章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
答案：D
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
答案：D
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
答案：C
4．对于任意两个简单命题p，q，则“p或q”“p且q”“非p”“非q”中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．个数不确定
解析：可以针对p，q的真假性进行讨论．不妨设p真q假，则“p或q”和“非q”为真，“p且q”和“非p”为假，真命题只有2个．同理可以讨论其他几种情况，可知无论哪种情况，真命题都有2个．
答案：B
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
答案：A
6．若命题p：?x∈(0，＋∞)，log2x>0，命题q：?x0∈R,2x0<0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧q
D．p∨(綈q)
解析：当x＝时，log2＝－1<0，故p为假命题，
因为?x∈R,2x>0恒成立，所以命题q为假命题，
所以p∨(綈q)为真命题．故选D.
答案：D
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
答案：B
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
答案：C
9．下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析：因为?x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.
答案：D
10．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0
B．x<0或x>4
C．|x－1|>1
D．|x－2|>3
解析：由x2－4x>0得x>4或x<0，故集合|x|x>4或x<0}应真包含于f(x)>0的必要不充分条件中x的取值集合，验证可知，只有C选项符合．
答案：C
11．已知命题p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a≤－2或a＝1}
B．{a|a≤－2或1≤a≤2}
C．{a|a≥1}
D．{a|－2≤a≤1}
解析：由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
答案：A
12．如果不等式|x－a|<1成立的充分但不必要条件是A.B.≤a≤
C．a>或a<
D．a≥或a≤
解析：由|x－a|<1可得a－1故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“若a?A，则b∈B”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b?B，则a∈A
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：p∨q，綈p
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q?p，
∴解得－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是________．
解析：由题意得，p：x∈[2,5]，q：x∈{x|x<1或x>4}，因为p∨q为假，所以p假q假，故有解得1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当
＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解析：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若
＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
18．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有—个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x0∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
解析：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
19．(12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解析：解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x≥11或x<－3}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q但qD?/p，说明A?B.
于是有或
解得0∴a∈(0,4]．
20．(12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
21．(12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解析：由p∧q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0所以0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
22．(12分)已知a>0，b>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)求证：?x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件；
(2)当b＝1时，求f(x)≤1，x∈[0,1]恒成立的充要条件．
解析：(1)f(x)＝ax－bx2
＝－b2＋，
因为?x∈R，f(x)≤1，
所以≤1，又a>0，b>0，
所以a≤2，
所以?x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件．
(2)因为b＝1，所以f(x)＝ax－x2，
当x＝0时，f(x)＝0≤1成立，
当x∈(0,1]时，f(x)≤1恒成立，
即a≤x＋在(0,1]上恒成立，又min＝2，此时x＝1，
所以0当0所以f(x)≤1在(0,1]上恒成立，
所以f(x)≤1，x∈(0,1]上恒成立的充要条件为0PAGE章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
4．对于任意两个简单命题p，q，则“p或q”“p且q”“非p”“非q”中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．个数不确定
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若命题p：?x∈(0，＋∞)，log2x>0，命题q：?x0∈R,2x0<0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧q
D．p∨(綈q)
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
10．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0
B．x<0或x>4
C．|x－1|>1
D．|x－2|>3
11．已知命题p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a≤－2或a＝1}
B．{a|a≤－2或1≤a≤2}
C．{a|a≥1}
D．{a|－2≤a≤1}
12．如果不等式|x－a|<1成立的充分但不必要条件是A.B.≤a≤
C．a>或a<
D．a≥或a≤
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“若a?A，则b∈B”的逆否命题是________．
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当
＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
18．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有—个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x0∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
19．(12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
20．(12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
22．(12分)已知a>0，b>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)求证：?x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件；
(2)当b＝1时，求f(x)≤1，x∈[0,1]恒成立的充要条件．
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