）证明：取AB中点O，连OC、OD，
则OC⊥AB，OD⊥AB，
所以∠COD是二面角C﹣AB﹣D的平面角．
在△OCD中，
因为，OD＝1，CD＝2，
所以∠COD＝90°．
所以，平面ABC⊥平面ABD．
（2）解：建立空间直角坐标系（O﹣CBD）．
则，，．
设是平面BCD的法向量，
则，取．
则＝＝，
所以直线AC与平面BCD所成角的正弦值．
19．证明：（1）连接A1C交AC1，与点E，连接DE，在△A1BC中，D、E分别为BC、A1C的中点，
所以DE∥A1B，
又A1B?平面AC1D．DE?平面AC1D．
所以A1B∥平面AC1D．
（2）因为AB⊥BC，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，AB、BB1?平面ABB1．
所以BC⊥平面ABB1，
又AB1?平面ABB1．
所以AB1⊥BC；
又因为，得，
所以A1B⊥AB．
又AB，BC?平面ABCAB∩BC＝B，
所以A1B⊥平面ABC．
20．（1）证明：∵正方形BB1C1C，∴B1C1⊥CC1，
∵面BB1C1C⊥面ACC1A1，面BB1C1C∩面ACC1A1＝CC1，B1C1?面BB1C1C，
∴B1C1⊥面ACC1A1，
又CM?面ACC1A1，∴B1C1⊥CM，
∵ACC1A1是菱形，，
∴△CC1A1为等边三角形，
∵M为A1C1中点，∴CM⊥A1C1，
又A1C1∩B1C1＝C1，且A1C1，B1C1?面A1B1C1，
∴CM⊥面A1B1C1，
又CM?面MBC，
∴平面MBC⊥平面A1B1C1．
（2）解：由（1）可知，B1C1⊥面ACC1A1，
∴B1到平面MCC1的距离为B1C1＝2，
由（1）知，CM⊥面A1B1C1，
∵MB1?面A1B1C1，∴CM⊥MB1，
在△MCC1中，CM＝CC1?sin60°＝，
在△MB1C中，MB1＝＝＝，
∴＝CM?MB1＝，＝CM?MC1＝，
设点C1到平面MB1C的距离为h，
∵，
∴?h＝?B1C1，
∴，
故点C1到平面MB1C的距离为．
21．证明：（1）因为ADEF为正方形，所以AF⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
所以AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥BD．
（2）取BC的三等分点H，使得BH＝2CH，连接FH，
由AD∥FE，AD∥CH，可得EF∥CH，且EF＝CH，
则四边形EFHC为平行四边形，
所以EC∥FH，又CE?平面AFH，FH?平面AFH，
所以EC∥平面AFH，
连接AH交BD于N，则CE∥平面AFN，
此时＝＝2，
所以线段BD上存在点N，使得直线CE∥平面AFN，且＝．