单元素养评价(三)
(第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.设z1=3-4i,z2=2+3i,则z1-2z2在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知a是实数,是纯虚数,则a等于
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
5.若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),则复数x+yi的模是
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
6.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为
( )
A.4+7i
B.1+3i
C.4-4i
D.-1+6i
7.在复平面内,复数z=所对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.若复数z=a+的实部与虚部相等,其中a是实数,则a=
( )
A.1
B.0
C.-1
D.2
9.设复数z=1-i(i是虚数单位),则的虚部为
( )
A.i
B.-
C.
D.-i
10.当z=-时,z100+z50+1的值是
( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
11.已知复数的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于
( )
A.
B.
C.2
D.-
12.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的轨迹是
( )
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.复数(i是虚数单位)的虚部是________.?
14.-3的平方根是________.?
15.设z∈C,|z|=1,则|z-(1+i)|的最大值是__________.?
16.下列说法中正确的序号是__________.?
①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x∈R,y∈CR,则必有
②2+i>1+i;
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;
④若一个数是实数,则其虚部不存在;
⑤若z=,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)(1+i).
(2).
(3).
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
19.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i,其中i为虚数单位,当实数m取何值时,复数z对应的点:
(1)位于虚轴上.
(2)位于一、三象限.
(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.
21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
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(第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,
所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.因为z1=z2,所以
解得m=1或m=-2,
所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.
3.设z1=3-4i,z2=2+3i,则z1-2z2在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i,在复平面内对应的点(-1,-10)位于第三象限.
4.已知a是实数,是纯虚数,则a等于
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选A.=
=是纯虚数,则a-1=0,a+1≠0,
解得a=1.
5.若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),则复数x+yi的模是
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.由i(x+yi)=3+4i,得-y+xi=3+4i,
解得x=4,y=-3,
所以复数x+yi的模为=5.
6.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为
( )
A.4+7i
B.1+3i
C.4-4i
D.-1+6i
【解析】选C.因为,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.
7.在复平面内,复数z=所对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.在复平面内,复数z===--i,所对应的点位于第三象限.
8.若复数z=a+的实部与虚部相等,其中a是实数,则a=
( )
A.1
B.0
C.-1
D.2
【解析】选A.因为z=a+=a+=a+i的实部与虚部相等,所以a=1.
9.设复数z=1-i(i是虚数单位),则的虚部为
( )
A.i
B.-
C.
D.-i
【解析】选C.因为z=1-i,
所以===
=-+i.所以的虚部为.
10.当z=-时,z100+z50+1的值是
( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】选D.原式=++1=++1=(-i)50+(-i)25+1=-i.
11.已知复数的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于
( )
A.
B.
C.2
D.-
【解析】选D.复数=
=,
由于复数的实部与虚部互为相反数,
那么(2-2b)+(-4-b)=0?b=-.
12.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的轨迹是
( )
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
【解析】选A.由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1,
因为|z|≥0,所以|z|=3,
所以复数z在复平面内对应点的轨迹是1个圆.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)
13.复数(i是虚数单位)的虚部是________.?
【解析】因为==1-i,所以复数的虚部是:-1.
答案:-1
14.-3的平方根是________.?
【解析】由(±i)2=-3得解.
答案:±i
15.设z∈C,|z|=1,则|z-(1+i)|的最大值是__________.?
【解析】由题意可知,复数z的轨迹为单位圆,如图,
|z-(1+i)|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离,由图可知,
|z-(1+i)|的最大值为|AP|=1+.
答案:1+
16.下列说法中正确的序号是__________.?
①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x∈R,y∈CR,则必有
②2+i>1+i;
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;
④若一个数是实数,则其虚部不存在;
⑤若z=,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.
【解析】由y∈CR,知y是虚数,则不成立,故①错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故②错误;原点也在虚轴上,表示实数0,故③错误;实数的虚部为0,故④错误;⑤中z3+1=+1=i+1,对应点在第一象限,故⑤正确.
答案:⑤
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)(1+i).
(2).
(3).
【解析】(1)(1+i)
=(1+i)
=(1+i)=+i
=-+i.
(2)=
===+i.
(3)=
==
===1-i.
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.
【解题指南】解题的关键就在于“z1·z2是实数”这一条件,可得z1·z2的虚部为零,进而求出结果.
【解析】可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.
19.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
【解题指南】求复数z→化简w→求待定系数a的值.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,
由题意得y=-2,
==(x-2i)(2+i)
=(2x+2)+(x-4)i.
由题意得x=4,所以z=4-2i.
因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2.
(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.
(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,
所以a=-2或a=6.
20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i,其中i为虚数单位,当实数m取何值时,复数z对应的点:
(1)位于虚轴上.
(2)位于一、三象限.
(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.
【解析】(1)复数z对应的点位于虚轴上,
则?m=0.
所以m=0时,复数z对应的点位于虚轴上.
(2)复数z对应的点位于一、三象限,
则2m(4-m2)>0?m(m-2)(m+2)<0?m<-2或0(3)复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,
则|z|==4?m=0或m=±2.
所以m=0或m=±2时,复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.
21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,
解得a=b=1或a=b=-1,
所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.
22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
设O为坐标原点,又因为=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为=,
所以向量对应的复数为3-i,
即=(3,-1).
设D(x,y),
则=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以
解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cos
B,
所以cos
B====.
因为0所以S?ABCD=||||sin
B=××=7,
所以平行四边形ABCD的面积为7.
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