单元素养评价(二)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于
( )
A.28
B.32
C.33
D.27
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为
( )
A.Sn=
B.Sn=
C.Sn=
D.Sn=
3.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是
( )
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设+是有理数
4.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表达式为
( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
5.仔细观察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是
( )
A.13
B.14
C.15
D.16
6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有
( )
①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.因为x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,使用的证明方法是
( )
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.以上都不是
8.已知函数f(x)=sin(2x+φ),满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数( )
A.f(x-a)一定为奇函数
B.f(x-a)一定为偶函数
C.f(x+a)一定为奇函数
D.f(x+a)一定为偶函数
9.(2020·浙江高考)设集合S,T,S?N
,T?N
,S,T中至少有两个元素,且S,T满足:
①对于任意x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;
②对于任意x,y∈T,若x下列命题正确的是
( )
A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素,则S∪T有4个元素
D.若S有3个元素,则S∪T有5个元素
10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n阶幻方(n≥3,n∈N
)”是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为
( )
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A.75
B.65
C.55
D.45
11.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断一定正确的是
( )
A.AB⊥PC
B.AC⊥平面PBD
C.BC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PDC
12.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N
)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2
009,则i与j的和为
( )
1
2
4
3
5
7
6
8
10
12
9
11
13
15
17
14
16
18
20
22
24
A.105
B.106
C.107
D.108
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.若{bn}是等比数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:
··=1.类比上述性质,相应地,若{an}是等差数列,
m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:________.?
14.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1·b2·…·b9=29,若{an}为等差数列,a5=2,则在数列{an}中类似的结论为________.?
15.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
16.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,若m3(m∈N
)的分解式中最小的数是73,则m的值为________.?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
(1)求第11行的实心圆点的个数.
(2)用an,an+1,an+2分别表示第n行,第n+1行,第n+2行的实心圆点的个数.试猜想an,an+1,an+2之间的关系.
18.(12分)在平面几何中,对于Rt△ABC,∠C=90°,设AB=c,AC=b,BC=a,则(1)a2+b2=c2.(2)cos2A+cos2B=1.(3)Rt△ABC的外接圆半径r=.
把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.
19.(12分)(1)用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0;
(2)用分析法证明:-<2-.
20.(12分)在锐角三角形ABC中,求证:sin
A+sin
B+sin
C>cos
A+cos
B+cos
C.
21.(12分)设{an}是集合{2t+2s|0≤s3
5 6
9 10 12
__
__
__
__
__
__
__
__
__
…
(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行中的各数.
(2)求a100.
22.(12分)(2020·浙江高考)已知数列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1=1,cn=
an+1-an,cn+1=·cn(n∈N
).
(1)若数列{bn}为等比数列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;
(2)若数列{bn}为等差数列,且公差d>0,证明:c1+c2+…+cn<1+.
PAGE单元素养评价(二)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于
( )
A.28
B.32
C.33
D.27
【解析】选B.观察知数列{an}满足:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+3×4=32.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为
( )
A.Sn=
B.Sn=
C.Sn=
D.Sn=
【解析】选A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),
所以Sn=Sn-1(n≥2,n∈N
),S1=a1=1,
则S2=,S3==,S4=.
所以猜想得Sn=.
3.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是
( )
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设+是有理数
【解析】选D.应对结论进行否定,则+不是无理数,即+是有理数.
4.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表达式为
( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
【解析】选B.当x=1时,f(2)===;
当x=2时,f(3)===;
当x=3时,f(4)===.
……
故可猜想f(x)=.
5.仔细观察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是
( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】选B.进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|….
则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,
f(15)=135,所以在前120个○和●中,●的个数是14.
6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有
( )
①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选C.类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体.
7.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.因为x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,使用的证明方法是
( )
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.以上都不是
【解析】选A.从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.
8.已知函数f(x)=sin(2x+φ),满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数( )
A.f(x-a)一定为奇函数
B.f(x-a)一定为偶函数
C.f(x+a)一定为奇函数
D.f(x+a)一定为偶函数
【解析】选D.由题意得,f(a)=sin(2a+φ)=1时,2a+φ=2kπ+,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+=cos
2x,此时函数为偶函数.
9.(2020·浙江高考)设集合S,T,S?N
,T?N
,S,T中至少有两个元素,且S,T满足:
①对于任意x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;
②对于任意x,y∈T,若x下列命题正确的是
( )
A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素,则S∪T有4个元素
D.若S有3个元素,则S∪T有5个元素
【解析】选A.对于AB,构造S={q,q2,q3,q4},则T={q3,q4,q5,q6,q7},q≠1且q∈N
,
则S∪T={q,q2,q3,q4,q5,q6,q7}共7个元素,
对于CD,不妨设S={a,b,c},且aac>ab,
所以,,∈S,显然>,>,
①=b,=a,=a,则S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},S∪T有5个元素,
②=c?a=1,=b,有2种可能,
(ⅰ)=a,b=c与S为集合矛盾,
(ⅱ)=b,b2=c,S=,T=,S∪T有4个元素,
所以,当S中有三个元素时,S∪T的元素个数可为4,可为5,不唯一.
10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n阶幻方(n≥3,n∈N
)”是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为
( )
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A.75
B.65
C.55
D.45
【解析】选B.依题意“5阶幻方”的幻和为
==65.
11.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断一定正确的是
( )
A.AB⊥PC
B.AC⊥平面PBD
C.BC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PDC
【解析】选C.因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,若AB⊥PC,则AB⊥平面PAC,所以AB⊥AC,这是不可能的,所以AB⊥PC不成立.设AC∩BD=O,连接PO,若AC⊥平面PBD,则AC⊥PO,这是不可能的,所以AC⊥平面PBD不成立.因为BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.
12.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N
)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2
009,则i与j的和为
( )
1
2
4
3
5
7
6
8
10
12
9
11
13
15
17
14
16
18
20
22
24
A.105
B.106
C.107
D.108
【解析】选C.由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,
2
009=2×1
005-1,
所以2
009为第1
005个奇数,
又前31个奇数行内数的个数的和为961,
前32个奇数行内数的个数的和为1
024,
故2
009在第32个奇数行内,所以i=63,
因为第63行的第一个数为2×962-1=1
923,
2
009=1
923+2(m-1),
所以m=44,即j=44,所以i+j=107.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.若{bn}是等比数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:
··=1.类比上述性质,相应地,若{an}是等差数列,
m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:________.?
【解析】等差数列中的an,am,ap可以类比等比数列中的bn,bm,bp,
等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”.
等差数列中的“积”可以类比等比数列中的“乘方”.
故m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=0.
答案:m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=0
14.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1·b2·…·b9=29,若{an}为等差数列,a5=2,则在数列{an}中类似的结论为________.?
【解析】由等差数列的性质知:a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.
所以a1+a2+…+a9=9a5=2×9.
答案:a1+a2+…+a9=2×9
15.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
【证明】假设p为奇数,则________均为奇数.①?
因为7个奇数之和为奇数,故有
(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为________.②?
而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③?
②与③矛盾,故p为偶数.
【解析】由假设p为奇数可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数相矛盾.
答案:(a1-1),(a2-2),…,(a7-7) 奇数 0
16.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,若m3(m∈N
)的分解式中最小的数是73,则m的值为________.?
【解析】根据23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9,…,若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首数为m2-m+1.因为m3(m∈N
)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,所以m=9.
答案:9
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
(1)求第11行的实心圆点的个数.
(2)用an,an+1,an+2分别表示第n行,第n+1行,第n+2行的实心圆点的个数.试猜想an,an+1,an+2之间的关系.
【解析】(1)前6行中实心圆点的个数依次为:0,1,1,2,3,5,据此猜想这个数列的规律为:从第3项起,每一项都等于它前面两项的和,故续写这个数列到第11行如下:8,13,21,34,55,所以第11行的实心圆点的个数是55.
(2)由(1)可猜想an+2=an+an+1.
18.(12分)在平面几何中,对于Rt△ABC,∠C=90°,设AB=c,AC=b,BC=a,则(1)a2+b2=c2.(2)cos2A+cos2B=1.(3)Rt△ABC的外接圆半径r=.
把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.
【解析】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面积为S,则++=S2.
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R=.
19.(12分)(1)用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0;
(2)用分析法证明:-<2-.
【证明】(1)假设x,y,z均小于0,
即:x=a2-2b+1<0…①;
y=b2-2c+1<0…②;
z=c2-2a+1<0…③;
①+②+③得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,
这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0矛盾,
则假设不成立,
所以x,y,z中至少有一个不小于0.
(2)因为+>0,2+>0,
从而-<2-?+<2+?(+)2<(2+)2?9+2<9+4?2<4?18<20,
因为18<20成立,所以原不等式成立.
20.(12分)在锐角三角形ABC中,求证:sin
A+sin
B+sin
C>cos
A+cos
B+cos
C.
【证明】因为△ABC为锐角三角形,
所以A+B>,所以A>-B.
因为y=sin
x在上是增加的,
所以sin
A>sin=cos
B,
同理可得sin
B>cos
C,sin
C>cos
A,
所以sin
A+sin
B+sin
C>cos
A+cos
B+cos
C.
21.(12分)设{an}是集合{2t+2s|0≤s3
5 6
9 10 12
__
__
__
__
__
__
__
__
__
…
(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行中的各数.
(2)求a100.
【解析】(1)第四行的数分别为17,18,20,24,第五行的数分别为33,34,36,40,48.
(2)设n为an的下标,三角形数表第一行第一个元素下标为1.
第二行第一个元素下标为+1=2.
第三行第一个元素下标为+1=4.
……
第l行第一个元素下标为+1.
第l行第m个元素下标为+m.
该元素等于2l+2m-1.而100=+9,所以a100是三角形数表中第14行的第9个元素,所以a100=214+28.
22.(12分)(2020·浙江高考)已知数列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1=1,cn=
an+1-an,cn+1=·cn(n∈N
).
(1)若数列{bn}为等比数列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;
(2)若数列{bn}为等差数列,且公差d>0,证明:c1+c2+…+cn<1+.
【解析】(1)b1=1,b2=q,b3=q2,且b1+b2=6b3,
即1+q=6q2,
又q>0得q=,
所以bn=,bn+2=,cn+1=cn=4cn,
所以=4,所以{cn}是首项c1=1,
公比为4的等比数列,cn=4n-1,
由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+…+4n-2得an=.
(2)bn=1+(n-1)d,
则bn+1
bn+2cn+1=bnbn+1cn=…=b1b2c1=1+d,
故cn==
=.
于是c1+…+cn=<1+,得证.
PAGE
