七年级数学（分类讲义）总复习 一元一次方程的应用

一元一次方程的应用
　一、列方程解应用题的主要步骤：
　　1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；
　　2、用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；
　　3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；
　　4、求出所列方程的解；
　　5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。
　　二、对常见应用题的解法分析
　　1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
　　例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
　　分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。
　　解：设油箱里原有汽油x公斤，
　　由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
　　　　　　　　　 ∴ x=10
　　答：油箱里原有汽油10公斤。
　　2、等积变形问题：
　　“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。
　　例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
　　分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。
　　解：设可足够锻造x根机轴，
　　由题意得，π()2×3x=π()2×30
　　x=×10×==40
　　答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
　　3、劳力调配问题：
　　这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
　　例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？
　　分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。等量关系为：乙队调出后人数=甲队调入后人数。
　　解：设应从乙队调x人到甲队，
　　由题意得，183-x=(285+x)
　　解这个方程，285+x=549-3x
　　 　　　　　　　4x=264
　　　　　　　　 ∴ x=66
　　答：应从乙队调66人到甲队。
　　例5、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？
　　分析：此问题中只有调出，没有调入。等量关系为：甲队调出后人数=2×乙队调出后人数。
　　解：设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出(116-x)人，
　　由题意得，188-x=2[138-(116-x)]
　　解这个方程188-x=2(138-116+x)
　　　　　　　188-x=44+2x
　　　　　　　　 3x=144
　　　　　　　 ∴ x=48
　　116-x=116-48=68
　　答：应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。
　　4、比例分配问题：
　　这类问题的一般思路为：设其中一份为x ,利用已知的比，写出相应的代数式。
　　常用等量关系：各部分之和=总量。
　　例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
　　分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。
　　解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产×3x件（即x件），
　　由题意得，4x+x-12=2×3x
　　解这个方程，=12
　　∴ x=24
　　∴ 4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），x=×24=60（件）
　　答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。
　　5、数字问题：
　　要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且
1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
　　例8、一个2位数，个位上的数字比十位上的数学大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。
　　分析：等量关系为：个位数字+十位数字-6=×这个2位数。
　　解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+5，
　　则这个2位数为：10x+x+5
　　由题意得，x+5+x-6=(10x+x+5)
　　　　 　　　　　　　∴ x=4
　　　　　　　　 ∴ x+5=9
　　这个2位数为49。
　　
　　6、工程问题：
　　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
　　经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
　　例9、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
　　分析：设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
　　解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，
　　由题意得，(+)×3+=1，
　　　　　　　　∴ x==6
　　答：乙还需6天才能完成全部工程。
　　例10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单位开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
　　分析：等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
　　解：设打开丙管后x小时可注满水池，
　　由题意得，(+)(x+2)-=1
　　　　　　 　　 　 　 13x=30
　　∴ x==2
　　答：打开丙管后2小时可注满水池
　　真题专练:
　　1．（河北省）某种收音机，原来每台售价48元，降价后每台售价42元，则降价的百分数为________。
　　2．（湖南长沙）国家规定储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20%(即储蓄利息的20%)。小红在银行存入人民币二万元，定期一年，年息为432元，存款到期时，应交利息税________元。
　　3．（江苏南京）有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机 票价格应是（　 ）
　　A、1000元　　B、800元　　C、600元　　D、400元
　　5．（北京西城区）一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角。
　　6．（吉林省）某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，〓〓 (涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请将这道作业题补充完整，并列方程解答。
　　8．（安徽省）目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水土流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4%。而长江流域的水土流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米。问长江流域的水土流失面积是多少？（结果保留整数）
7、行程问题：
　　[解题指导]
　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。
　　（2）基本类型有
　　　　 1）相遇问题；
　　　　 2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
　　例11：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
　　此题关键是要理解清楚相向.相背.同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
　　（1）分析：相遇问题，画图表示为：
　　等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
　　解：设快车开出x小时后两车相遇，
　　由题意得，140x+90(x+1)=480
　　解这个方程，230x=390
　　　　　　　　∴ x=1
　　答：快车开出1小时两车相遇。
　　（2）分析：相背而行，画图表示为：
　　等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，
　　由题意得，(140+90)x+480=600
　　解这个方程，230x=120
　　　　　　　　∴ x=
　　答：小时后两车相距600公里。
　　（3）分析：等量关系为：快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，
　　由题意得，(140-90)x+480=600
　　　　　　　　　　　　 50x=120　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　∴ x=2.4
　　答：2.4小时后两车相距600公里。
　　（4）分析；追及问题，画图表示为：
　　等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
　　解：设x小时后快车追上慢车。
　　由题意得，140x=90x+480
　　解这个方程，50x=480
　　 　　　　　∴ x=9.6
　　答：9.6小时后快车追上慢车。
　　（5）分析：追及问题，相等关系与（4）类似。　
　　解：设快车开出x小时后追上慢车。
　　由题意得，140x=90(x+1)+480
　　　　　　　 50x=570
　　　　　　　∴ x=11.4
　　答：快车开出11.4小时后追上慢车。
　　例12：甲、乙二人同时从A地去往相距51千米的B地，甲骑车，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍还多1千米/时，甲到达B地后停留1小时，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好6个小时，求二人速度各是多少？
　　分析：本题属于相遇问题，用图表示（甲用实线，乙用虚线表示）。注意：甲在B地还停留1小时。A、B两地相距51千米。
　　等量关系为：甲走路程+乙走路程=51×2。
　　解：设乙速为x千米/小时，则甲速为(3x+1)千米/小时，
　　由题意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2
　　　　　　　　　　　　 ∴ x=5
　　　　　　　　　　　　　　3x+1=15+1=16
　　答：甲速为16千米/时，乙速为5千米/时。
　　例13：某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。A、C两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头之间的航程。
　　分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
　　解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米，
　　由题意得，+=7
　　　　　　　　　　　 ∴ x=30
　　答：A、B两码头之间的航路为30千米。
　　例14：环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。
　　分析：这是环形问题，本题类似于追及问题，距离差为环城一周20千米。相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米。
　　解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时，
　　由题意得，x×-x×=20
　　　　　　　　　　　 x=35
　　答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时。
　　8、配套问题：
　　[解题指导]：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
　　例15：某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿轮和三个小齿轮配为一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？
　　分析：这个问题的等量关系为：小齿轮个数=3倍大齿轮个数
　　解：设应安排x个工人加工大齿轮，则有(85-x)个工人加工小齿轮，
　　由题意得，(85-x)×10=3×8x
　　解这个方程，850-10x=24x
　　　　　　　　　　34x=850
　　　 　　　　　　∴ x=25
　　　　　　　　　　　85-x=85-25=60
　　答：应安排25个工人加工大齿轮，其余60人加工小齿轮，才能使生产的产品刚好成套。
　　9、其他实际应用问题：
　　[解题指导]这类问题的关键是理解所给问题中的实际关系
　　例16：银行定期壹年存款的年利率为2.5%，某人存入一年后本息922.5元，问存入银行的本金是多少元？
　　分析：这里的相等关系为：
　　本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数
　　解：设存入银行的本金是x元，
　　由题意得，922.5=x+x×2.5%×1
　　解这个方程，1.025x=922.5
　　　　　　　　　∴ x=900（元）
　　答：存入银行的本金是900元。
　　例17：某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获得10%的利润需几折出售。
　　分析：等量关系为：原价×折扣=进价×（1+10%）
　　解：设需x折出售，
　　由题意得，2200×=1600(1+10%)
　　　　　　　　　 220x=1600×1.10
　　　 　　　　　　　 x=8
　　答：需8折出售。
　　例18：已知甲、乙两种商品的原单价和为100元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少？
　　分析：甲原单价×（1-10%）+乙原单价×（1+5%）=100×（1+2%）。
　　解：设甲商品原单价为x 元，则乙商品原单价为(100-x)元。
　　由题意得，(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%)
　　　　　　　　　　　　　　 ∴ x=20
　　 　　　　　　　　　　　　　 100-x=80
　　答：甲商品原单价20元，乙商品原单价为80元。
　　注意：虽然我们分了9种类型，对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这9类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解
设间接未知数
　一、求整体时，可设其中的某部分为未知数
　　例1 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数。
　　分析 此题若直接设原来两位数为未知数，显然不易求解，对这种求整体的问题可设其中的某部分为未知数，这样可使问题获得简便的解答。
　　略解 设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x，
　　由题意有：10x+ll-x=10(11-x)+x+63，解得x=9。
　　答：所求两位数为29。
　　二、若求其中的某部分时，可设其整体为未知数
　　例2 某三个数中每两个数之和分别为27、28、29，求这三个数。
　　分析 这是求部分的问题，如果直接设这三个数分别x、y, z，就要列出一个三元一次方程组，但若采用间接设元法设这三个数的和为未知数，问题就变得异常简捷。
　　略解 设这三个数的和为x，则这三个数分别为x-27、x-28、x-29，
　　由题意有：(x-27)+(x-28)+(x-29)=x，解得x=42。
　　答：这三个数分别为15、14、13。
　　三、当题设条件中含有“比”时，通常可设其中的一份为x
　　例3 甲、乙、丙三数的比为7：9：12，甲、乙两数的和减去丙数的差等于20求此三数。
　　分析 因为7+9+12=28，说明三数的和为28份，甲、乙、丙分别占7份、9份、12份，这样，可设每份为x，
　　则甲、乙、丙三数分别为7x、9x、12x，由题意得：7x+9x-12x=20，以下略。
　　四、设而不求,巧用间接未知数“过渡”
　　解应用题必须对题目的条件和关系进行深入的分析，认真的思考，然后合理地选择未知数，并注意发挥未知数的桥梁“过渡”作用，才能使复杂的问题变得简单，从而促成问题的解决。
　　例4 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问购甲、乙、丙各1件共需多少元
　　分析 若直接设购甲、乙、丙各1件共需n元，则列方程较为繁难，而若设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，则由题意有：
　　
　　由于本题的要求是求出x+y+z，因此我们可以不去求x、y、z的具体值(设而不求)，而采用整体化的数学思想，直接求出结果：
　　将方程组变形为
　　，
　　解之得x+y+z=1.05。(注：本题有点难)
　　五、直难则间，妙用间接未知数“转换”
　　解决较为复杂的应用题，在直接设元布列方程感到困难时，应及时变换思考的角度，调整和转变原有的思想和方法，合理地设置间接未知数设法进行转化，以寻求新的解决问题的途径和方法。
　　例5 四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个
　　分析 本题若从四盘苹果考虑直接设未知数，需要列出四元一次方程组，解起来不胜繁难。如果由“所得的数目一样”这个条件逆想，则由此可推出四盘苹果的数目，因此，设间接未知数x表示这个数目，则容易得到四盘苹果原来的个数分别为x-4, x+4, , 4x, 于是很方便地列出方程：(x-4)+(x+4)++4x=100。以下略。
　　设间接未知数解应用题，当然不限于上述几种情况，但由上足见选择适当的间接未知数在列方程解应用题中的重要作用，同学们应给以足够的重视
典型应用题练习
　　1．某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务。在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务。求这次任务需装配机床总台数。
　　2．某班同学参加平整土地劳动，运土人数比挖土人数的一半多3人。若从挖土人员中抽出6人运土，则两者人数相等。求原来运土和挖土各多少人。
　　3．某年级三个班为灾区捐款。（1）班捐了380元，（2）班捐款数是另两个班级的平均数，（3）班捐款数是三个班总数的，求（2）班，（3）班捐款数。
　　4．一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时。已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离。
　　5．有一批长度均为50厘米的铁锭，截面都是长方形，一边长10厘米，另一边各不相同，现要铸造一个42.9千克的零件，应选截面另一边长为多少的铁锭（铁锭每立方厘米重7.8克）？
　　6．甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别为200米/分和160米/分。两人同时从起点同向出发。当两人起跑后第一次并肩时经过了多少时间？这时他们各跑了多少圈？
　　7．检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天。前7天由甲、乙两人合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成。问乙中途离开了几天？
　　8．某商场甲、乙两个柜组十二月份营业额共64万元。一月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额共达到75万元。求两柜组各增长多少万元。
　　9．某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件。送到后立即返回队尾，共用14.4分钟。求队伍长。
　　10．一个两位数，十位数比个位数字的4倍多1。将两个数字调换顺序后所得数比原数小63。求原数。
　　11．一桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒。求火车的长度及行驶速度。
　　12．甲从学校出发到相距14千米的A地。当到达距学校2千米的B地时发现遗忘某物品。打电话给乙，乙随即出发在C地追上甲后立即返回。当乙回到学校时甲距A地还有3千米。求学校到C地的距离。