安徽省皖北名校2020-2021学年高二下学期3月第一次联考数学(文)试题 Word版含答案

皖北名校2020～2021学年高二下第一次联考
数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教版必修3，选修1-1。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“false，false”的否定是（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．已知函数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知双曲线false的左、右焦点分别为false，false，以false为直径的圆与双曲线交于点false，则false的面积为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
5．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率false（每分钟鸣叫的次数）与气温false（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了false关于false的线性回归方程false，
false（次数/分数）
20
30
40
50
60
false（℃）
25
27.5
29
32.5
36
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（ ）
A．34℃ B．34.5℃ C．35℃ D．35.5℃
6．已知函数false在false处有极值，则false等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．随着我国经济持续高速的发展，科学技术也得到了长足的发展，在国内出现了一批具有国际影响的科技企业．为了解我国科技企业的发展现状，某调查机构对一些科技企业进行调查，得到科技企业从业人员的年龄构成情况和“90后”从业者的岗位分布情况的饼图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．在被调查的科技企业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B．在被调查的科技企业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C．在被调查的科技企业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
D．在被调查的科技企业中从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入false的值为2，则输出false的值为（ ）
A．6 B．14 C．16 D．38
10．若函数false既有极大值又有极小值，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．已知椭圆falsefalse的右焦点为false，false为上顶点，false为坐标原点，直线false交椭圆于点false（点false位于第一象限），若false与false的面积相等，则该椭圆的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数falsefalse，若对任意false，false恒成立，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数false的图象在点false处的切线方程是______．
14．王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）
15．过抛物线false：falsefalse的焦点false作斜率为2的直线false与抛物线false交于false，false两点，若false（false为坐标原点）的面积等于false，则false______．
16．已知双曲线false：false（false，false）的左焦点为false，过false且与false的一条渐近线垂直的直线false与false的右支交于点false，若false为false的中点，且false（false为坐标原点），则false的离心率为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知false：函数false在区间false上不是减函数；false：false，false．
（1）若“false且false”为真，求实数false的最大值；
（2）若“false或false”为真，“false且false”为假，求实数false的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量false（kw·h）与气温false（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃）
3
4
5
6
7
用电量（kw·h）
2.5
3
4
4.5
6
（1）请利用所给数据求用电量false与气温false的线性回归方程false；
（2）利用线性回归方程预测气温10℃时的用电量．
参考公式：false，false．
19．（本小题满分12分）
在直线false：false上任取一点false，过false作以false，false为焦点的椭圆，当false在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆的方程．
20．（本小题满分12分）
一机构随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按false，false，false，false，false，false（单位：元）分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（2）根据题目分组情况，按分层抽样的方法在false，false，false三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收入在false的概率．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线false：falsefalse的准线与圆false相切．
（1）求抛物线false的方程及其焦点false的坐标；
（2）如图，过点false的直线false交抛物线false于不同的两点false，false，交直线false于点false（false在false之间），直线false交直线false于点false，false，求直线false的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数falsefalse（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）求false的单调区间；
（2）求函数false的零点的个数．
皖北名校2020～2021学年高二下第一次联考·数学试卷（文科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 全称命题的否定是特称命题，false改成false，false改成false．故选B．
2．A 由甲组数据的众数为16，得false，乙组数据的平均数为false．
3．C false，所以false，所以false，所以false，所以false．故选C．
4．B 根据题意，得false为以false为斜边的直角三角形，所以false①，false②，
由①－②2得false，所以false的面积为false．故选B．
5．A 由题意，得false，false，则false．false；当false时，false．故选A．
6．B false，由题意知false，即false，所以false，所以falsefalse．故选B．
7．D 铜片的面积false，中间方孔的面积为false，所求概率为false．
8．D 对于A，由图易知“90后”占总人数的比例为55%，超过50%，故A正确；对于B，设被调查科技企业中，从业人员为false人，则从事技术、设计的人数为false，占比为27.5%，超过25%，故B正确；对于C，“90后”从事市场岗位的人数为false人，而“80前”从业者总数为false，所以C正确；对于D，从事技术岗位的人员人数为false人，而“80后”从事这一岗位的在图中没有明确说明，无法判断二者间的大小关系，故D错误．故选D．
9．C 程序运行过程如下：false，false；false，false；false，false；false，false，跳出循环，输出false的值为16．故选C．
10．B 因为false既有极大值又有极小值，且falsefalsefalse，所以false有两个不等的正实数解，所以false，且false，解得false，且false．故选B．
11．A 根据题意作出图象如下：
由如图可知点false，false．联立false解得false或false所以点false的坐标为false．因为false，false，所以根据直线截距式方程可得直线false的方程为false，即false．因为false与false面积相等，所以线段false的中点false在直线false上，所以false，false，则该椭圆的离心率false．故选A．
12．D 由题意知函数false在false上单调递增，因为false，所以转化为false在false上恒成立，因为false，所以false在false上恒立，即转化为false，令false，则false，所以当false时，false，当false时，false，所以false在false上单调递增，在false上单调递减，所以false，所以false．故选D．
13．false 因为false，所以切线的斜率为false，又false，故所求切线方程是false，即false．
14．必要 因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件．
15．2 抛物线false的焦点false，设直线false的方程为false，代入抛物线false方程，得false．设false，false，则false，false，所以false的面积为falsefalse，解得false．
16．false 设false的右焦点为false，不妨设直线false与渐近线false交于点false．在直角三角形false中，由点到直线的距离，得false，再结合false，得false；由false为false的中位线，得false，再由双曲线的定义，得false，从false，false．在直角三角形false中，false，化简，得false，所以false．
17．解：当false为真时，函数false在区间false上不是减函数，
所以false，解得false．
当false为真时，关于false的不等式false有解，
所以false，解得false．
（1）若“false且false”为真，则false且false，所以false．
所以若“false且false”为真，实数false的最大值是4．
（2）若“false或false”为真，“false且false”为假，则false与false一真一假．
当false真false假时，false且false，解得false；
当false假false真时，false且false，解得false．
综上，所求实数false的取值范围是false．
18．解：（1）由表中数据得false，false，
false，false，
所以false，
false，
所以false．
（2）当false℃时，false，
当气温为10℃时，用电量为8.25 kW·h．
19．解：设false关于false：false的对称点false，
则false解得false6得false．
连false交于点false，当点false为直线false上异于false的点时，falsefalse．所以点false即为所求点．
直线false的方程为false，即false，
解方程组false即false，
所以满足题意的椭圆的长轴最短时，false，
所以false，false，false．
故椭圆的方程为false．
20．解：（1）由频率分布直方图知，中位数在false，
设中位数为false，则false，
解得false．
（2）收入在false，false，false这三组的人数分别为10，15，5，
所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1．
记收入在false的2人分别为false，false，收入在false的3人分别为false，false，false，收入在false的1人为false，
通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共15种，
其中至少有一人收入在false的取法有false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共12种，
所以至少有一人收在false概率为false．
21．解：（1）因为抛物线false的准线false与圆false相切，
所以false，解得false．
所以抛物线false的方程是false，焦点false的坐标false．
（2）显然直线false与坐标轴不垂直，设直线false的方程为falsefalse，false，false．
联立false消去false得false．
由false，解得false．所以false且false．
由韦达定理得false，false．
因为false，所以false，所以false．
整理得false，所以false，
整理得false．
解得false，经检验，false满足false．
所以所求直线false的方程为false或false，即false或false．
22．解：（1）因为false，所以false，
当false时，false恒成立，所以false的单调递增区间为false，无单调递减区间；
当false时，令false，得false；令false，得false，所以false的单调递减区间为false，单调递增区间为false．
（2）显然0不是函数false的零点，由false，得falsefalse．
令false，则false．
false或false时false，false时false，所以false在false和false上都是减函数，在false上是增函数，false时false取极小值false，又当false时，false．
所以false时关于false的方程false二无解，false或false时关于false的方程false只有一个解，false时关于false的方程false有两个不同解．
因此，false时函数false没有零点，false或false时函数false有且只有一个零点，false时函数false有两个零点．