课时素养评价十 数系的扩充
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.复数i-2的虚部是
( )
A.i
B.-2
C.1
D.2
【解析】选C.因为i-2=-2+i,所以虚部是1.
2.若复数8i-ai2的实部与虚部相等,则实数a=
( )
A.8
B.4
C.0
D.-8
【解析】选A.先将复数中i2化为-1,
得8i-ai2=a+8i,
因此,实部是a,虚部是8,
实部与虚部相等,所以a=8.
3.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值等于
( )
A.-2
B.-3
C.3
D.±3
【解析】选C.由题意知m2-9=0,解得m=±3.
又z为正实数,所以m=3.
4.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为
( )
A.1
B.1或-4
C.-4
D.0或-4
【解析】选C.易知解得a=-4.
5.若复数(a2-2a-3)+(a2-5a+6)i=0,则实数a=
( )
A.-1
B.2
C.3
D.0
【解析】选C.由?
所以a=3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知复数z=(m2-2m)+(m2+m-2)i,当m=____________时,z=-1,当m=
____________时,z=4i.?
【解析】由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得
解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得解得m=2.
答案:1 2
7.已知实数x,y满足(x+y)+(x-2y)i=(-x-3)+(y-19)i,则xy=____________.?
【解析】因为x,y是实数,根据复数相等的条件,得解得x=-4,y=5,
所以xy=-20.
答案:-20
8.若sin
2θ-1+(cos
θ+1)i是纯虚数,则θ的值为_______________.?
【解析】由题意得,
解得
所以θ=2kπ+,k∈Z.
答案:2kπ+,k∈Z
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.实数m分别为何值时,复数z=+(m2-3m-18)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
【解析】(1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为0.
故若使z为实数,
则
解得m=6.
所以当m=6时,z为实数.
(2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数,则m2-3m-18≠0,且m+3≠0,
所以当m≠6且m≠-3时,z为虚数.
(3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为0,虚部不为0.故若使z为纯虚数,
则
解得m=-或m=1.
所以当m=-或m=1时,z为纯虚数.
10.若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1【解题指南】由z1>z2或z1【解析】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,
此时z1=1,z2=2.
所以z1>z2时m值的集合为空集,
z1(20分钟·40分)
1.(5分)欧拉公式eiθ=cos
θ+isin
θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的,eiπ+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数的虚部为
( )
A.-
B.
C.-i
D.i
【解析】选B.根据欧拉公式eiθ=cos
θ+isin
θ,可得=cos+isin=+i,所以的虚部为.
2.(5分)若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则
( )
A.a-5b=0
B.3a-5b=0
C.a+5b=0
D.3a+5b=0
【解析】选D.z=+bi=+bi=+i.由题意,得=--b,即3a+5b=0.
3.(5分)已知x,y∈R,复数z=x2+y2-6+(x-y-2)i=0,则x+y=____________,复数z的虚部为____________.?
【解析】由复数相等的条件可得
解得或
所以x+y=2或x+y=-2.
复数z的虚部为0.
答案:2或-2 0
4.(5分)复数cos
2θ+2isin
2θ的实部与虚部的和等于_______________.?
【解析】复数cos
2θ+2isin
2θ的实部和虚部分别为cos
2θ和2sin2θ,
故cos
2θ+2sin2θ=1-2sin2θ+2sin2θ=1.
答案:1
5.(10分)实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
【解析】(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z为实数.
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.
(3)当即k=4时,z为纯虚数.
(4)当即k=-1时,z是零.
6.(10分)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足M∩N≠?,求整数a,b.
【解题指南】由M∩N≠?,借助复数相等的充要条件求a,b.
【解析】依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,①
或8=(a2-1)+(b+2)i,②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③
由①得a=-3,b=±2,
由②得a=±3,b=-2.
③中,a,b无整数解不符合题意.
综上所述得a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,
b=-2.
PAGE课时素养评价十一 复数的加减与乘法运算
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知z=11-20i,则1-2i-z等于
( )
A.z-1
B.z+1
C.-10+18i
D.10-18i
【解析】选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.
【补偿训练】
计算(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)=____________.?
【解析】(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)
=(3-4-3)+(-5-1-4)i
=-4-10i.
答案:-4-10i
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.
3.复数(3i-1)·i的虚部是
( )
A.-1
B.-3
C.3
D.1
【解析】选A.(3i-1)·i=3i2-i=-3-i,所以虚部为-1.
【补偿训练】
设f(z)=z-2i,z1=2+4i,z2=-1+2i,则f(z1-z2)=_______________.?
【解析】由条件知z1-z2=3+2i,
所以f(z1-z2)=f(3+2i)=3+2i-2i=3.
答案:3
4.复数z=2+i,则z=
( )
A.-3
B.
C.5
D.
【解析】选C.因为z=2+i,所以=2-i,
所以z=(2+i)(2-i)=4-i2=5.
5.已知复数z=(1+i)(2-i),则=
( )
A.3+i
B.3-i
C.-3+i
D.-3-i
【解析】选B.z=(1+i)(2-i)=3+i,所以=3-i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)·z为纯虚数,则a的值为____________.?
【解析】(1+i)·z=(1+i)(a+i)=(a-1)+(1+a)i,
由已知得a-1=0且1+a≠0,即a=1.
答案:1
7.已知复数z1,z2满足z2=z1-i,且复数z2的实部是-1,则z2的虚部为____________.?
【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
所以z2=(a+bi)-i(a-bi)=(a-b)+(b-a)i,
由题意知a-b=-1,所以b-a=1.
答案:1
8.已知a,b∈R,且a-1+2ai=4+bi,则a=____________,b=____________.?
【解析】由已知得解得
答案:5 10
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若(-7i+5)-(9-8i)+(x+yi)=2,求x+y.
【解析】(-7i+5)-(9-8i)+(x+yi)
=(5-9+x)+(-7+8+y)i
=(x-4)+(y+1)i.所以(x-4)+(y+1)i=2,
所以 解得所以x+y=5.
10.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,证明u为纯虚数.
【解析】(1)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+
=x+yi+=x++i.
因为ω是实数且y≠0,
所以y-=0,所以x2+y2=1,
即|z|=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-(2)设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,
由(1)知,x2+y2=1,-所以u==
===-i.
因为x∈,y≠0,所以≠0,所以u为纯虚数.
(20分钟·40分)
1.(5分)已知复数z=(-i)i-(1+i)(1-i)(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为
( )
A.-1+i
B.-1-i
C.-i
D.--i
【解析】选B.z=(-i)i-(1+i)(1-i)=(1+i)-2=-1+i,
所以=-1-i.
2.(5分)已知x是纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,则x+y=
( )
A.-1
B.-i
C.-1-i
D.1+i
【解析】选C.设x=ai,a∈R且a≠0,
则-1+(2a+1)i=y-(3-y)i,
所以解得
所以x=-i,x+y=-1-i.
3.(5分)若复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1·是实数(其中为z2的共轭复数),则实数a=_______________.?
【解析】z1·=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,由于z1·是实数,所以4a-3=0,即a=.
答案:
4.(5分)已知复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=
_______________.?
【解析】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.
因为z1+z2>0,所以z1+z2为实数且大于0,
所以
解得m=2.
答案:2
【误区警示】本题易因对z1+z2>0的含义理解不清而导致无法求解.
5.(10分)已知复数z=1+i,是z的共轭复数,实数a,b满足az+2b=(a+2z)2,求a,b的值.
【解析】由题意知=1-i,
所以az+2b=a(1+i)+2b(1-i)=
(a+2b)+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=a2+4a+4(a+2)i,
于是
解得或
6.(10分)设i为虚数单位,复数z和ω满足zω+2iz-2iω+1=0,-z=2i,求z和ω的值.
【解析】因为-z=2i,所以z=-2i.
代入zω+2iz-2iω+1=0,
得(-2i)(ω+2i)-2iω+1=0,
所以ω
-4iω+2i
+5=0.
设ω=x+yi(x,y∈R),则上式可变为
(x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0.
所以x2+y2+6y+5-2xi=0.
所以
所以或
所以ω=-i,z=-i或ω=-5i,z=3i.
PAGE课时素养评价十二 复数的乘方与除法运算
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)=
( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】选D.====-i.
2.若将复数表示为a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式,则a+b=
( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
【解析】选B.因为==i,=a+bi,
所以a=0,b=1,所以a+b=1.
3.若z2+z+1=0,则z2
017+z2
018+z2
020+z2
021的值为
( )
A.2
B.-2
C.-+i
D.-±i
【解析】选B.因为z2+z+1=0,两边同乘(z-1),
得z3-1=0,
所以z3=1(z≠1),
则z4=z,z2
017=(z3)672·z=z,
于是原式=z2
017(1+z+z3+z4)
=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.
4.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于
( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
【解析】选D.由题意,得z===-1-i.
5.已知复数z满足:(1-i)z=4+2i(i为虚数单位),则z的虚部为
( )
A.1
B.3
C.3i
D.-3
【解析】选B.因为(1-i)·z=4+2i,
所以z====1+3i,
所以虚部为3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知i为虚数单位,若复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a=____________;=____________.?
【解析】z=+i=+i=+i,因为复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,所以-=,解得a=-.z=-+i,所以=--i.
答案:-
--i
7.已知复数z=,则z·=____________.?
【解析】z==
===-+,
所以=--,于是z·=.
答案:
8.设a是实数,且∈R,则实数a=_______________.?
【解析】因为∈R,所以不妨设=x,x∈R,
则1+ai=(1+i)x=x+xi,
所以有所以a=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算下列各题:
(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
(2)+5+i2-.
(3)(+i)5++.
【解析】(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)
=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)
=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.
(2)原式=+5+i2-
=i+5-1-i
=i+4-i
=4.
(3)原式=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)++i7=16(-1+i)--i
=-+(16-1)i.
10.复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.
【解析】z====1-i.
因为a为纯虚数,所以可设a=mi(m≠0),
则z2+=(1-i)2+=-2i+
=-+i<0,
所以解得m=4,所以a=4i.
(20分钟·40分)
1.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4=
( )
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
【解析】选A.(1-i)4===(-2i)2=-4.
2.(5分)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z=( )
A.3+i
B.3-i
C.1+3i
D.-1+3i
【解析】选B.由定义知zi+z=4+2i,
所以z===3-i.
3.(5分)已知复数z=是纯虚数,则θ=_______________.?
【解析】=(tan
θ-)+i,
因为z=是纯虚数,
所以tan
θ-=0,所以θ=kπ+(k∈Z).
答案:kπ+(k∈Z)
4.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=____________.?
【解析】因为zi=1+i,所以z==+1=1-i.所以z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.
答案:-2i
5.(10分)计算:
(1).(2)+.
【解析】(1)==.
(2)原式=+
=+=i+i=2i.
6.(10分)已知z2=8+6i,求z3-16z-.
【解题指南】要求z3-16z-的值,应先求出复数z,再代入求解.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=8+6i,
所以解得或
当z=3+i时,z3-16z-=(z2-16)z-
=(-8+6i)(3+i)-
=-30+10i-30+10i
=-60+20i.
当z=-3-i时,z3-16z-=(z2-16)z-
=(-8+6i)(-3-i)+
=30-10i+30-10i=60-20i.
综上所述,z3-16z-=-60+20i或z3-16z-=60-20i.
PAGE课时素养评价十三 复数的几何意义
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.
2.如图所示,向量,所对应的复数分别为z1,z2,则z1·z2=
( )
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3+i
【解析】选A.由题图可知,z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i.
3.已知复数z=-i5(i为虚数单位),则复数=
( )
A.2-i
B.-2-i
C.2+i
D.-2+i
【解析】选C.z=-i5=2-i,所以=2+i.
4.向量对应的复数z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,则|+|=
( )
A.
B.
C.
D.5
【解题指南】解答本题的关键是把复数运算转化为向量的运算.
【解析】选C.因为向量对应的复数z1=-3+2i,
对应的复数z2=1-i,所以=(-3,2),
=(1,-1),则+=(-2,1),
所以|+|=.
5.已知复数z满足|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是
( )
A.一个圆
B.两个圆
C.两点
D.线段
【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,
得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.
由复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若复数z满足z-1=cos
θ+isin
θ,则当θ=____________时
|z|有最大值,最大值为____________.?
【解析】因为z-1=cos
θ+isin
θ,所以z=(1+cos
θ)+isin
θ,
所以|z|==,当cos
θ
=1时,即θ=2kπ(k∈Z)时,|z|有最大值2.
答案:2kπ(k∈Z) 2
7.设复数z=(x-1)+(y-)i(x,y∈R),若|z|≤2,则y≤x的概率为____________
.?
【解析】复数z=(x-1)+(y-)i(x,y∈R),
由|z|≤2得(x-1)2+(y-)2≤4,
表示圆心在C(1,),半径为2的圆及其内部,
总区域的面积为4π,如图,
求得y≤x对应的弓形的面积为-,
由几何概型的概率公式,得事件
A=发生的概率为
P(A)==-.
答案:-
8.已知实数x,y,a满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点P(x,y)的轨迹方程为_______________.?
【解析】由题意知,
消去a化简得(x-1)2+(y+1)2=2.
答案:(x-1)2+(y+1)2=2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限.
(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,得
解得即-7故当-7(2)由题意知
由②得m=-7或m=4.
因m=-7不符合不等式①,舍去,m=4符合.
所以当m=4时,复数z位于x轴负半轴上.
10.已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).
(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;
(2)若方程有实根,求方程的实根的取值范围.
【解析】(1)设实根为m,则m2+(2+i)m+2xy+(x-y)i=0,即(m2+2m+2xy)+(m+x-y)i=0.
根据复数相等的充要条件得
由②得m=y-x代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
故点(x,y)的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)由(1)知点(x,y)的轨迹是一个圆,圆心为(1,-1),半径r=,设方程的实根为m,
则直线m+x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点,所以≤,即|m+2|≤2,
即-4≤m≤0.故方程的实根的取值范围为[-4,0].
(20分钟·40分)
1.(5分)已知复数z满足z·i=3-4i(i为虚数单位),则|z|=
( )
A.3
B.4
C.5
D.
【解析】选C.方法一:因为z·i=3-4i,
所以z===-3i+4i2=-4-3i,
所以|z|==5.
方法二:z=,所以|z|===5.
2.(5分)(多选题)以下选项能满足复数z=在复平面内对应的点在第四象限的是
( )
A.
m=-2
B.m=-
C.m=0
D.m=1
【解析】选BC.因为z===+i在复平面内对应的点为,且在第四象限,所以解得-13.(5分)已知复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3+i,对应的复数为2-i,对应的复数为5+2i,则点C对应的复数为____________.?
【解析】设C(x,y),=-=(5,2)-(2,-1)=(3,3),所以(x,y)-(3,1)=(3,3),所以x=6,y=4,所以点C对应的复数为6+4i.
答案:6+4i
【一题多解】=-,所以对应的复数为5+2i-(2-i)=3+3i,=+,且对应的复数即为A点对应的复数3+i.所以对应的复数为3+i+(3+3i)=6+4i.也即C点对应的复数为6+4i.
答案:6+4i
4.(5分)复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为____________.?
【解析】由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,
即x+2y=3,所以2x+4y=2x+≥2
=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
答案:4
5.(10分)已知a∈R,z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应的点的轨迹是什么?
【解析】由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,
-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
所以复数z的实部为正数,复数z的虚部为负数,因此,复数z的对应点在第四象限.
设z=x+yi(x,y∈R),则
消去a2-2a得:y=-x+2(x≥3).
所以复数z的对应点的轨迹是一条射线,
方程为y=-x+2(x≥3).
6.(10分)设复数z1,z2满足==1,=,求.
【解析】设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
则a2+b2=c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,
所以ac+bd=0,
=(a-c)2+(b-d)2
=a2+b2+c2+d2=2,
所以=.
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