单元素养评价(二)
(第3章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为
( )
A.-i B.-1 C.1 D.i
【解析】选B.由z(1+i)=2得z===
1-i,所以z的虚部为-1.
2.已知实数a,b满足a=(1+i)·(1-bi),其中i是虚数单位,则|a-bi|=( )
A.
B.
C.5
D.3
【解析】选A.a=(1+i)(1-bi)=(1+b)+(1-b)i,
因为a,b是实数,所以
解得
所以=.
3.(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1+i)=1-i,则z=
( )
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
【解析】选D.因为====-i,所以z=i.
4.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2=
( )
A.5
B.
C.-5
D.1
【解析】选C.由题意知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=-5.
5.已知复数z满足:(-1+2i)+=5-6i,则|z|=
( )
A.6
B.8
C.
D.10
【解析】选D.=(5-6i)-(-1+2i)
=5-6i+1-2i=6-8i,
所以z=6+8i,
所以|z|==10.
6.已知复数z=,i为虚数单位,是z的共轭复数,则·z=
( )
A.i
B.-i
C.-1
D.1
【解析】选D.z===i,
所以·z=-i2=1.
7.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选A.因为==-i,
又因为复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,
所以=,解得b=-.
8.定义复数的一种运算z1
z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且实数a,b满足a+b=3,则z
最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.z
===|z|===,因为a+b=3,所以ab≤=,因此z
≥=.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.设有下面四个命题,其中真命题为
( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
【解析】选AD.令z=a+bi(a,b∈R),则由==∈R得b=0,所以z∈R,故A正确;
当z=i时,因为z2=i2=-1∈R,而z=i?R知,故B不正确;
当z1=z2=i时,满足z1·z2=-1∈R,但z1≠,知C不正确;
对于D,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故D正确.
10.已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+i,z·=4,则a的值可以为
( )
A.1
B.-1
C.-
D.
【解析】选AB.由z=a+i,z·=4得a2+3=4,所以a=±1.
11.当实数a取下列哪些值时,复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限
( )
A.-5
B.-1
C.-2
D.1
【解析】选AC.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,所以解得a<-1.
12.已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,b∈R),函数f(x)=2sin图象的对称中心是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BCD.因为(1+i)(a+bi)=2+4i,所以a+bi===3+i,所以a=3,b=1.
f(x)=2sin,令3x+=kπ,k∈Z,所以x=-+,k∈Z,令k=0,得x=-,
令k=1,得x=,令k=3,得x=.故选BCD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
请把正确答案填在题中横线上)
13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是____________.?
【解析】z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,所以|z|=.
答案:
14.设x,y为实数且+=,则x+y=____________.?
【解析】+=可化为
+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知
所以所以x+y=4.
答案:4
15.(2019·江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____________.?
【解析】因为(a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,实部为0,即a-2=0,所以a=2.
答案:2
16.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=____________,
ab=____________.?
【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.
答案:5 2
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1=1-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.
(1)若复数z1+az2对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
(2)若z=,求z的共轭复数.
【解析】(1)z1+az2=1-2i+a(3+4i)=1+3a+(4a-2)i,由题意得解得a∈.
(2)z===
=-1-i,所以z的共轭复数=-1+i.
18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.
因为==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.
所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.
由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,
所以解得2
19.(12分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.
【解析】令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)
=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.
(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.
(3)当
即k=4时,z是纯虚数.
(4)当即k=-1时,z是0.
20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解析】设zC=x+yi,x,y∈R,对应的复数为-2+6i-(1+2i)=-3+4i,
因为OA∥BC,|OC|=|AB|,
所以kOA=kBC,|zC|=|-3+4i|,
即
解得或
因为|OA|≠|BC|,所以x=-3,y=4(舍去),
故z=-5.
【拓展延伸】数形结合思想方法的应用
(1)复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现,它们可以相互转化.
(2)涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.
21.(12分)已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围.
【解析】因为z=
==1-i,
所以|z|=,
又=≤,所以|ω|≤2.
而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(a∈R),
则≤2?(a-1)2≤3,
所以-≤a-1≤,1-≤a≤1+.
22.(12分)已知实数x,y满足(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i.
(1)求实数x,y的值.
(2)若复数z=x+(y-2)i,求复数z的共轭复数以及复数z的模|z|.
【解析】(1)原等式可整理为
(3y-2x)+(-10y+x)i=1-9i.
根据复数相等的条件可得
所以
(2)z=1-i,=1+i,|z|=.
【补偿训练】
已知z1=cos
θ+isin
2θ,z2=sin
θ+icos
θ,当θ为何值时:
(1)z1=z2.
(2)z1,z2对应点关于x轴对称.
(3)|z2|<.
【解析】(1)因为z1=z2,
所以
即
解得θ=2kπ+(k∈Z).
(2)因为z1与z2对应点关于x轴对称,
所以
即
解得θ=2kπ+π(k∈Z).
(3)因为|z2|<,
所以<,
即3sin2θ+cos2θ<2,
化简得sin2θ<,
解得-θ<,
所以kπ-<θPAGE单元素养评价(二)
(第3章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为
( )
A.-i B.-1 C.1 D.i
2.已知实数a,b满足a=(1+i)·(1-bi),其中i是虚数单位,则|a-bi|=( )
A.
B.
C.5
D.3
3.(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1+i)=1-i,则z=
( )
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
4.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2=
( )
A.5
B.
C.-5
D.1
5.已知复数z满足:(-1+2i)+=5-6i,则|z|=
( )
A.6
B.8
C.
D.10
6.已知复数z=,i为虚数单位,是z的共轭复数,则·z=
( )
A.i
B.-i
C.-1
D.1
7.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=
( )
A.-
B.
C.
D.
8.定义复数的一种运算z1
z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且实数a,b满足a+b=3,则z
最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.设有下面四个命题,其中真命题为
( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
10.已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+i,z·=4,则a的值可以为
( )
A.1
B.-1
C.-
D.
11.当实数a取下列哪些值时,复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限
( )
A.-5
B.-1
C.-2
D.1
12.已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,b∈R),函数f(x)=2sin图象的对称中心是
( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
请把正确答案填在题中横线上)
13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是____________.?
14.设x,y为实数且+=,则x+y=____________.?
15.(2019·江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____________.?
16.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=____________,
ab=____________.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1=1-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.
(1)若复数z1+az2对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
(2)若z=,求z的共轭复数.
18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
19.(12分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.
20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
21.(12分)已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围.
22.(12分)已知实数x,y满足(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i.
(1)求实数x,y的值.
(2)若复数z=x+(y-2)i,求复数z的共轭复数以及复数z的模|z|.
【补偿训练】
已知z1=cos
θ+isin
2θ,z2=sin
θ+icos
θ,当θ为何值时:
(1)z1=z2.
(2)z1,z2对应点关于x轴对称.
(3)|z2|<.
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