2020－2021学年人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形解答题专题练习（基础篇）（Word版，附答案）
文档属性
| 名称 | 2020－2021学年人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形解答题专题练习（基础篇）（Word版，附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 289.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-05 23:19:36 | ||
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文档简介
人教版数学八年级下册：第十八章
平行四边形
解答题专题练习（基础篇）
1．已知：在菱形ABCD中，点E是CD边上一点，过点E作EF⊥AC于点F，交BC边于点G，交AB延长线于点H．
（1）如图1，求证：BH＝DE；
（2）如图2，当点E是CD边中点时，连接对角线BD交对角线AC于点O，连接OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（菱形除外）．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是
．
3．（1）如图1所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
5．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
6．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作?ECFG．
（1）证明?ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
7．如图1，在平面直角坐标系中，放置一个边长为5的正方形ABCD，人使得它的两个顶点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上，M为正方形的中心．
（1）若点B和点A在x轴和y轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M始终在第一象限的角平分线上．
（2）若点A运动到（0，3），求此时M点的坐标．
8．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，四边形CODP的形状
；
（3）如果题目中的矩形变为正方形，四边形CODP的形状
；
9．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝
；DP＝
；BQ＝
；CQ＝
．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
12．如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE＝CB，连接AE交CD于F，连接BF．△BEF和△ABF是否是等腰三角形，说明理由．
13．在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
14．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF＝∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC＝∠EFC＝90°，
在△GFC和△EFC中，，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG＝CE，∠CGF＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠CEF，
∵∠BGH＝∠CGF，
∴∠H＝∠BGH，
∴BH＝BG，
∵BC＝CD，CG＝CE，
∴BC﹣CG＝CD﹣CE，
即BG＝DE；
（2）解：所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG＝CE，BH＝BG＝DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC＝CD，
∴CE＝DE＝BG＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴OE、O都G是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG＝CD＝DE＝BH，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AE＝12，AD＝13，
∴AB＝13，
∴BE＝5，
∵AB＝BC＝13，
∴CE＝18，
∴AC＝＝＝6，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝3．
∴OE＝3，
故答案为：3．
3．解：AE＝CF．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2AB＝2×2＝4，
根据勾股定理，AC＝＝＝2cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+4+2＝（6+2）cm．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE?DH＝4×＝4．
5．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
6．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
7．（1）证明：作ME⊥y轴于E点，作MF⊥x轴于F点，如图1所示：
则四边形EMFO是矩形，
∴∠MEA＝∠MFB＝90°，∠EMA+∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MA＝MB，∠AMF+∠FMB＝90°，
∴∠EMA＝∠FMB，
在△MEA和△MFB中，，
∴△MEA≌△MFB（AAS），
∴ME＝MF，
∴四边形EMFO是正方形，
∴点M都在∠AOB的平分线上，
∴M始终在第一象限的角平分线上；
（2）解：∵点A运动到（0，3），
∴OA＝3，
∵AB＝5，
∴OB＝＝＝4，
作ME⊥y轴于E点，作MF⊥x轴于F点，作CN⊥x轴于N点，如图2所示：
则MF∥OA∥CN，四边形AONC是直角梯形，四边形EMFO是正方形，
∴∠AOB＝∠CNB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MA＝MC，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴MF是直角梯形AONC的中位线，∠ABO+∠CBN＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBN，
在△BAO和△CBN中，，
∴△BAO≌△CBN（AAS），
∴CN＝OB＝4，
∴MF＝（OA+CN）＝（3+4）＝，
∴M点的坐标为：（，）．
8．解：（1）如图1，四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）如图2，四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
故答案为：矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，OD＝OC
∴平行四边形CODP是正方形．
故答案为：正方形．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△FAE是直角三角形，
如图，过E作EN∥CD，交BD于N，
∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°，
∴△NBE是等腰直角三角形，
∴EN＝BE＝DF，
在△MNE和△MDF中，
∵，
∴△MNE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
∵AE＝AF，
∴AM⊥EF，AM＝EF．
10．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
11．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
12．解：△BEF和△ABF是等腰三角形，
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵CE＝CB，DC⊥BE，
∴BF＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，
∵FC∥AB，
∴＝
又∵BC＝EC，
∴EF＝AF，
∴△ABF是等腰三角形．
13．解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm．
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．
①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，
解得，t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，
解得
t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，
解得
t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，
解得，t＝12．
综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．
14．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
15．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
平行四边形
解答题专题练习（基础篇）
1．已知：在菱形ABCD中，点E是CD边上一点，过点E作EF⊥AC于点F，交BC边于点G，交AB延长线于点H．
（1）如图1，求证：BH＝DE；
（2）如图2，当点E是CD边中点时，连接对角线BD交对角线AC于点O，连接OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（菱形除外）．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是
．
3．（1）如图1所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．
5．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
6．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作?ECFG．
（1）证明?ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
7．如图1，在平面直角坐标系中，放置一个边长为5的正方形ABCD，人使得它的两个顶点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上，M为正方形的中心．
（1）若点B和点A在x轴和y轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M始终在第一象限的角平分线上．
（2）若点A运动到（0，3），求此时M点的坐标．
8．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，四边形CODP的形状
；
（3）如果题目中的矩形变为正方形，四边形CODP的形状
；
9．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝
；DP＝
；BQ＝
；CQ＝
．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
12．如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE＝CB，连接AE交CD于F，连接BF．△BEF和△ABF是否是等腰三角形，说明理由．
13．在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
14．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF＝∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC＝∠EFC＝90°，
在△GFC和△EFC中，，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG＝CE，∠CGF＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠CEF，
∵∠BGH＝∠CGF，
∴∠H＝∠BGH，
∴BH＝BG，
∵BC＝CD，CG＝CE，
∴BC﹣CG＝CD﹣CE，
即BG＝DE；
（2）解：所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG＝CE，BH＝BG＝DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC＝CD，
∴CE＝DE＝BG＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴OE、O都G是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG＝CD＝DE＝BH，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AE＝12，AD＝13，
∴AB＝13，
∴BE＝5，
∵AB＝BC＝13，
∴CE＝18，
∴AC＝＝＝6，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝3．
∴OE＝3，
故答案为：3．
3．解：AE＝CF．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2AB＝2×2＝4，
根据勾股定理，AC＝＝＝2cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+4+2＝（6+2）cm．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE?DH＝4×＝4．
5．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
6．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
7．（1）证明：作ME⊥y轴于E点，作MF⊥x轴于F点，如图1所示：
则四边形EMFO是矩形，
∴∠MEA＝∠MFB＝90°，∠EMA+∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MA＝MB，∠AMF+∠FMB＝90°，
∴∠EMA＝∠FMB，
在△MEA和△MFB中，，
∴△MEA≌△MFB（AAS），
∴ME＝MF，
∴四边形EMFO是正方形，
∴点M都在∠AOB的平分线上，
∴M始终在第一象限的角平分线上；
（2）解：∵点A运动到（0，3），
∴OA＝3，
∵AB＝5，
∴OB＝＝＝4，
作ME⊥y轴于E点，作MF⊥x轴于F点，作CN⊥x轴于N点，如图2所示：
则MF∥OA∥CN，四边形AONC是直角梯形，四边形EMFO是正方形，
∴∠AOB＝∠CNB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MA＝MC，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴MF是直角梯形AONC的中位线，∠ABO+∠CBN＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBN，
在△BAO和△CBN中，，
∴△BAO≌△CBN（AAS），
∴CN＝OB＝4，
∴MF＝（OA+CN）＝（3+4）＝，
∴M点的坐标为：（，）．
8．解：（1）如图1，四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）如图2，四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
故答案为：矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，OD＝OC
∴平行四边形CODP是正方形．
故答案为：正方形．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△FAE是直角三角形，
如图，过E作EN∥CD，交BD于N，
∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°，
∴△NBE是等腰直角三角形，
∴EN＝BE＝DF，
在△MNE和△MDF中，
∵，
∴△MNE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
∵AE＝AF，
∴AM⊥EF，AM＝EF．
10．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
11．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
12．解：△BEF和△ABF是等腰三角形，
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵CE＝CB，DC⊥BE，
∴BF＝EF，
∴△BEF是等腰三角形，
∵FC∥AB，
∴＝
又∵BC＝EC，
∴EF＝AF，
∴△ABF是等腰三角形．
13．解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm．
当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．
①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，
解得，t＝；
②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，
解得
t＝4；
③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，
解得
t＝；
④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，
解得，t＝12．
综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．
14．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB＝CE，
∴AC＝CE．
15．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．